Контрольная работа № 4 ИСиТвЭ (1 курс 2 семестр)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ

И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет непрерывного и дистанционного обучения

Специальность: «Информационные системы и технологии в экономике»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 4

Вариант № 5

Шумилова Александра Борисовича Группа № 002322, шифр № 05 Зачетная книжка № 002322-05

Электронный адрес: [e-mail]

1

СОДЕРЖАНИЕ

1.Задача 135…………………………………………………………………..3

2.Задача 145…………………………………………………………………..4

3.Задача 155…………………………………………………………………..6

4.Задача 165……………………………………………………………..…....7

5.Задача 175………………………………………………………………..…8

6.Задача 185……………………………………………………….…………10

7.Задача 195……………………………………………………….…………12

8.Задача 205……………………………………………………….…………13

2

1 ЗАДАЧА 135

Условие задачи. Найти производную

∂ y

данных функций.

∂ x

а)

y = x +

1

;

б)

y =

sin

1 +

x2 ;

x +

x2 + 1

в)

y =

lnctg3

;

г)

xx 12 ;

д) xe y +

yex = xy.

x

y =

Решение задачи.

а) y′ = x +

1

1 * (x2 + 1)−

1

= 1+ (− 1) * (x +

x2 + 1)− 2 * (1+

2 * 2 * x) =

x +

x2 + 1

2

= 1−

1

* (1

+

1

*

1

* 2 * x) = 1−

1

*

x2 + 1 + x

) =

2

(x +

x2

+ 1)2

x2 + 1

(x +

x2

+ 1)2

x2 +

1

= 1−

1

(x +

x2 + 1) * x2 + 1

б) y′

* 1 *

1

cos

1+

x2

* x

=

cos

1+

x2

* 2* x =

1+

x2

1+

x2

2

в) y′ =

1

*(−

1

1

1

=

−

1

=

) *

3 *

ctg3

sin2 3

3

2

*3

2

x

x

3*ctg3

*sin 2 3

x

x

x

x

=

−

1

=

−

2

2

2

3* cos 3

x *sin 3 x * 3

x

3*sin 23

x *

3 x

г) y′ =

x

x

*ln x

x * x

x − 1 +

2*

x

д)e y + x * e y * y′ + ex + y * ex − y − x * y′ = 0

	y′ =	− e y − ex − y * ex + y
		x * (e y − 1)

3

2 ЗАДАЧА 145

Условие задачи. Найти

и

∂ y

, и

∂ 2 y

∂ x

∂ x

x =

1

t

3

+

1

t

2

+ t,

y = lnctg4x;

3

2

а)

б)

y =

1

t

2

+

1

.

2

t

Решение задачи.

а) y¢ =

1

*(-

1

) * 4

= -

4

= -

4

=

ctg4x

sin

2

4x

ctg4x

*sin

2

4x

cos 4x *sin 4x

= −

8

= −

8

2 * cos 4x *sin 4x

sin 8x

y¢¢

æ

8

ö ′

(- 8*(sin 8x)−

1

)¢ =

-8*(-1)*(sin 8x)−

2

*cos8x *8 =

64*cos8x

=

ç -

÷

=

sin 8x

sin2 8x

è

ø

x =

1

*t 3

+

1

*t 2 + t

б)

3

2

1

*t 2

1

y =

+

2

t

y′x

y′

=

t

x′

t

xt′ =

1

*3t +

1

* 2t = t 2 + t

3

2

yt′ =

1

* 2t − t − 2 = t −

1

2

t 2

t

−

1

t 3 − 1

y′x =

t 2

=

t 2

+ t

t 4

+

t 3

y′xx′ = ( y′x′)′t ; xt

4

( y′x )t

=

(t 3

− 1)′

* (t 4 + t 3 ) − (t 3

− 1)* (t

4 + t 3 )′

=

3t * (t 4 + t 3 ) − (t 3 − 1)* (4t 3 + 3t 2 )

=

(t 4 + t 3 )2

(t 4

+ t 3 )2

=

3t 4

* (t + 1) − (t 3 − 1)*t 2 * (4t + 3)

=

3

−

(t 3 − 1)* (4t + 3)

t 6 (t + 1)2

t 2 (t + 1)

t 4 (t + 1)2

3

−

(t 3 − 1)* (4t + 3)

(t 3 − 1)* (4t + 3)

′′

t 2 (t + 1)

t 4 (t + 1)2

3

=

−

yxx =

t 2 + t

t

3

(t +

1)2

t 5 (t + 1)3

5

3 ЗАДАЧА 155

Условие задачи. Разложить функцию по формуле Тейлора по степеням x − x0 до члена (x − x0 )3. Остаточный член записать в форме Пеано.

y = (1 + x2 )5 , x0 = − 1.

Решение задачи.

Разложение необходимо получить в окрестности точки x0 = − 1 , для этого воспользуемся формулой:

f (x) = f (x0 ) +

f

′(x0 )

(x − x0 ) +

f ′′(x0 )

(x −

x0 )

2

+

1!

2!

f ′′′(x

+

0

)

(x −

x0 )3 + 0(x − x0 )3

3!

при x0 = − 1 .

Находим f ′(x) = ((1+

x2 )5 )′

= 5*(1+

x2 )4 * 2x = 10x *(1+

x2 )4 , далее f ′(− 1) = − 160 ;

f ′′(x) = (10x * (1+ x2 )4 )′ = 10 * (1+ x2 )4 + 10x * 4 * (1+ x2 )3 * 2x = 10 * (1+ x2 )3 * (1+ 9x2 ) , f ′′(− 1) = 800 ;

f ′′′(x) = (10*(1+ x2 )3 *(1+ 9x2 ))′ = 10*((1+ x2 )3 )′ *(1+ 9x2 ) + 10*(1+ x2 )3 *(1+ 9x2 )′ = = 10* (3* (1+ x2 )2 * 2x * (1+ 9x2 ) + (1+ x2 )3 *18x) = 60x * (1+ x2 )2 * ((1+ 9x2 ) + (1+ x2 ) *3) =

= 60x * (1+ x2 )2 * (1+ 9x2 + 3 + 3x2 ) =

60x * (1+ x2 )2 * (12x2 + 4) = 240x * (1+ x2 )2 * (3x2 + 1)

f ′′′(− 1) = − 3840

Дополнительно вычисляем

f (− 1) = (1+

(− 1)2 )5 = 32 .

Получаем разложение:

(1+ x

2

)

5

= 32 + (− 160) * (x + 1)

+

800 * (x + 1)2

+

(− 3840) * (x + 1)3

+ 0 * (x + 1)

3

=

1* 2

1* 2 *3

= 32 − 160 * (x + 1) + 400* (x + 1)2

− 640 * (x + 1)3 + 0 * (x + 1)3 .

6

4 ЗАДАЧА 165

Условие задачи. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a,b].

f ( x) =

x + 3

,

[− 3,7].

x2 + 7

Решение задачи.

f ′(x) =

(x + 3)′ *(x2 + 7) − (x + 3) *(x2 + 7)′

=

x2 + 7 − (x + 3) * 2x

=

x2 + 7 − 2x2 − 6x

=

(x2 + 7)2

(x2 + 7)2

(x2 + 7)2

=

− x2

− 6x + 7

=

(x − 1) * (x + 7)

(x2 + 7)2

(x2 + 7)2

Критическая точка одна x1 = 1,( f ′(x) =

0) . Эта точка принадлежит отрезку [-

3;7]. (Точка

x =

− 7 не является критической, так как -7 не принадлежит отрезку

[-3;7].

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.

f (− 3) =

0,

f (1) =

1

,

2

f (7) =

5

.

28

f (− 3) =

0 − наибольш.значение,

Ответ: f (1) = 1

− наим.значение.

2

7

5 ЗАДАЧА 175

Условие задачи. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить ее график, используя результаты исследования.

y =	x2
			.
	x2
		− 1

Решение задачи.

1.Область определения функции D(y) = (- ¥ ;- 1) È (- 1;1) È (1;+ ¥ ).

2.Функция является четной.

3. Найдем точки пересечения графика с осью ОХ ; имеем

x

2

=

0; x = 0.

x2

- 1

4. Точки

разрыва

x = ± 1,

причем lim y = + ¥

; следовательно,

x = ± 1

x→ ± 1± 0

являются вертикальными асимптотами графика.

Найдем наклонные асимптоты:

k = lim

f (x)

= lim

x

=

0;

x

x

2

x→ ∞

x→ ∞

- 1

b = lim( f (x) - kx) = lim

x2

=

1.

x

2

- 1

x→ ∞

x→ ∞

Наклонная асимптота имеет уравнение у=1.

5. Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания.

Имеем y¢ =	2x * (x2 - 1) - x2 * 2x				= -			2x		. Существует единственная критическая
	(x	2	- 1)	2		(x	2	- 1)	2
точка x = 0. Функция не существует										в точках x = ± 1, однако эти точки не

являются критическими, так как они не принадлежат области определения

функции. В промежутке

x Î (- ¥ ;0) y′ñ 0 , следовательно, функция возрастает; в

промежутке x Î

(0;+ ¥ ) y′á 0 ,

функция

убывает.

Далее,

находим

æ

2x

ö ′

2*(x2 - 1)2 - 2x *2*(x2 - 1)*2x

6x

2 + 2

;

y′′(0) = - 2á 0 ,

y¢¢ = ç

-

÷

= -

=

2

2

4

2

3

ç

(x

- 1)

2 ÷

(x

- 1)

(x

- 1)

è

ø

следовательно,

x = 0 – точка максимума ymax =

0 .

6.Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее

перегиба. y′′ ¹ 0 , но y′′ не существует в точках x = ± 1, поэтому исследуем следующие интервалы на выпуклость и вогнутость:

y′′ _ на _ интервалах _(- ¥ ;- 1) È (1;+ ¥ ) _ больше _ нуля,Þ ,функция _ вогнута; y¢¢ _ на _ интервале _(- 1;1) _ меньше _ нуля,Þ ,функция _ выпукла.

Точек перегиба кривая не имеет. Строим график функции.

8

9

6 ЗАДАЧА 185

Условие задачи. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить ее график, используя результаты исследования.

y = x - ln(x + 1)

Решение задачи.

1.Область определения функции D(y) = (- 1;+ ¥ ).

2.Функция не является ни четной, ни нечетной.

3.

Найдем точки пересечения графика с осью

ОХ ; имеем x - ln(x + 1) = 0

x = 0.

, причем lim y = + ¥

4.

Точка

разрыва

x = - 1

;

следовательно,

x = - 1

x→ − 1± 0

является вертикальной асимптототой графика.

Найдем наклонные асимптоты:

k = lim

f (x)

= lim(1

ln(x + 1)

é ¥

ù

= 1- lim(

ln(x + 1)

) = 1- lim(

1

-

) = ê

ú

) = 1

- 0 = 1;

x

x

x

x +

x→ ∞

x→ ∞

ë ¥

û

x→ ∞

x→ ∞

1

b = lim

( f (x) - kx) = lim(x - ln(x + 1) -

x) = lim(- ln(x + 1)) = ¥ .

x→ ∞

x→ ∞

x→ ∞

Наклонная асимптота не существует. Найдем дополнительно:

lim(x - ln(x

x→ + ∞

5. Найдем

+ 1)) = [¥	- ¥ ] = lim(ln e	x		ex	é ¥		ù	x
			- ln(x + 1)) = lim(ln		) = ê		ú	= lim(e	) = + ¥ .
				(x + 1)		¥
	x→ + ∞		x→ + ∞		ë		û	x→ + ∞

экстремум функции и интервалы возрастания и убывания.

Имеем y¢ = 1-		1		=	x			. Существует	единственная критическая	точка x = 0.
		x +	1		x +	1
Функция не		существует в точке							x = - 1 , однако эта точка	не является

критической, так как она не принадлежит области определения функции. В

	промежутке x Î (- 1;0) y′á 0 , следовательно, функция убывает;						в	промежутке
	x Î (0;+ ¥ ) y′ñ 0 , функция возрастает. Далее, находим	æ	x		ö	′	x + 1- x			1	;
		y¢¢ = ç			÷	=			=
			x +	1			(x	+ 1)2		(x + 1)2
		è			ø

y′′(0) = 1ñ 0 , следовательно, x =	0 – точка минимума ymin = 0 .
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее
перегиба. y′′ ¹ 0 , но y′′ не	существует в точке x = - 1 , поэтому исследуем

следующие интервалы на выпуклость и вогнутость:

y′′ _ на _ интервале _(- 1;+ ¥ ) _ больше _ нуля,Þ ,функция _ вогнута.

Точек перегиба кривая не имеет. Строим график функции.

10