Задачник по аэрогидромеханике

Для вычисления по (7.11) неизвестным является давление p2

во втором

сечении. Не рассматривая

наружное обтекание корпуса судна, давление p2

будем искать по уравнению Бернулли

p

1

v 2

p

2

v 2

v 2

1ср

2

2ср

1ср

1

,

(7.12)

g

2g

g

2g

2g

где принято z1 z2 по условию задачи. Из (7.12) получим

v

2

v 2

p

p

1ср

(

)

2ср

.

2

1

2

1

2

2

Вычислим

значения

необходимых

тригонометрических

функций:

cos cos 45o

0,707;

sin sin 45o 0,707;

cos cos15o 0,259;

sin sin 75o

0,966;

cos( ) cos( 75o

45o ) 0,866.

Подстановка числовых значений в полученные формулы приводит к

v1ср

1,0 / 1,0 1,0 м / с,

v2ср

1,0 / 1,2 0,866 0,96 м / с ,

10 103

103 1,0 2

103 0,96

2

1,25 7,67 103 Па ,

p

2

(1,10 4,6)

2

2

F

103

1,05 1,0 2 1,0 103

1,10 0,96 2 1,2 0,707 0,866 10 103

1,0

жх

7,67 103

0,259 1,2

7,92 103 Н,

F

103

1,10 0,96 2

0,707 0,866 1,2 7,67 103

1,2 0,966 9,64 103 Н.

жy

Полное усилие, испытываемое стенками канала,

F

F 2 F 2

7,922 9,642 103 12,5 103 Н.

ж

жх

жy

Задача 7.2.2. Определить сопротивление симметричного крыла по расчетам измерения профиля скорости за ним в сечении 2-2 следа (рис.7.5), где дав-

ление p0	постоянно и равно давлению в потоке перед крылом. Профиль скоро-
сти в следе аппроксимируется выражением
	v	m				2 y
v v					cos
				1			.
	2					Bсл
Скорость					набегающего
воздушного			( 1,23кг / м3 )
потока v 50 м / с ,						макси-
мальный	дефицит скорости
на оси следа				vm 20 м / с ,
ширина следа				Bсл 0,2 м .
Дано: 1,23кг / м3 ;
v 50 м / с; vm 20 м / с; В
Определить: Fх							Рис. 7.5

101

Решение. Крыло считаем длинным, обтекание – плоским параллельно Oxy. Будем вычислять сопротивление для единичной длины крыла. Проводим контрольную поверхность, состоящую, как показано штриховыми линиями на

рис. 7.5, из двух частей. Первая часть S включает два отдаленных от профиля

к

одинаковых по площади сечения потока 1-1 (S ) и 2-2 (S ) и две боковые по-

	верхности 1-2 ( Sб ), также удаленные от профиля. Вторая часть				контроль-
				Sк
	ной поверхности совпадает с профилем.
	На внешней части контрольной поверхности		действуют только нор-
		Sк

мальные гидродинамические давления, поскольку силы трения (касательные напряжения) проявляются лишь в непосредственной близости к поверхности

обтекаемого тела (в пограничном слое). Так как контрольная поверхность S

к

проведена на большом удалении от тела, давления во всех ее точках равны давлению в невозмущенном потоке p . Интеграл постоянных давлений в (7.2) по

замкнутой поверхности в проекции на любую ось равен нулю.

По условиям двухмерности и симметричности течения относительно оси х силовое воздействие на профиль сводится к силе, направленной вдоль оси x, которая определяется согласно (7.3) формулой

	Fx	vn vx dS .				(7.13)
		S
		к
Вычислим поток количества движения в виде
vn vx dS vn vx dS vn vx dS vn vx dS .
S	S	S	2	S	б
к	1
В сечении 1-1 vn v , vx v ; в сечении 2-2				vn v,		vx v ; на боковой
поверхности можно считать	vx	v , а проекция скорости на внешнюю нор-

маль непосредственно условиями задачи не определена. Следует заметить, что

через поверхность	Sб жидкость перетекает благодаря оттеснению потока воз-
никшим у профиля пограничным слоем. С учетом сделанных замечаний
vn vx dS v 2 dS v22 dS v vn dS .						(7.14)
S	S	S	2	S	б
к	1
Расход через сечение S		из-за дефекта скорости меньше, чем через				S .

Напишем условие неразрывности для рассматриваемого объема жидкости внутри контрольной поверхности, полагая ее несжимаемой,

		v dS	vdS	vn dS 0 ,
		S1	S2	Sб
откуда
vn dS v dS vdS ( v v )dS ,					( S1 S2 ) .
Sб	S1	S2	S1
Подставив полученное выражение в уравнение (7.14) получим
vn vx dS ( v 2 v 2 v 2 v v )dS v( v v )dS .
S	S				S
к		1			1

102

Для вычисления сопротивления крыла, т.е. силы, приложенной к движущемуся крылу со стороны жидкости в проекции на направление, противоположное скорости его движения, по (7.13) будем иметь

v

v

F

v(v v

)dS v

(7.15)

x

S

S

v

v

v

v

m

2 y

В рассматриваемой задаче

1

. Так как сопротив-

1 cos

v

2v

Bсл

ление ищем для единичного элемента, то

dS dy . При этом интегрирование

по площади в (7.15) заменяем на интегрирование по ширине следа Bсл :

Bсл

/ 2

v

2 y

v

2 y

2

m

m

Fx 2 v

1

cos

1 cos

1

dy

0

2v

Bсл

2v

Bсл

B

сл

3

v

m

v vm

1

.

2

4

v

Подстановка числовых данных задачи дает

0,2

3

20

Rx

1,23 50 20

1

86,1 Н .

2

4

50

Задача 7.2.3.

Вода вытекает из неподвижного сосуда через вращающую-

ся трубку с насадком диаметром

d=20 мм

под статическим напором

H=1,2м

(рис. 7.6). Радиус вращения выходного сечения насадка

r=500 мм.. Определить

расход через трубку и внешний момент М, который должен быть к ней приложен при частоте вращения n=200 об/мин. Гидравлическими и механическими

сопротивлениями пренебречь.
Дано: H=1,2 м;	r=500 мм=0,5 м;
n=200 об/мин=3,33 об/с.
Определить: Q;	M ж .
Решение. 1. Расход воды через трубку найдем
из уравнения неразрывности			Q w2 S2 , где		w2	-
относительная скорость движения воды при выходе
из трубки. Для определения w2			используем уравне-
ние Бернулли для		относительного		движения жид-
кости в равномерно		вращающемся		канале	(7.9),	Рис. 7.6

которое для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения, проходящей по оси насадка, будет иметь вид

H	w22		u22	.	(7.16)
	2g		2g

Здесь p p , так как на свободной поверхности 1-1 и в выходном сечении струи 2-2 давление атмосферное. На свободной поверхности 1-1 также w1 0 и u . Гидравлическими потерями по условию задачи пренебрегаем.

103

Переносная скорость u определяется через угловую скорость вращения

трубки из выражения

u2 r 2 nr 2 3,14 200 0,50 10,47 м / с.

Из (7.16) имеем

w	2gH u 2		2 9,81 1,2 10,472 11,5 м / с .
2	2

Тогда расход

Q 11,5 3,14 0,022 3,62 10 3 м3 / с . 4

2. Внешний момент М, равный динамическому реактивному моменту

стенки трубки на поток; относительно оси вращения, согласно (7.8), будет

M Q r vu2 ,

где vu2 - окружная составляющая абсолютной скорости потока на выходе из

трубки.

Так как относительная скорость истечения воды из трубки совпадает с осью насадка, т.е. с радиусом вращения, то окружная составляющая vu2 абсо-

лютной скорости потока на выходе будет совпадать с переносной скоростью выходного сечения 2-2 vu2 = u .

Таким образом имеем

MQ r u2 103 3,62 10 3 0,5 10,47 19,0 Н м .

7.3.З а д а ч и

7-1 2. Найти упор P и коэффициент полезного действия (КПД) водо-

метного движителя. Продольная составляющая скорости vx	во входном сече-
нии приемного патрубка площадью S во всех точках равна	кv . Изменением

обтекания корпуса за счет работы движителя пренебречь. Коэффициенты, ха-

рактеризующие скорости в выходном сечении сопла -

и

,

во входном

сечении - и

, коэффициент потерь напора внутреннего тракта, отнесен-

ный к средней скорости на выходе, ,

площадь выходного сечения сопла

S , S , скорость набегающего потока

v , средняя скорость выброса воды

v

в

. Вычислить

P и при

к 0,7; 1,0; S 0,2 м2 ;

=1,25;

=1,1;

1

=1,1; =1,05.

Указание. Под КПД водо-

метного движителя следует по-

нимать отношение его полезной

мощности Pv к гидравлической

мощности,

которую

сообщает

движитель - Q gH .

К задачам 7-1 2

104

7-3 4. Найти поддерживающую силу P на единицу длины схематизированного аппарата на воздушной подушке. Вязкостью воздуха пренебречь, толщину струи считать малой по сравнению с высотой парения H, скорость в струе v, давления на внешней p и внутренней p ее поверхностях считать посто-

янными, угол наклона сопла по отношению к вертикали . Найти общее выражение P и ее значение при 20о , B 3,2 м, t 0,05 м, 1,23 кг / м3 .

.

7-5 6. Пластина, наклоненная к горизонту на угол , глиссирует по поверхности неподвижной воды со скоростью v, вызывая за собой понижение уровня на h =10 мм. Пренебрегая вязкостью жидкости и силой тяжести и рассматривая поток как плоский, определить в расчете на единицу ширины пластины гидродинамическую реакцию потока, а также мощность, необходимую для перемещения пластины.

К задачам 7-3 4 К задачам 7-5 6

7-7 8. Определить сопротивление Rтк тела вращения при осесиммет-

ричном обтекании водой по измерению скорости в сечении следа, где давление p0 постоянно и равно давлению в потоке перед телом. Полученный профиль

скорости выражается приближенной формулой v= v - vm [1+cos(2 r/ Dсл )], где r – расстояние от оси до рассматриваемой точки, Dсл - диаметр следа. Вычислить Rтx при Dсл =1,0 м.

7-9 10. Определить реакцию и полезную механическую мощность, развиваемую потоком воды на подвижном сосуде, который перемещается со скоростью v и из которого жидкость вытекает через трубу с выходным сечением

S=25 см2 под постоянным напором H. Гидравлическими сопротивлениями пренебречь.

К задачам 7-7 8	К задачам 7-9 10
v , p0	, p0

105

7-11 12. Водометный движитель судна создает тяговую силу за счет струи воды, забираемой насосом спереди судна и выбрасываемой в корме с относительной скоростью w. Определить силу тяги, создаваемую движителем и развиваемую им мощность, пренебрегая гидравлическими сопротивле-

К задачам 7-11 12 ниями в подводящей и отводящей трубах. Скорость судна v, подача насоса Q=750 л/с.

7-13 14. Пластина, введенная в свободную струю воды перпендикулярно ее оси, отсекает часть расхода струи Q1 и вызывает отклонение остальной час-

ти струи на угол . Определить силу воздействия струи на пластину и угол отклонения , если скорость струи v, полный расход Q=36 л/с. Весомостью жидкости и трением струи о пластину пренебречь.

7-15 16. Пластина, введенная в свободную струю воды перпендикулярно ее оси, отклоняет часть расхода струи на угол . Определить силу воздействия струи на пластину, если скорость струи v при полном расходе Q=32 л/с. Весомостью жидкости и трением струи о пластину пренебречь.

7-17 18. Определить проекции равнодействующей гидродинамических сил, действующих на единицу длины крылового профиля в бесконечной пло-

ской решетке, имеющей шаг a. Жидкость – невязкая ( 1,23 кг / м3 ), поток –

установившийся. Скорость перед решеткой v				v		и составляет угол	1	45o
		1
с осью O , скорость за решеткой - v	2	и угол			2	15o . Принять давления пе-
ред и за решеткой одинаковыми.
К задачам 7-13 16			К задачам 7-17 18

106

7-19 20. Для быстрого торможения тележки опытного стенда в канал с водой опускается цилиндрический ковш, который отбрасывает струю воды в сторону движения тележки под углом к горизонту (на схеме изображено относительное обтекание ковша). Определить толщину h струи, которую должен захватить ковш, чтобы тележке массой 200 кг, имеющей начальную скорость v сообщить начальное замедление a=-10g. Ширина ковша B=20 см. Силой тяжести струи и потерями напора при обтекании ею ковша пренебречь. С какой силой при этом струя будет прижимать тележку к рельсам ?

7-21 22. Определить равнодействующую гидродинамических сил на единицу длины крылового профиля, вокруг которого создана циркуляция Г. Профиль обтекается установившимся потоком идеальной жидкости

( 1,23 кг / м3 ), имеющим скорость v v .

Указания. 1 Циркуляцию представить бесконечной вихревой нитью по оси Oz. 2.Давления p0 и p на бесконечности и на контрольной поверхности S1 связа-

ны интегралом Эйлера, откуда определяется избыточное гидродинамическое давление p- p0 на S1.

К задачам 7-19 20 К задачам 7-21 22

7-23 24. Найти тягу Rт , создаваемую
гидрореактивным движителем схематизиро-
ванного подводного аппарата. Скорость
движения аппарата va постоянна, площадь
выходного сечения сопла движителя Sс , ко-
эффициент потери напора в нем , распре-
деление скорости в выходном сечении сопла
принять постоянным; избыточное давление	К задачам 7-23 26
на поверхности воды в цистерне движителя
pс и ее уровень Н считать постоянными.	Вычислить Rт при vа v м/с,

Sс =0,0028 м 2 , pс =1,0 МПа, =0,1, если погружение оси сопла под свободную поверхность составляет 8,0 м.

107

7-25 26. Какое давление pс следует создать на поверхности воды в цис-

терне схематизированного подводного аппарата, чтобы получить гидрореактивным движителем тягу Rт = 2,0 кН, если диаметр выходного сечения сопла

движителя d, а ось погружена под свободную поверхность на 10 м. Скорость движения аппарата и уровень воды в цистерне принять постоянными и равными соответственно vа v м/с и H=1,0 м. Потерями при движении воды в со-

пле пренебречь.

7-27 28. Найти равнодействующую гидродинамических сил на стенки диффузора, симметричного относительно оси x, если во входном сечении средняя скорость v1ср v и давление p1 p . Профили скоростей в сечениях

1-1 и 2-2характеризуется коэффициентами неравномерности кинетической энергии 1 1,10; 2 1,25 и количества движения 1 1,03; 2 1,10 . Пло-

щади сечений S1 0,5S2 0,1м2 , коэффициент потерь, отнесенный к скорости в сечении 1-1, =0,2.

7-29 30. Найти общее выражение величины и точку приложения равнодействующей избыточного гидродинамического давления на единицу ширины при косом ударе плоской струи о неподвижную плоскость и вычислить их значение для воды при a=0,1 м, v0 v и угле . Потерями энергии при течении

жидкости вдоль плоскости пренебречь, профили скорости в удаленных сечениях струи считать равномерными.

К задачам 7-27 28 К задачам 7-29 30

108

7-31 32. Найти общее выражение силы избыточного гидродинамического давления, вызываемой струей воды, направленной вдоль оси симметрии на неподвижную криволинейную по-

верхность.			Вычислить			ее значение при
S	0	0,06 м 2	, v	0	v и угле	, потерями энергии

вдоль струи пренебречь, профили скорости в удаленных сечениях струи считать равномерными.

К задачам 7-31 32 7-33 34. Отсасывающая труба гидротурбины выполнена в виде верти-

кального тонкостенного конического диффузора с диаметрами d=1.0 м, D=2,0м и длиной L=4 м. Входное сечение трубы расположено на Н м выше уровня воды, скорость в этом сечении v1 v , коэффициент потерь в диффузоре =0,25.

Определить гидравлическую осевую силу, действующую на трубу, полагая, что давление на стенки погруженной под уровень части трубы равно гидростатическому.

7-35 36. Фонтан бьет на высоту Н, вытекая из сопла, имеющего форму конусного конфузора с диаметрами D=120 мм и d=50 мм и длиной l=0.40 м. Вычислить усилия на болтовую систему, пренебрегая потерями при движении воды в сопле. Распределения скоростей по сечениям сопла считать равномерными.

7-37 38. Найти момент гидродинамических сил, возникающих при вытекании воды из двух противоположно направленных сопел, если скорость истечения v можно считать постоянной по сечению сопел, площадь которых оди-

накова и равна S =0,012 м 2 , а расстояние между их осями L. Рассмотреть два случая: сопла неподвижны и сопла вращаются с угловой скоростью =1,2 1/с.

К задачам 7-33 34 К задачам 7-35 36 К задачам 7-37 38

109

7-39 40. Вода вытекает из резервуара через изогнутую вращающуюся трубку при постоянном напоре Н. Диаметр трубки d=40 мм, выходной радиус r=0,5 м , выходной угол . Коэффициент потерь при течении воды по трубке=0,2. Определить момент действия потока на трубку при равномерном вращении с угловой скоростью =5 1/с. При какой скорости вращения момент действия потока на трубку станет равным нулю?

7-41 42. Из диффузора, входной и выходной диаметры которого D1 =250 мм, D2 =500 мм, вода поступает в бак с постоянным уровнем Н со ско-

ростью v2 v . Определить осевую силу, действующую на диффузор при коэффициенте потерь в =0,25 (по v1 ). При каком вакууме в баке искомая сила будет равна нулю?

7-43 44.	Предохранительный клапан с седлом диаметром		d=25 мм про-
пускает при	избыточном давлении в седле p=3,2	МПа	расход масла
( 920 кг / м3 ) равный Q, при этом открытие клапана		S=5 мм. Считая жид-

кость невязкой, определить направление вытекающей из него струи (угол ),

если известно что начальное давление открытия клапана		p0 , а жесткость его
пружины С =20 Н/мм.
7-45 46. Предохранительный клапан с седлом диаметром			d=24 мм про-
пускает при избыточном	давлении в седле p=3,0	МПа	расход масла
( 910 кг / м3 ) равный Q,	при этом открытие клапана	S=5 мм. Считая жид-

кость невязкой, рассчитать жесткость пружины клапана, если известно, что начальное давление открытия клапана p0 , а струя из клапанной щели должна

вытекать под углом 70о .

К задачам 7-39 40

К задачам 7-41 42

К задачам 7-43 46

110