Вышка часть4 вариант 4
.doc
Кр10
№484
Представить
заданную функцию w=f
(z),
где z
= x
+ iy,
в виде w
= u(x,y)
+ iv(x,y);
проверить, является ли она аналитической.
Если да, то найти значение ее производной
в заданной точке z0.
Так как z=x+iy то
действительная и мнимая части функции w(x,y) имеют вид
найдем частные производные этих функций
так как
и
для любых x
и y
и эти частные производные непрерывны
на всей комплексной плоскости то функция
является
аналитической на всей комплексной
плоскости
======= ========= ============= ========= ================ ====
№494
Найти
все лорановские разложения данной
функции по степеням z
- z0
Представим дробь в виде сумме простейших дробей
тогда
функция w(z) имеет две особые точки z=i и z=-i
Имеем три круговых
кольца с центром в точке
в каждом из которых функция аналитична.
1. круг
2. круг
3. круг
Найдем лорановские разложения функции в каждой из данных областей
1.
Кр10
в кольце
поэтому имеем
2.
в кольце
тогда
3.
в кольце
имеем
======= ========= ============= ========= ================ ====
№504
Определить
область (круг) сходимости данного ряда
и исследовать сходимость его (расходится,
сходится условно, сходится абсолютно)
в точках z1,
z2
,
z3
.
Для данного
степенного ряда
тогда
найдем радиус сходимости ряда
Область сходимости
ряда определяется неравенством |z-2|<3
которое выражает внутренность круга с
центром в точке
и радиусом 3.
Кр10
точка
лежит внутри круга сходимости поэтому
ряд в этой точке расходится
Исследуем сходимость
ряда в точке
которая лежит на границе круга сходимости.
При
получим числовой ряд
воспользовавшись предельным признаком сравнения ,сравнив его с гармоническим рядом
следовательно
ряд
также расходится.
Таким образом в
точке
ряд расходится
Ответ
В
ряд сходится абсолютно
В
и
ряд расходится
======= ========= ============= ========= ================ ====
№514 При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру l.
Функция внутри
контура интегрирования имеет особые
точки
-полюс второго порядка и
-полюс первого порядка.
Тогда по основной
теореме о вычетах
