11. Метрические соотношения в параллелограмме.

1. та и другая пара противоположных сторон состоит из равных отрезков;

2. одна пара противоположных сторон состоит из равных и параллельных отрезков;

3. при противоположных вершинах той и другой пары углы равны;

4. точка пересечения диагоналей делит каждую из них пополам.

12. Положение центров вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей, формулы их радиусов.

    1. центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле: r=S\p, где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

    2. центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле: R = , R = ; здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;

    3. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;

    4. центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.

13. Необходимые и достаточные условия вписания и описания окружностей относительно четырёхугольников.

1. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусам.

2. Если сумма противоположных углов 4-угольника равна 180 градусам, то около него можно описать окружность.

2.1. В любом описанном 4-угольнике суммы противоположных сторон равны.

2.2. Если суммы противоположных сторон выпуклого 4-угольника равны, то в него можно вписать окружность.

14. Свойства касательных к окружности.

    1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

    2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

15. Теоремы о пересекающихся хордах окружности, касательной и секущей (двух секущих) к окружности из общей точки.

    1. При пересечении хорды делятся на отрезки, произведения которых равны.

    2. Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

    3. Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

    4. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

16. Измерение углов, связанных с окружностью: центральный, вписанный, с вершиной внутри окружности, с вершиной вне окружности и пересекающими её сторонами, между хордой и касательной с общей точкой.

1.      Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается.

2.      Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

3.      Вписанный угол равен половине централь­ного угла, опирающегося на ту же дугу.

4.      Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

5.      Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну и ту же сторону от этой хорды, равны.

6.      Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

7.      Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

8.      Угол между пересека­ющимися хордами измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается, заключенных между этими хордами.

9.      Угол между се­кущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полу­разностью дуг, на которые он опирается, заключенных между секущими.

10.  Угол между касательной и хордой измеряется поло­виной дуги, заключенной между касательной и хордой.