1 курс кр.2 вар
.9.docУчреждение образования
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет заочного и дистанционного обучения
Специальность ПОИТ
Контрольная работа
по Высшей математике №2
Вариант № 9
группа
Зачётная книжка
Электронный адрес
Минск 2011
№49
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).
Дано:
:
Решение
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Необходимым и достаточным условием совместности системы линейных уравнений является
Критерий Кронекера–Капелли. Для того чтобы линейная система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы. Если же эти ранги не равны, то система несовместна.
Исследование на совместность по критерию Кронекера-Капелли:
Для этого составим расширенную матрицу системы для определения её ранга и ранга матрицы коэффициентов:
.
Находим ранг r расширенной матрицы:
.
Отсюда , следовательно данная линейная система совместна.
1) Решить систему уравнений по формулам Крамера:
Решение
Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель:
.
Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители
; ; ,
которые составляем из матрицы коэффициентов путем поочередной замены каждого из столбцов на столбец правой части системы.
Далее по формулам Крамера вычисляем:
Таким образом, система имеет единственное решение , , .
2) При решении системы линейных уравнений методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей.
Решение
Составим расширенную матрицу системы: .
Теперь приведём её путём элементарных преобразований к треугольному или трапециевидному виду. Для этого прибавим ко 2‑й строке 1‑ю, умноженную на , к 3‑й строке прибавим 1‑ю, умноженную на Получим: .
К 3‑й строке прибавим 2‑ю, умноженную на -4/7 получим
Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система совместна и имеет единственное решение. Она сводится к эквивалентной системе линейных уравнений
Отсюда, подставляя во второе уравнение, получим , а из первого уравнения . Итак, , ,.
3) применение матричного метода рассмотрим на примере системы
Решение
Определитель основной матрицы системы , значит, система совместна и для матрицы коэффициентов существует обратная матрица. Находим решение по формуле или
,
где , алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Таким образом, обратная матрица к основной матрице системы имеет вид
.
Значит, матричное решение системы имеет вид
Отсюда следует, что , , .
№59
Найти общее решение системы линейных уравнений.
Дано:
Решение
Для исследования совместности составим расширенную матрицу системы:
.
~ ~ ;
Следовательно, х2=0.
Тогда система примет вид
Отсюда:
Общее решение системы:
Ответ:
№69
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Решение
Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:
Это и есть собственные значения линейного преобразования.
Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А.
При система имеет вид:
Значит, собственному значению соответствует собственный вектор
,
здесь – произвольное число ≠0.
Положив =1 получим
.
При
.
При
, при x1=1
.
№79
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат.
.
Решение:
Разделим уравнение на 4, получим:
Составим матрицу квадратичной формы
и найдём её собственной значение
При уравнение ;
.
Собственный вектор .
При
.
Нормируя собственные векторы, получим
, .
Матрица перехода к новому базису
.
Введём замену переменных:
;
Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:
Уравнение гиперболы симметричной относительно точки