Высшая математика-КР1-5 Вариант-АСОИ
.docУЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет заочного и дистанционного обучения
Специальность: Автоматизированные системы обработки информации
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 1
Вариант № 5
Маленького Евгения Николаевича
Группа: 000622
Зачетная книжка: 000622-25
Электронный адрес: 12_09_79@mail.ru
Задача 5
Даны четыре вектора и заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
1) вычислить скалярное произведение .
Произведение вектора на скаляр равно произведению его координат на скаляр:
;
Разность векторов – есть разность соответствующих координат:
Так как скалярное произведение векторов равно сумме произведению соответствующих координат, то:
2) вычислить векторное произведение .
По аналогии с первым пунктом произведение вектора на скаляр и разность векторов равны:
;
Векторное произведение векторов найдем по формуле:
;
.
3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Базисом в пространстве R3 являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Найдем смешанное произведение векторов по формуле:
; ; векторы некомпланарные и образуют базис, а значит вектор , где координаты вектора в базисе . Запишем это выражение в виде системы уравнений в координатном виде:
;
Решим эту систему по правилу Крамера. Определитель системы уже найден: ∆= – 28, теперь найдем:
;
;
;
Отсюда:
; ; ;
Следовательно, вектор имеет координаты {1;4;-4} в базисе или:
.
Задача 15
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) уравнение прямой А1А2; 3) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 4) уравнение плоскости А1А2А3; 5) угол между ребром А1А2 и гранью А1А2А3; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3; 7) площадь грани А1А2А3; 8) объем пирамиды; 9) сделать чертеж.
А1(9;5;5); А2(-3;7;1); А3(5;7;8); А4(6;9;2).
1) Найти длину ребра А1А2.
Длина ребра А1А2 численно равна расстоянию между точками А1 и А2, которое в декартовой системе координат находится по формуле:
, где x1, y1, z1 – координаты точки А1, а x2, y2, z2 – координаты точки А2. Таким образом, получаем:
.
2) Найти уравнение прямой А1А2.
Для составления уравнения прямой А1А2, воспользуемся формулой:
, где x1, y1, z1 – координаты точки А1, а x2, y2, z2 – координаты точки А2, уравнение прямой А1А2 будет иметь вид:
– это канонический вид уравнения прямой, либо:
.
В таком виде уравнение прямой выглядит как уравнения двух пересекающихся плоскостей.
3) Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4.
Угол φ между ребрами А1А2 и А1А4 находится по формуле:
- из скалярного произведения векторов и
Находим:
;
;
;
;
значит:
.
4) Найти уравнение плоскости А1А2А3.
Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой:
, где x1, y1, z1 – координаты точки А1, x2, y2, z2 – координаты точки А2 и x3, y3, z3 – координаты точки А3, подставляем значения:
раскрываем определитель:
– уравнение плоскости А1А2А3.
5) Найти угол между ребром А1А2 и гранью А1А2А3.
Угол θ между ребром А1А2 и плоскостью А1А2А3 – это угол между вектором и его ортогональной проекцией А1А4 на грань А1А2А3. Вектор перпендикулярен грани А1А2А3, что вытекает из определения векторного произведения,
значит имеем:
; ;
.
6) Найти уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
Уравнение высоты получим из канонического уравнения прямой:
, где M0(x0, y0, z0) – точка, лежащая на искомой прямой; m, n, p – координаты вектора , параллельного искомой прямой. В качестве точки M0 возьмем точку А4(6;9;2), а в качестве вектора – нормальный вектор плоскости А1А2А3, т.е. вектор , найденный в пункте 5.
Получим:
.
7) Найти площадь грани А1А2А3.
Площадь найдем из геометрического смысла векторного произведения:
.
8) Найти объем пирамиды.
Объем найдем из геометрического смысла смешанного произведения:
;
;
.
9) Выполнить чертеж.
Задача 25
Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .
Составим уравнение плоскости P, проходящей через точку М перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор к P, есть ;
;
Решив совместно уравнение L и уравнение P, получим их точку пересечения N:
;
Пусть , тогда:
;
далее по восходящей находим x, y, z:
; ; ;
значит координата пересечения P с L: ;
Так как точка N – середина отрезка MM', значит координата точки M плюс координата точки M', деленная пополам, есть координата точки N:
; ; ;
.
Задача 35
Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки вдвое больше, чем до прямой .
Возьмем на искомой линии произвольную точку M(x, y). Тогда по условию получаем, что , где P – основание перпендикуляра из точки M к прямой . Исходя из этого находим:
, где – координаты точки M,
а – координаты точки A;
, где – коэффициенты в уравнении прямой ;
; ;
;
;
;
;
Из уравнения линии второго порядка общего вида:
– видно, что и
– разные знаки полученная линия – есть гипербола