ПОИТ Контрольная работа по высшей математике.№2
.docxУЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет непрерывного и дистанционного обучения
Специальность: программное обеспечение информационных технологий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ №2
-
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
60. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
Матрица системы равна
Вектор свободных членов:
Тогда расширенная матрица для решения методом Гаусса имеет вид:
Решим систему средствами матричного метода. Для этого необходимо вычислить обратную матрицу.
70. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.
Решение. Находим ранг основной матрицы системы с помощью элементарных преобразований:
Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системы Преобразованная система, эквивалентная исходной, имеет вид
.
Эти формулы дают общее решение. В векторном виде его можно записать следующим образом
,
где и - произвольные числа. Вектор-столбцы и образуют базис пространства решений данной системы.
Полагая , где - произвольные постоянные, получим общее решение в векторном виде .
80. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через
Решение. Первое линейное преобразование имеет матрицу , второе имеет матрицу . Тогда произведение (т.е. последовательное выполнение) линейных преобразований имеет матрицу , т.е.
.
Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид
.
90. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.
Составляем характеристическое уравнение матрицы
Корнями этого уравнения являются числа -2, 2, 8
.
При система (2.1) имеет вид
Таким образом, числу соответствует собственный вектор
,
где - произвольное действительное число. В частности, при имеем .
Аналогично для имеем
Откуда второй собственный вектор . При получаем собственный вектор .
Наконец, при решаем систему
, т.е. вектор .
В частности, при имеем .
Итак, матрица А имеет три собственных значения , , .
100. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.
Левая часть уравнения представляет собой квадратичную форму с матрицей . Решаем характеристическое уравнение
т.е. .
Находим собственные векторы из системы уравнений при
При система принимает вид
Получаем , т.е. собственный вектор для .
При система принимает вид
Получаем , т.е. собственный вектор для .
Нормируем собственные векторы , получаем , . Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому , в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам. Выполняя преобразование
, получаем из исходного уравнения кривой
Последнее уравнение есть каноническое уравнение элипса.