На рис.2.5 представлена диаграмма Боде исследуемой дискретно системы, с отмеченными на ней запасами устойчивости по амплитуде и фазе.

Рис. 2.4

Рис.2.5

III исследование нелинейной непрерывной системы автоматического управления

Задание:

Используя метод гармонической линеаризации нелинейного элемента, определить на основе частотного способа возможность возникновения автоколебаний в замкнутой системе, их устойчивость, амплитуду и частоту.

Исходные данные:

Структура нелинейной САУ представлена на рис. 3.1, где НЭ— нелинейный элемент, W(s) - передаточная функция непрерывной линейной части системы.

Рис 3.1

1. Передаточная функция W₀(s) берется из пункта 1, как передаточная функция скорректированной системы с соответствующими числовыми коэффициентами. Нелинейный элемент НЭ имеет нелинейную характеристику u=f(e) которая для всех заданий является характеристикой идеального реле:

(1.1)

где с=3.

Приближенная передаточная функция нелинейного элемента для случая идеальное реле имеет вид:

(1.2)

где a – амплитуда искомого периодического режима, а>0.

2. На комплексной плоскости строим характеристику:

(1.3)

Это прямая, совпадающая с отрицательным отрезком действительной оси, вдоль которой идет оцифровка по амплитуде а₀ = 0, a₁, a₂, …. В том же масштабе на комплексной плоскости строится АФЧХ разомкнутой системы W₀(jw) при изменении частоты от 0 до + inf.

Передаточная функция скорректированной системы:

На рис.3.2 (выделен интересующий фрагмент) пунктиром отмечена АФЧХ

рис.3.2

Точка пересечения кривых (-0.117, 0j).

В точке пересечения АФЧХ W₀(jw) и прямой по графику W(jw) нашли частоту искомого периодического (гармонического) режима ω=ω*, а на прямой в точке пересечения его амплитуда а = а*. Тогда в системе существуют периодические колебания:

(1.4)

Приравнивая Im(W₀(jω)) = 0 находим w =3.09 (функция fsolve). При найденном значении частоты получим Re(W₀(jω))= -0.117. Из условия

(1.5)

находим а =0.298.

Для определения устойчивости периодического режима можно воспользоваться следующим правилом: если при увеличении амплитуды а вдоль кривой пересечение АФЧХW₀(jw) происходит «изнутри наружу», то такой периодический режим будет устойчивым, т.е. в системе существуют автоколебания с частотой w^* и амплитудой а^* .

Таким образом, периодический режим будет устойчивым.

Литература

1. Теория автоматического управления. Конспект лекций: В 2ч. Ч.1: Линейные непрерывные системы: учеб.-метод. пособие / В.П. Кузнецов, С.В Лукьянец,

М.А. Крупская. - Мн.: БГУИР, 2007. - 132 с.

2. Кузнецов, В.П. Линейные непрерывные системы: Тексты лекций по курсу: Теория автоматического управления.-Мн.: БГУИР, 1995.-180 с.

3. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.1: Линейные непрерывные системы./ В.П. Кузнецов, С.В. Лукьянец, М.А. Крупская - Мн.: БГУИР, 2006.

4. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления 4.2.: Дискретные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы

/С. В. Лукьянец, А. Т. Доманов, В.П. Кузнецов, М. А. Крупская/ - Мн.: БГУИР, 2007.

5. Кузнецов, В.П. Линейные импульсные системы: Математическое описание: Тексты лекций по курсу „Теория автоматического управления". - Мн.: БГУИР, 1996.-70 с.

6. Бесекерский, В.А. Теория автоматического управления / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - СПб: Профессия, 2004.

6а. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. -М.: ГНТИ Машиностроительной литературы. 1969.

7. Теория автоматического управления. Ч.1./ под ред. А.А. Воронова. — М.: Высш. шк., 1986.

8. Теория автоматического управления. Ч.2. / Под ред. А.А. Воронова. — М.: Высш. шк., 1986.

9. Теория автоматического управления: учеб. Пособие для вузов / А.С. Востриков, Г.А. Французова. - М.: Высш. шк., 2004.

10. Иванов, В.А., Ющенко, А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. - М.: Физматгиз, 1983.

11. Медведев, В. С, Потемкин, В. Г. Control System Toolbox. Matlab 5 для студентов. -М.: Диалог-МИФИ, 1999.

12. Автоматизированный расчёт систем управления. Методическое пособие к лабораторным работам для студентов специальностей 53 01 03 «Автоматическое управление в технических системах» и 53 01 07 «Информационные технологии и управление в технических системах» всех форм обучения/М.А.Антипова, М.К.Хаджинов. - Мн.: БГУИР, 2003.-38с

13. Лазарев Ю. Ф., Matlab 5.X . -Киев.: Ирина, BHV, 2000. - 382с.

14. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами в системе MatLab. - СПб.: Наука, 2000. - 475с

15. Материалы сайта www.exponenta.ru