Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в этот треугольник окружности.
Теоремы о прямоугольном треугольнике: свойство медианы к гипотенузе и теорема обратная к ней; пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике; формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
|
r=
, где p=
Центр
описанной окружности совпадает с
серединой гипотенузы.
Радиус равен половине гипотенузы: R=c\2.
Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе.
Теорема косинусов и определение вида треугольника по его сторонам.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними
Теорема синусов и следствие из неё.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата.
Параллелограм:
Теоремы (свойства параллелограмма):
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180.
Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Признаки параллелограмма:
Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Ромб:
Свойства:
Все свойства параллелограмма.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов.
В ромб всегда можно вписать окружность.
Признаки ромба:
Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами углов, то этот параллелограмм — ромб.
Квадрат:
Все свойства прямоугольника и ромба.
Диагонали квадрата равны
.