Бесконечно большие величины.

Переменная y называется бесконечно большой величиной, если в процессе изменения |y| становится и остается больше любого наперед заданного положительного числа М.

lim y = ∞.

Теорема.

Величина, обратная бесконечно малой величине, является бесконечно большой величиной.

Доказательство. Пусть α – бесконечно малая величина. Зададим произвольное М > 0. Тогда |α| < ¹/ _M . Отсюда ¹_{/| α|} > M, следовательно, ¹/ _α – бесконечно большая величина.

П р и м е р. y = x² , зададим М > 0. |y| > M→ |x²| > M, |x| > . ∞ - не число!

П р и м е р ы .

1. 

2. . 3.

4. 

4. 

4. 

4. 

4. 

4. 

4. 

Непрерывные функции.

Примеры разрывных функций.

x, x < 1, у

1. f(x) x – 1, x ≥ 1.

1 x

левый и правый пределы существуют, но не равны между собой. x = 1 – точка разрыва.

2. В точке x = 1 f(x) не определена. f(x) = x, если x ≠ 1. . x = 1- устранимый разрыв

2 ●

3. 1 x

o 1 x

точка х = 1 – точка разрыва.

В примерах 1), 2), 3) имеем разрыв первого рода. Левый и правый пределы функции f(x) существуют.

4. 

х = 1 – функция не определена. В точке х = 1 разрыв у

второго рода.

Е сли либо левый, либо правый пределы функции

н е существуют, то функция в точке х = х₀ 0 1 х

имеет разрыв второго рода.

Непрерывность функции в точке.

Функция называется непрерывной в точке х = х₀, если она определена в этой точке, предел функции при х→ х₀ существует и равен значению функции в этой точке.

1. f(x) определена при х = х₀.

2. 

3. 

Второе определение непрерывности функции в точке.

Пусть f(x₀) непрерывна в точке х₀.

f(x₀ + ∆x) – f(x₀) = f(x) – f(x₀) = ∆y – приращение функции.

Обозначим x = x₀ + Δx.

Пусть ∆x → 0, тогда x→ x₀. Очевидно, если f(x) непрерывна при x = x₀, то

- функция f(x) – непрерывна в точке х = х₀.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если она определена в этой точке, и, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует и бесконечно малое приращение функции.