Теория норм синдромов
.docxВариант 7.
Задание 1. Найти порождающую ( 21 * 31) -матрицу G по построенной в задании 7 из контрольной работы «Прикладная математика» для двоичной проверочной (10* 31) -матрицы H реверсивного-кода.
Решение
Прибавим к 2-ой строке 8-ю, к 3-ой строке – 5-ю, к 4-й строке – 6-ю, к 6-ой – 8-ю, к 7-ой – 10-ю, к 8-ой – 9-ю.
Прибавим к 1-ой строке 8-ю, ко 2-ой -4-ю , к 5-ой – 7-ю, к 9-ой – 8-ю и 4-ю, к 10-ой – 3-ю и 2-ю.
Прибавим ко 1-ой строке – 5-ю и 9-ю, к 3-ей – 5-ю и 9-ю, к 4-ой – 5-ю и 9-ю, к 5-ой – 9-ю, к 7-ой – 5-ю и 9-ю,к 8-ой – 10-ю и 9-ю, к 10-ой – 9-ю.
Прибавим к 2ой строке – 6-ю,8-ю,9-ю, к 4-ей –2-ю, 6-ю,8-ю,9-ю, к 8-ой –1-ю
Прибавим к 7-ой строке – 4-ю и 8-ю, к 3-ой строке – 4-ю,8-ю и 7-ю, к 9-ой строке –8-ю.
И переставим строки :
Базисный минор составляют первые 10 столбцов матрицы и базисными переменными являются переменные x1 , x 2 ,..., x10 . Поэтому свободными переменными являются x11 , x12 ,..., x31 . Положим x11= 1, x12= 0, ..., x31=0. Тогда базисные переменные принимают однозначно определенные значения, причем столбец этих значений ( x1 , x 2 ,..., x10) совпадает с первым столбцом подматрицы K матрицы . А в целом получим первый базисный вектор пространства решений и одновременно первый сттолбец матрицы G. И так находим остальные решения.
Порождающая матрица
Задание 2. С помощью найденной порождающей матрицы закодировать информацию
Задание 3. По найденному в задании 2 кодовому слову попытаться восстановить сообщение i.
В силу структуры матрицы G информационный вектор i идентично отображается на последние 21 координат вектора c и, следовательно, однозначно восстанавливается по вектору c . Т.е. имея , восстановим как последние 21 значение вектора :
Задание 4. По найденному в задании 8 синдрому из контрольной работы «Прикладная математика» найти вектор ошибок сведением задачи к квадратному уравнению и решением последнего по формулам Чэня.
Тогда:
Решим систему по формулам Чэня:
Уравнение:
Значит ошибочными были позиции 16 и 21, а исправленное сообщение:
Задание 5. Для рассматриваемого в задании 4 кода данной контрольной работы составить таблицу образующих Г-орбит двойных ошибок, синдромов и норм По синдрому из задания 8 в контрольной работе «Прикладная математика» найти вектор-ошибку норменным методом.
Решение
Воспользуемся таблицей:
Степенное задание |
Полиномиальное задание |
Векторное задание |
Составим таблицу образующих Г-орбит двойных ошибок, синдромов и норм
Номер |
Образующая |
Синдром |
Норма |
|
1 |
||||
2 |
||||
3 |
||||
4 |
||||
5 |
||||
6 |
||||
7 |
||||
8 |
||||
9 |
||||
10 |
||||
11 |
||||
12 |
Решим задачу норменным методом:
Следовательно, двойная вектор-ошибка e , которая присутствует в сообщении x , принадлежит Г-орбите и получается циклическим сдвигом вектора .
Найдем величину сдвига
Т.е. ошибка содержится на 16 и 21 позициях.
Задание 6. В (31, 16)-БЧХ-коде с проверочной матрицей , где корень примитивного полинома , принято сообщение с синдромом Найти вектор ошибок в принятом сообщении сведением задачи к кубическому уравнению и решением этого уравнения методом Чэня.
Решение
Составим систему:
Перейдем к элементарным симметрическим полиномам:
Составим новую систему:
Полученные значения служат, согласно теореме Виета, коэффициентами кубического уравнения , корнями которого и являются искомые неизвестные .
То есть ошибки расположены на 7-м, 15-м и 21-м местах.
Задание 7. Задачу из задания 6 решить норменным методом.
Решение
Определим вектора-ошибки, у которых первый синдром =0 :
# |
вектор |
S1 |
S2 |
S3 |
N |
1 |
|||||
2 |
|||||
3 |
|||||
4 |
|||||
5 |
… |
… |
… |
… |
… |
Нормы среди норм векторов тройной ошибки принадлежит вектору .
Вычислим сдвиг
Это означает, что в сообщении ошибки на 15-м,21-м и 7-м местах.