Контрольная работа по ВМ №3
.docx
Контрольная работа №1
Выполнил: студент 1 курса, ПОИТ,
гр. 191002, Приходько Александр
Контрольная работа № 3. Введение в математический анализ
Задача 1(88)
Выделив в заданной функции полный квадрат, получить уравнение параболы и построить её график
Решение
Выделив полный квадрат в заданной функции, получим
.
Теперь применим метод преобразования координат. Известно, что график функции получают путем переноса графика вверх или вниз вдоль оси OY на в зависимости от знака b, график функции получается параллельным переносом графика при в положительном направлении оси ОХ на с, и в отрицательном направлении этой оси при. Тогда график исходной функции можно построить, переместив вершину параболы в точку . Ветви параболы направлены вниз.
Задача 2(98)
Задана функция на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая аргументу значения через промежуток ; 2) найти каноническое уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить тип линии.
Решение
Составим таблицу значений:
0 |
|||||||||
r |
2 |
2,08 |
2,34 |
2,89 |
4 |
6,48 |
8 |
13,66 |
52,55 |
∞ |
52,55 |
13,66 |
8 |
6,48 |
4 |
2,89 |
2,34 |
2,08 |
2 |
Для вычерчивания линии проведем радиусы-векторы, соответствующие углам , взятым с интервалом . На каждом из этих радиусов-векторов откладываем отрезки, равные значению r при соответствующем значении из таблицы . Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии:
2. Подставляя и в уравнение заданной линии, получим
Полученное уравнение есть уравнение параболы
Задача 3
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
1) ; 2) ; 3) .
Решение
1) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости вида . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на . Получим
,
так как при функции – бесконечно малые функции
2) Пределы числителя и знаменателя при равны нулю, т.е. имеем неопределенность . Домножим числитель и знаменатель на , а многочлен в знаменателе разложим на множители:
3) Подстановка приводит к неопределенности .
Воспользуемся свойством разности логарифмов и замечательным пределом
Задача 4
Найти указанные пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
1) ; 2) .
Решение
1)
2) Введём замену переменной , тогда при .
Преобразуем выражение:
Здесь мы воспользовались соотношениями и эквивалентными функциями .
Задача 5(128)
Задана функция различными аналитическими выражениями для различных интервалов изменения аргумента. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и установить их тип. Сделать чертёж
Решение
Очевидно, что являются точками, подозрительными на разрыв. В остальных точках функция непрерывна.
Вычислим односторонние пределы в подозрительных точках:
; ;
; .
Поскольку то функция в точке является непрерывной.
В точке функция имеет разрыв 1‑го рода, так как .
Построим график с учетом проведенного исследования.