1 курс кр.1 вар

Учреждение образования

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет заочного и дистанционного обучения

Специальность ПОИТ

Контрольная работа

по Высшей математике №1

Вариант № 9

группа

Зачётная книжка №

Электронный адрес

Минск 2011

№9

Даны четыре вектора , , и , заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Дано: ; ; ; .

1. Найдём значение в скобках : умножаем координаты вектора (-2; 5; 2) на 2 и от полученного вектора 2 (-4; 10; 4) отнимаем координаты вектора (0; 1; -2). В результате получим 2 - = (-4; 10; 4).

Так как скалярное произведение в ортогональном базисе ровно сумме произведений соответствующих координат, то получается

.

2. По аналогии с пунктом 1 найдём значение вектора

Тогда векторное произведение найдём по формуле

:

3. Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим:

Значит векторы некомпланарны и поэтому они образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде:

где координаты вектора в базисе , и найдём .

Определитель найден выше: .

;

Имеем: ; ; .

Значит, .

№19

Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.

Дано: ; ; ; .

1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле

,

где координаты точки , координаты точки .

Таким образом, вычисляем:

.

2) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда .

В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде

или

т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей.

3) Угол  между рёбрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения векторов и .

Находим: ; ;

; ;

.

Поэтому , .

4) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки .

.

5. Угол  между ребром и плоскостью – это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань .

Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и

Вектор перпендикулярен грани , что вытекает из определения векторного произведения векторов и :

Здесь , . Как и в пункте 3, находим:

Отсюда получаем, что .

6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем .

7) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:

.

8) Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле .

Таким образом, .

9) Сделаем чертёж:

№29

Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

Решение

Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор Р есть :

.

Решив совместно уравнения L и Р, получим точку N пересечения L с Р: . Но так как N –середина отрезка , то

.

Таким образом, точка М имеет координаты .

№39

Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки вдвое дальше, чем от прямой .

Решение

Пусть точка M (x;y) лежит на данной линии (рис.1), тогда расстояние от М до прямой x=1 равна , а до точки A:

_{Возведём в квадрат}

_{Получим:}

_{Таким образом уравнение гиперболы .}