1.2 Разложение передаточной функции на сумму простых слагаемых. Вычисление импульсной переходной характеристики ω(t) спомощью обратного преобразования Лапласа и переходной характеристикиh(t)

Получим разложение передаточной функции на сумму простых слагаемых:

Найдём a, b, c.

.

Следовательно,

_{Получим систему уравнений:}

Решая эту систему, получим корни:

Передаточная функция:

Импульсная переходная характеристика w(t) – это процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход δ-функции. Ее можно найти в результате обратного преобразования Лапласа, примененного к каждому слагаемому передаточной функции.

В соответствии с таблицами соответствия ,тогда:

Переходная характеристика h(t) – это процесс изменения сигнала на выходе при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия. Ее можно вычислить следующим образом:

,

таким образом аналитическая форма переходной характеристики имеет вид:

.

Переходную характеристику можно также вычислить следующим образом: так как на вход подается единичное ступенчатое воздействие, а преобразование по Лапласу 1(t) это , то, получим такой же результат.

Выполним проверку:

-верно;

- верно.

1.3 Построение лачх и лфчх

При определении частотных характеристик подразумевается, что на входе и выходе системы сигналы являются гармоническими.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, как изменяется отношение выходного сигнала к входному в зависимости от частоты.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) показывает изменение сдвига фаз между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты.

ЛАЧХ строится в двойных логарифмических шкалах. По одной логарифмической оси откладывается круговая частота ω, по другой значение L(ω)=20lgK, выраженное в децибелах. Асимптотическая ЛАЧХ состоит из отрезков прямых линий с наклонами кратными 20дБ/дек.

Преобразуем передаточную функцию к следующему виду:

Теперь она представляет собой произведение трех апериодических и одного форсирующего звена с постоянными времени ;Коэффициент усиления К=8. Сопрягающие частоты звеньев равны

;;;.

Далее необходимо правильно разметить оси и отметить на оси ω сопрягающие частоты. ЛАЧХ приведена на рис. 1.1, а.

Рисунок 1.1 –Асимптотические ЛАЧХ (а) и ЛФЧХ (б)

_{Первая линия в области низких частот проводится через точку ω=1};L(ω)=20lgK. Через эту точку проводится первый наклон, и он равен, где - количество интегрирующих звеньев. Так как есть дифференцирующее звено (=-1), то первый наклон будет +1. Он идет с наклоном +1доL(ω)=20lgK=20lg8=18 частоты . Эта частота относится к апериодическому звену Следовательно, наклон изменится на -1. ЛАЧХ параллельна оси частот. Этот наклон будет идти до сопрягающей частоты. Так как это частота относится к апериодическому звену, то наклон изменится на -1. После частотынаклон изменится на -1и станет равным -2. Частота, при которой частотная характеристика пересечет ось частот, называется частотой среза,

Фазочастотная характеристика (рис. 1.1, б) построена в соответствии с выражением

Значения каждого из слагаемых определяются приближенно для значений ω → 0, ω → ∞, . В этих точках

1.4 Уравнение состояния в нормальной форме,схема моделирования

Кроме входных и выходных переменных при описании систем выделяют переменные х, связанные с внутренней структурой устройства,- переменные состояния. Тогда систему можно описать с помощью уравнений состояния.

Нормальная форма уравнения состояния имеет вид:

(1.3)

гдеА – матрица Фробениуса.

Матрица Фробениуса – это квадратная матрица, размер которой определяется порядком дифференциального уравнения. Элементы, стоящие над главной диагональю – единицы; элементы нижней строки - это коэффициенты левой части дифференциальногоуравнения, взятые с противоположным знаком, все остальные элементы – нулевые.

Согласно (1.2) дифференциальное уравнение системы имеет вид:

где и- коэффициенты уравнения.

Для систем с одним входом и одним выходом D– одноэлементная матрица, В – вектор-столбец, состоящий из 3 элементов, которые определяются следующим образом:

;

Матрица С – вектор-строка, состоящая из 3 элементов, первый элемент единица, остальные нули:

.

Подставим рассчитанные матрицы в систему (1.3), получим:

От матричной форме перейдем к скалярной:

Схема модели приведена на рис.1.2:

Рисунок 1.2 – Схема модели, соответствующая уравнениям состояния в нормальной форме