3. Тригонометрические неравенства.

При решении простейших тригонометрических неравенств вида f (x) ≥ а, (либо f (x) > а, f (x) < а, f (x)  где f (x) − одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность, которая позволяет наглядно представить решения неравенства и записать ответ.

Пример 9. Решить неравенство

Δ Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината не меньше числа (см. рис. 1).

Д

Рисунок 1

1

ля решением данного неравенства будут Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на то sin x также будет не меньше Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить где Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом применяются линии тангенсов и котангенсов - прямые x = 1 и y = 1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности (см. рис. 2).

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол α с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки (1; 0) до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.

Рисунок 2

Пример 10. Решить неравенство

Δ Обозначим тогда неравенство примет вид простейшего: Рассмотрим интервал длины, равной π - основному периоду тангенса. На этом интервале с помощью линии тангенсов устанавливаем, что Вспоминаем теперь, что необходимо добавить поскольку основной период тангенса равен π. Итак, Возвращаясь к переменной x, получаем, что

Ответ:

Для решения неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции удобно пользоваться графиками этих функций (см. рис. 3-6).

Рисунок 3 Рисунок 4

Арксинус Арккосинус

Рисунок 5 Арктангенс

Рисунок 6 Арккотангенс

Пример 11. Решить неравенство

Δ Воспользуемся графиком функции Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой Это точка с абсциссой По графику видно (см. рис. 2), что для всех график функции лежит ниже прямой Следовательно, эти x и составляют решение данного неравенства.

Ответ:

Рисунок 7

3

Учебная карта к занятию 8.

Задания уровня А

1.1 Решите уравнения: а) б) в)

г) д)

1.2 Решите неравенства: а) б) в)

г)

Задания уровня В

2.1 Решите уравнения: а) б)

2.2 Решите уравнения: а) б)

в) г)

Задания уровня С

3.1 Решите уравнение

Домашнее задание

1.3 Решите уравнения: а) б)

в) г) д)

1.4 Решите неравенства: а) б)

в) г)

2.3 Решите уравнения: а) б)

2.4 Решите уравнения: а) ,

б) , в)

_{Ответы и указания к заданиям}

1.1 а) б) в)

г) д)

1.2 а) б)

в) г)

1.3 а) б) в)

г) д)

1.4 а) б)

в) г)

2.1 а) Указание. Перейти к равносильному уравнению

, затем решить совокупность уравнений, объединив решения.

б)

2.2 а) Указание. Воспользоваться формулой приведения , а затем разложить на множители по формуле разности косинусов. б) Указание. Воспользоваться методом введения вспомогательного угла. в) Указание. Приведите к однородному уравнению 2-ой степени, представив г)

2.3 а) б)

2.4 а) Указание. Перенесите 1 влево и разложите на множители, применив основное тригонометрическое тождество.

б) Указание. Перенесите вправо и сверните по формуле половинного угла, а левую часть разложите на множители по формуле суммы косинусов. В результате дальнейших преобразований получается три серии решений. Однако можно объединить две серии решений: 1) и заменить их одной: поскольку все точки второй серии решений содержатся в первой серии.

в) 3.1 Указание. Преобразовать левую часть уравнения с помощью метода вспомогательного угла, представив её в виде Затем рассмотреть сумму косинусов и представив её в виде произведения, перейти к совокупности двух уравнений.