Высшая математика, 1 курс, 1 семестр, КР №1, 2011

Учреждение образования

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет дистанционного образования

Специальность: маркетинг

Контрольная работа

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 1 (часть 1)

вариант № 1

Задача 1. Даны векторы a,b,c,d. Требуется:

1) вычислить скалярное произведение векторов для векторов и ;

2) найти модуль векторного произведения векторов и ;

3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов и ;

4) убедиться, что векторы a,b,c образуют базис;

5) найти координаты вектора d в этом базисе.

a=i-2j+3k, b=4i+7j+2k, c=6i+4j+2k, d=14i+18j+6k;

Решение:

1. Вычислим скалярное произведение векторов 3a и -2b:

2. Найдем модуль векторного произведения векторов -2b и с:

;

3. Проверим коллинеарность и ортогональность векторов 3a и c.

-> векторы неколлинеарны;

-> векторы неортогональны

4. Проверим, что векторы a, b, c образуют базис

a, b, c образуют базис

5. Найдем координаты вектора d в этом базисе:

Получим систему:

Воспользуемся правилом Крамера:

Ответ:

1) 24,

2) 4;

3) векторы неколлинеарны и неортогональны;

4) a, b, c образуют базис;

5) d=2b+c.

Задача 11. Даны вершины A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) треугольника ABC. Требуется найти:

1) уравнение стороны AB;

2) уравнение высоты CH и длину этой высоты;

3) уравнение медианы AM;

4) точку N пересечения медианы AM и CH;

5) уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;

6) внутренний угол при вершине A.

A(-2,4), B(3,1), C(10,7).

Решение:

1) Найти уравнение стороны AB.

Воспользуемся формулой , где (x₀, y₀) и (x₁, y₂) – координаты двух точек, принадлежащих прямой:.

-.

2) Найти уравнение высоты СН и длину этой высоты.

Т.к. СН.

y - y₀ = k *(x – x₀), где (x₀, y₀) – координаты точки прятой (в данном случае С)

, y-7= (x – 10), y = .

AB CH=H.

= .

= + , Н(

СН = = 3 .

3) Найти уравнение медианы АМ.

М (; ), M(, 4), т.к. y_А = y_М, то уравнение АМ имеет вид y=4.

4) Найти точку N пересечения AM и CH.

x= , y= , N(; 4).

5) Найти уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину С.

, где (l,m) – коорд. направляющего вектора.

АВ(5, -3)- направляющий вектор.

, 30-3x=5y-35, y = - x + 13.

6) Найти внутренний угол при вершине А .

Внутренний угол при вершине А – это угол ВАС.

cosВАС = = = , ВАС=45°.

Ответ:

1. -

2. y = 3;

3. y=4;

4. (; 4);

5. y = - x + 13;

6. 45°.

Задача 21. Составить канонические уравнения

1) эллипса,

2) гиперболы,

3) параболы

по известным из условий 1 – 3 параметрам. Через a и b обозначены большая и малая полуоси эллипса или гиперболы, через F – фокус кривой, – эксцентриситет, 2 c – фокусное расстояние, – уравнения асимптот гиперболы, D – директриса кривой, A, B– точки, лежащие на кривой.

Решение:

1) Каноническое уравнение эллипса имеет вид: + = 1, (a>0, b>0).

F – фокус кривой и имеет координаты (c, 0) или (- с, 0).

с²=a² – b², отсюда находим a²= с²+ b².

По условию с=10, a²=100 + 225= 325.

Каноническое уравнение эллипса будет иметь вид: + = 1.

2) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: - = 1.

Эксценриситет ε =, т.к. по условию ε=14/13, то с = 14.

Из с²=a² + b² находим b² = 27.

Получаем следующее уравнение: - = 1.

3) Каноническое уравнение параболы, директриса которой задается уравнение x=const, имеет вид:

x= = -4 (по условию), p = 8.

.

Ответ:

1. + = 1;

2. - = 1;

3. .

Задача 31. Даны четыре точки A₁(x₁,y₁,z₁), A₂(x₂,y₂,z₂), A₃(x₃,y₃,z₃), A₄(x₄,y₄,z₄). Требуется найти:

1) уравнение плоскости A₁A₂A₃;

2) уравнение прямой, проходящей через точку A₄, перпендикулярно плоскости A₁A₂A₃;

3) расстояние от точки A₄ до плоскости A₁A₂A₃;

4) синус угла между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃;

5) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A₁A₂A_3.

A₁(3,-1,2), A₂(-1,0,1), A₃(1,7,3), A₄(8,5,8).

Решение:

1) Найти уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А₁(x₁, y₁,z₁), А₂(x₂, y₂,z₂), А₃(x₃, y₃,z₃), может быть записано в виде:

= 0

Подставим в это равенство координаты точке А₁, А₂, А₃.

= = 9 x + 6 y - 30 z + 39=0.

2) Найти уравнение прямой L, проходящей через точку A₄ перпендикулярно плоскости А₁А₂А₃.

В параметрическом виде уравнение прямой имеет вид:

где (x₀, y₀, z₀) – произвольная точка прямой, a(l, m, n) – направляющий вектор прямой, t  R.

Плоскость А₁А₂А₃: 9 x + 6 y - 30 z + 39=0. Тогда вектор нормали плоскости А₁А₂А₃: n(9, 6, -30). Вектор n перпендикулярен плоскости А₁А₂А₃, а значит, будет являться направляющим вектором прямой L. Тогда прямая L:

3) Найти расстояние от точки А₄ до плоскости А₁А₂А₃.

Растояние от точки А(x₀, y₀, z₀) до плоскости Ax + By + Cz +D=0 определяется формулой:

d = .

Тогда расстояние от А₄(8, 5, 8) до А₁А₂А₃ будет равно:

d = = = .

4) Найти синус угла между прямой А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А₃.

Если a(l, m, n) – направляющий вектор прямой, а n(A, B, C) – вектор нормали плоскости, то синус угла α между прямой и плоскостью вычисляет по формуле:

sin α = = .

Вектор А₁А₄ будет являться направляющим вектором прямой А₁А₄. Координаты вектора А₁А₄=(5, 6, 6).

Вектор нормали плоскости А₁А₂А₃ n(9, 6, -30).

sin α = = .

5) Найти косинус угла между координатной плоскостью Оxy и плоскостью А₁А₂А₃.

Вектор нормали к плоскости Оxy n₁(0, 0, 1), а к плоскости А₁А₂А₃ n(9, 6, -30).

Длины этих векторов |n₁| = 1, |n|=3. Тогда косинус угла  между плоскость Oxy и А₁А₂А₃ равен:

cos  = = = - = - .

Ответ:

1. 9 x + 6 y - 30 z + 39=0;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

12