Контрольная работа №1 Элементы векторной алгебр и аналитической геометрии

Задачи 1-10.Даны векторыa,b,c,d. Для указанных в пп. 1-3 векторов требуется: 1) вычислить скалярное произведение векторов из пункта; 2) найти модуль векторного произведения векторов; 3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов; 4) убедиться, что векторыa,b,cобразуют базис; 5) найти координаты вектораdв этом базисе.

9) a=3i+j+8k, b=j+3k, c=i+2j-k, d=2i-k;

1) 3a, -2c; 2) 3b, c; 3) a, b.

Решение:

1)формула: ab=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

3a=(9, 3, 24); -2c=(-2, -4,2);

3a*(-2c)=9(-2)+3(-4)+24*2=18

2)Формула: [a,b]=

3b=(0, 3, 9); c=(1, 2, -1);

[3b, c]= =-21i+9j-3k

Модуль векторного произведения векторов: |[3b,c]|= (-21)²+9²+(-3)²= 23,04

3) Векторыa=3i+j+8k, b=j+3k не коллинеарные.

ab=3*0+1*1+8*3=25,векторы а иbне ортагональны, потому что не равны 0.

4)abc= = =-3+3+0-8-18-0=-26 0, векторыa,b,cобразуют базис.

5) Векторdпредставим как:d=xa+yb+zc

Это равенство равносильно равенствам: 2=3x+0y+1z; 0=1x+1y+2z; -1=8x+3y-1z

Решив полученную систему уравнений, найдёмx,y,z.

x= ,y= ,z=

d=ab+c, в данном базисе вектор dимеет координатыx= ,y= ,z=

Задачи 11-20.Даны вершиныA(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) треугольникаABC.

Требуется найти:

1) уравнение стороны AB;

2) уравнение высоты CHи длину этой высоты;

3) уравнение медианы AM;

4) точку Nпересечения медианыAMиCH;

5) уравнение прямой, параллельной стороне ABи проходящей через вершинуC;

6) внутренний угол при вершине Aи внешний угол при вершинеC.

19. A(4,-4), B(8,2), C(3,8).

Решение:

1)Уравнение прямой: = , = , 3x-2y-20-уравнение стороныAB.

2)Сперва ищем перпендикулярность прямой 2x+3y+c=0, 2*3+3*8+c=0,c=-30, пришли к уравнение высоты: 2x+3y-30=0.

Ищем длину высоты от точки С до прямой ABd=

d= 7,5

3)Ищем координаты точки М: Xм=Xb+Xc/ 2 = 8+3 / 2 = 11 / 2

Yм=2+8 / 2 = 5

м(11/2, 5)

Следовацельно y-(-4) / 5-(-4) =x-4 / 11/4-4, 3x-0,5y-14=0 уравнение медианыAM.

4)2x+3y-30=0

=> x=5,7;y=6,2;N(5,7; 6,2)

3x-0,5y-14=0

5)3x-2y+c=0, 3*3-2*8+c=0, c=7;

3x-2y+7=0 -уравнение прямой, параллельной сторонеABи проходящей через вершинуC.

6)Внутренний угол при вершинеA определим как угол между прямымиABиAC, формула: tg ua=A₁B₂-A₂B₁/A₁A₂+B₁B₂

Уравнение прямой АС: y-(-4) / 8-(-4) = x-4 / 3-4, 12x+y-44=0

От сюда: tg ua= 3*1-12*(-2) / 3*12-2*1 = 27 / 34

Тогда: ua = arctg(0,7941) 0,6771rad,ua = 38,5^o

Уравнение прямой ВС: y-2 / 8-2 = x-8 / 3-8, 6x+5y-58=0

От сюда: tg uc = 12*5-6*1 / 12*6+1*5 = 54 / 77

Тогда: uc =arctg(0,7013) = 0,6116,uс = 35^o

Внешний угол при вершине C составитuс’=360^o-uс=360^o-35=325^o

Задачи 21-30.Составить канонические уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по известным из условий 1 – 3 параметрам. Черезa иbобозначены большая и малая полуоси эллипса или гиперболы, черезF– фокус кривой,– эксцентриситет,2 c – фокусное расстояние,– уравнения асимптот гиперболы,D – директриса кривой,A,B– точки, лежащие на кривой.

29.

3) ось симметрии и.

Решение:

1)Каноническое уравнение эллипса определяется: x²/a²+y²/b²= 1 (1)

a- большая,b- малая полуочи.x₁=-c,y₁=0;x₂=c,y₂=0f1(-c;0),f2(c, 0)c=a²-b² (2)

a=13,f(-5,0),c=5из формулы (2) b=a²-c²= 13²-5²= 12, от сюда уравнение эллипсаx²/13²+y²/12²= 1

2)Каноническое уравнение гиперболы определяется:x²/a²–y²/b²= 1 (3)

a- действительная,b– мнимая полуоси.x₁=-c,y₁=0;x₂=c,y₂=0f1(-c;0),f2(c, 0)c=a²+b² (4)

b=4,f(-7,0),c=7 из формулы (4)b= с²-b²= 7²-4²= 33, от сюда уравнениегипербылыx² / 33 -y² / 16 = 1

3) Каноническое уравнение параболы определяется:y²=2px(5)

Уравнение директрисы: x=-p / 2 (6)

По условию директрисаx=-3 / 8 из формулы (6)p=3 / 4, от сюда уравнение параболыy²=2*3/4x

y²=3/2 x

Задачи 31-40.Даны четыре точкиA₁(x₁,y₁,z₁),A₂(x₂,y₂,z₂),A₃(x₃,y₃,z₃),A₄(x₄,y₄,z₄). Требуется найти:

1) уравнение плоскости A₁A₂A₃;

2) уравнение прямой, проходящей через точку A₄, перпендикулярно плоскостиA₁A₂A₃;

3) расстояние от точки A₄до плоскостиA₁A₂A₃;

4) синус угла между прямой A₁A₄и плоскостьюA₁A₂A₃;

5) косинус угла между координатной плоскостью Oxyи плоскостьюA₁A₂A_3.

39. A₁(1,-2,7), A₂(4,2,10), A₃(2,3,5), A₄(5,3,7).

Решение:

1)Уравнение плоскости проходящей через три точки m₁(x₁,y₁,x₁), m₂(x₂,y₂,x₂), m₃(x₃,y₃,x₃) имеет вид:

x-x₁ y-y₁ z-z₁ x-1 y+2 z-7

x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ = 0 3 4 3 = 0 (x-1)(-23)-(y+2)(-9)+(z-7)11=0

x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁ 1 5 -2 -23x+9y+11z-36=0 - уравнение плоскостиA₁A₂A_3.

2)Уравнение прямой, проходящей через точкуA₄, перпендикулярно плоскостиA₁A₂A₃имеет нормальный векторn=(-23,9,11).От сюда уравнение искомой прямой x=5-23t,y=3+9t,z=7+11t

3) , x_o=5, y_o=3, z_o=7,

A=-23, B=9, C=11, D=-36

d=|-23*5+9*3+11*7-36| / (-23)²+9²+11² =183 / 731 = 6,8

4)Sinu= , составим уравнение прямой А₁А₄ проходящей через две точки:

x-x₁ / x₂-x₁=y-y₁ / y₂-y₁=z-z₁ / z₂-z₁

x-1 / 5-1 = y-(-2) / 3-(-2) = z-7 / 7-7

x-1 / 4 = y+2 / 5 = z-7 / 0

a₁=4, a₂=5, a₃=0

Sin u= |-23*4+9*5+11*0| / (-23)²+9²+11² * 4²+5²+0² = 731 / 29971 0,2715

5) Cosu= , для плоскостиОху:A₁=0,B₁=0,C₁=1

для плоскости A₁A₂A_3: A₂=-23, A₂=9, A₃=11

Cos u = 0*(-23)+0*9+1*11 / (-23)²+9²+11² * 0²+0²+1² = 11 / 731 0,4069