Свойства бесконечно малых.

1. Сумма определенного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Пусть α и β - бесконечно малые. Зададим ε > 0. Тогда в процессе изменения α и β имеем |α| < ^ε/₂, |β| < ^ε/_2. Тогда |α + β| < ^ε/₂ + ^ε/₂ = ε, т.е. α + β – бесконечно малые. Теорема справедлива для любого фиксированного числа слагаемых.

Определение. Переменная у называется ограниченной, если существует такое постоянное число М>0, что в процессе изменения у выполняется неравенство |y| < M. Например: y = sin x. |sin x| ≤ 1, sin x – ограниченная.

2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая. Пусть у – ограниченная величина, α – бесконечно малая. Тогда существует М>0 такое, |y| ≤ M. Зададим произвольное ε > 0. |α| < ^ε/_M. Следовательно, |y∙α| = |y|∙|α| < M∙ ^ε/_M = ε

→ y∙α – бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Это – следствие из свойства (2), т.к. бесконечно малая величина есть величина ограниченная.

Теоремы о пределах.

1. Предел суммы равен сумме пределов.

2. Предел произведения равен произведению пределов.

3. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю.

lim ^u/_v = ^{lim u} / _{lim v}, если lim v ≠ 0.

Доказательство теоремы 2). Дано lim u = a, lim v = b. Докажем, что lim uv = ab.

u = a + α, v = b + β, α, β – бесконечно малые, uv = ab + αb + aβ + αβ

б. малая.

Отсюда lim uv = ab.

4. Если u ≤ v ≤ w и если lim u = lim w = A, то lim v = A. (теорема «о двух милиционерах»)

5. Монотонно возрастающая переменная, ограниченная сверху, имеет предел. Первый замечательный предел.

Найдем R=1. ½ R² sin x < ½ R²x < R² tg x, sin x < x < tg x, │¹/_{sin x}

Найдем

П р и м е р .

Число е и второй замечательный предел.

Рассмотрим логарифмическую функцию y = log_ax a > 0, a ≠ 1 (a^x = y).

φ изменяется с изменением а

а = 2 → φ ≈ 54^о , а = 4 → φ ≈ 34° .

Значение а, при котором φ = 45^о, называется эйлеровым числом е.

log_ex = ln x – натуральный логарифм. e ≈ 2,718… - иррациональное число.

Докажем, что .

Если h→0, то β→ ^π/₄ (секущая стремится занять положение касательной), и tgβ → 1.

Найдем далее предел

Если h = ¹/_z , то z → ∞ при h → 0. - второй замечательный предел.

П р и м е р .

Сравнение бесконечно малых.

Пусть α и β – бесконечно малые величины. Возможны следующие случаи:

1. lim ^α./_β = k ≠ 0, α и β – бесконечно малые одного порядка малости .

2. lim ^α/_β = 0, α - бесконечно малая высшего порядка. Обозначение α = О(β).

3. lim ^α/_β = 1, α и β – эквивалентные бесконечно малые. Обозначение α ~ β.

П р и м е р ы эквивалентных бесконечно малых .

, sin x ~ x, tg x ~ x, arcsin x ~ x, ln(1 + x) ~ x

При нахождении пределов можно бесконечно малые величины заменять им эквивалентными.