Задачник по аэрогидромеханике

7-47 48. Сегнерово колесо состоит из двух радиальных трубок, изогнутых на концах по окружности (радиус r=400 мм) и снабженных насадками с выходным диаметром d. Вытекающая в атмосферу вода поступает в трубки из неподвижного сосуда под статическим напором Н. Установить зависимость момента, развиваемого потоком на колесе от угловой скорости его вращения, учитывая гидравлическое сопротивление трубок ( =0,1), и определить момент на заторможенном колесе и угловую скорость, при которой момент на колесе становится

равным нулю.		К задачам 7-47 48
7-49 50. В струйном водяном насосе (эжекторе) эжектирующий поток
подается из сопла диаметром d при давлении	p1 p2	80 кПа со скоростью

v1 и эжектирует (подсасывает эжектируемый поток) со скоростью v2 =10 м/с

через кольцевое сечение диаметром D=100 мм. В цилиндрической камере смещения 2-3 оба потока полностью перемешиваются до постоянной по сечению 3 скорости v3 и давления p3 . Пренебрегая трением воды о стенки камеры

смещения, определить величины v3 и p3 .

7-51 52. Диаметр трубопровода на участке заделки в опору изменяется от D1 =1,5 м до D2 =1,0 м. Определить осевую силу, воспринимаемую опорой на

переходном участке при избыточном давлении перед опорой p и расходе воды Q . Потерями в конусе пренебречь, скорости жидкости по сечениям считать постоянными.

К задачам 7-49 50

К задачам 7-51 52

111

7.4 Исходные данные к задачам

Но-	Скорость
мер	v или v ,	Другие
за-	м/с	параметры
да-
чи
1	10	vВср =20м/с
2	12	vВср =22м/с
3	30	H=0,5 м
4	40	H=0,6 м
5	10	= 450
6	15	= 300
7	10	vm =5 м/с
8	8	vm =6 м/с
9	15	H=2 м
10	5	H=5 м
11	4,5	w=7,5 м/с
12	3	w=5,0 м/с
13	30	Q1 =12 л/с
14	25	Q1 =16 л/с
15	32	= 400
16	30	= 300
17	30	а=0,04 м
18	40	a=0,05 м
19	50	= 300
20	40	= 200
21	40	Г=10 м 2 / с
22	50	Г=8 м 2 / с
23	16	H=1,2 м
24	20	H=1,5 м
25	12	d=0,056 м
26	16	d=0,050 м

		Таблица 7.1
Но-	Скорость
мер	v или v ,	Другие
за-	м/с	Параметры
да-
чи
27	5	p=0,10 МПа
28	3	p=0,12 МПа
29	8	= 450
30	10	= 300
31	12	=1200
32	20	= 900
33	7	H=3,0 м
34	6	H=3,5 м
35	-	H=2,8 м
36	-	H=4,0 м
37	4	L=4,0 м
38	3	L=5,0 м
39	-	H=2,0 м; 300
40	-	H=3,0 м; 450
41	2	H=4,0 м
42	2,2	H=3,0 м
43	p0 2,85 МПа	Q=10 л/с
44	p0 =2,70 МПа	Q=8,0 л/с
45	p0 =2,80 МПа	Q=9,0 л/с
46	p0 =2,60 МПа	Q=8,0 л/с
47	d=180 мм	Н=1,6 м
48	d=200 мм	Н=2,4 м
49	d=35 мм	v1 =28 м/с
50	d=32 мм	v1 =30 м/с
51	p=0,40 МПа	Q=1,8 м3 / с
52	p=0,42 МПа	Q=2,0 м3 / с

112

8.ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ

8.1.Основные сведения из теории, расчетные формулы

иметодические указания

Несмотря на высокий уровень развития гидродинамической теории не все задачи в настоящее время могут быть решены с достаточной для практики точностью и надежностью. При создании современных аппаратов (объектов), движущихся в воде или в воздухе, гидравлических и гидродинамических машин, сооружений и приборов гидродинамический расчет является важнейшим и обязательным этапом проектирования, но все же результирующая оценка качеств и характеристик создаваемых объектов производится на основе экспериментальных испытаний.

Экспериментальные исследования обычно связаны с большими материальными затратами, трудоемки и на натурных объектах иногда невыполнимы. Поэтому в научно-технической практике, как правило, эксперименты проводят с моделями. При этом возникают вопросы: как правильно смоделировать данное гидродинамическое явление и как пересчитать данные эксперимента, чтобы получить достоверную картину для натурного объекта.

Прежде всего, натура и модель должны быть геометрически подобны. Для соблюдения геометрического подобия необходимо, чтобы все сходственные размеры модели и натуры были пропорциональны. Кроме того, должны соблюдаться условия кинематического и динамического подобия. Кинематическое подобие состоит в том, что скорости жидкости в сходственных точках натуры и модели в сходственные моменты времени пропорциональны. Динамическое подобие включает в себя пропорциональность сил, действующих на сходственные частицы жидкости, и пропорциональность масс этих частиц.

Заметим, что два физических явления называют подобными, если величины одного явления могут быть получены из соответствующих величин другого, взятых в сходственных пространственно-временных точках, простым умножением на одинаковые для всех точек множители, называемыми коэффициентами подобия.

Соответственно принятым в Международной системе единиц основным физическим величинам (длина L, время t и масса m) выделяют три основных коэффициента подобия: линейный масштаб K L Lн / Lм , масштаб времени

Kt tн / tм и масштаб масс K m mн / mм . Масштабы всех остальных (производных) физических величин выражаются через основные в соответствии с

формулами размерности		этих		величин.				Так, масштаб площадей
K S Sн / Sм K L2 ,	скоростей K v		K L		/ K t ,			плотностей K K m / K L , сил
одинаковой физической природы K			F	K	m	K	L	/ K и т.д.
								t
Используя выражения масштабов K v						и K можно получить для масшта-
ба сил зависимость	K F	K K v K L ,

которая дает общий закон динамического подобия Ньютона:

113

F			н	v 2 L2
н				н н	.
Fм		м vм L2м

Этот закон можно представить в форме

Ne F / v 2 L2 idem ,

согласно которой безразмерная величина Ne (число Ньютона), пропорциональная отношению действующих на подобные частицы сил к силам инерции этих частиц, имеет одинаковое значение в сходственных точках подобных потоков.

Для существования гидродинамического подобия необходимыми и достаточными условиями являются: геометрическое подобие граничных поверхностей, омываемых потоками; подобие кинематических краевых (начальных и граничных) условий; одинаковые значения критериев динамического подобия - безразмерных величин, пропорциональных отношениям сил инерции частиц жидкости к действующим на них силам вязкости, тяжести, упругости и т.д.

Критерии эти следующие:

критерий подобия (число) Рейнольдса Re=vL/ , где v – характерная скорость; L – характерный размер; - кинематический коэффициент вязкости. Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции и вязкости и служит основным критерием моделирования течений, в которых определяющую роль играет вязкость, например, установившееся течение в напорных трубопроводах и каналах;

критерий подобия (число) Фруда Fr v / gL характеризует отношение

сил инерции и сил тяжести. Он применяется при моделировании течений, в которых эти силы играют решающую роль, например, при моделировании поверхностных волн, при испытаниях моделей надводных судов, сопровождающихся волнообразованием, моделировании водосливов и т.п.;

критерий подобия (число) Эйлера Eu p / v 2 характеризует отношение

сил давления и инерции и применяется в тех случаях, когда интересуют только силы давления, или при исследовании гидравлических сопротивлений в трубах

и каналах. В последнем случае критерий имеет вид Eu p / v , где - раз-

ность давлений в разных точках течения.

Заметим, что в однородной несжимаемой жидкости равенство чисел Eu для натурного и модельного потоков обеспечивается, если для них равны числа

Fr или Re.

Критерий Эйлера играет главную роль при моделировании течений с кавитацией. В этом случае в качестве характерной разности давлений принимают разность между давлением в потоке p и давлением насыщенных паров pнп , и

критерий Эйлера записываются в форме числа кавитации

2( p pнп ) / v 2 ;

критерий подобия (число) Струхаля Sh=L/ t характеризует отношение сил инерции, вызываемых локальными и конвективными ускорениями, и применяется при моделировании нестационарных, в том числе периодически по-

114

вторяющихся, течений. При испытании моделей гребных винтов и лопастных гидравлических машин он используется в несколько измененном виде, именуемом относительной поступью, v / nD , где п – частота вращения, D – диаметр.

Согласно теории подобия, гидродинамическая сила и ее момент могут быть представлены с использованием безразмерных коэффициентов в виде:

F	j	c	j	( v / )S ,	М	j	c	mj	( v 2	/ 2)SL ,

где j=x, y, z; с j - коэффициент силы; сmj		- коэффициент момента.
Для гребных винтов их осевую силу-упор Р и момент относительно оси
винта М представляют через безразмерные коэффициенты упора K и момента
K следующими формулами:
P K	n 2 D 4	М K	2	n 2 D5	(8.1)
1

В потоках жидкостей одновременно действуют разные силы: вязкости, тяжести, упругости и другие. Соблюдение пропорциональности всех этих разнородных сил означает так называемое полное динамическое подобие. При этом все безразмерные характеристики потока (например, коэффициенты сопротивления , скорости , расхода и т.д.) и безразмерные коэффициенты сил

имоментов имеют для натуры и модели одинаковое численное значение.

Вбольшинстве случаев реализация полного гидродинамического подобия технически весьма затруднительна или невозможна. Так одновременное выполнение условий подобия по Fr и Re приводит к тому, что в модели жидкость

должна обладать вязкостью м н / K L3 / 2 . Поэтому в практике моделирова-

ния обычно осуществляют частичное подобие потоков, при котором выполняется условие подобия главных сил, наиболее существенных для рассматриваемого гидромеханического явления. В этом случае равными оказываются не коэффициенты суммарных сил, а только те их составляющие, которые связаны с соответствующим критерием подобия. Например, при равенстве только чисел Фруда равны коэффициенты волнового сопротивления судна и его модели, но не полного сопротивления.

Задачи моделирования несколько облегчаются в случае автомодельности, которая заключается в том, что при очень больших значениях какого-нибудь критерия подобия безразмерные характеристики течения перестают от него зависеть. Наибольший практический интерес представляет собой автомодельность, связанная с числом Рейнольдса. В зоне турбулентной автомодельности, наблюдаемой при достаточно больших значениях Re, силы вязкостного трения, действующие в потоке, малы по сравнению с силами инерции частиц жидкости. Безразмерные коэффициенты потерь, сопротивлений, сил вязкостной природы в этой зоне не зависят от числа Re. Для таких потоков линейный масштаб K L ,

масштабы вязкости K и скорости K v независимы. Они должны выбираться с

таким расчетом, чтобы значение числа Re в модели соответствовало зоне турбулентной автомодельности.

115

Следует отметить, что для судостроительных задач полное гидродинамическое подобие осуществить нельзя, и возможно лишь частичное подобие потоков. Поэтому коэффициенты сил для натуры и модели, строго говоря, всегда неравны. Для их приближенного определения в процессе модельных испытаний используют рабочую гипотезу, согласно которой гидродинамические коэффициенты, в частности коэффициенты сопротивления, представляются в виде

С x C x (Re) C x (Fr) .

Это позволяет порознь определять коэффициенты, связанные с вязкостью (первое слагаемое) и с волнообразованием (второе слагаемое). При движении тела в вязкой жидкости, когда влияние волнообразования на гидродинамику процесса невелико, полагают С x C x (Re) , добиваются равенства Re у модели

и натуры. При движении тела вблизи или по свободной поверхности жидкости, когда влияние волнообразования значительно, полагают С x C x (Fr) , доби-

ваются равенства Fr у модели и натуры.

Таким же образом поступают в том случае, когда по одному из критериев наблюдается автомодельность. Например, в случае проведения модельных испытаний в зоне турбулентной автомодельности считается, что коэффициенты сопротивления C x (Re) , связанные с вязкостью, для модели и натуры равны, и

достаточно выполнить условие Frм Frн .

Методические указания по выполнению контрольных заданий: ре-

шение задачи по данному разделу необходимо начинать с обоснования выбора критерия подобия, которое должно быть приведено в работе.

8.2. Примеры решения задач

Задача 8.2.1. Модель надводного судна с работающими гребными винтами, выполненная в масштабе 1:25, испытывается в бассейне. Предполагая, что при испытаниях обеспечено гидродинамическое подобие в зоне турбулентной автомодельности, определить:

1)скорость буксировки модели, если скорость движения натурного судна vн 12,5 м/с;

2)число оборотов модели гребного винта nм , если nн =5об/с;

3)масштаб мощности на валу гребного винта Nн : Nм в , считая плот-

ность в натурных и модельных испытаниях одинаковой.

Дано: K L =25; vн =12,5м/с; nн =5,0об/с.

Определить: vм ; nн ; N м ; N н .

Решение. 1. При проведении буксировочных испытаний моделей надводных судов необходимо учитывать силы, связанные и с вязкостью (критерий Re), и с волнообразованием (критерий Fr). По условию задачи испытания проводятся в зоне турбулентной автомодельности, где безразмерные параметры потока, обусловленные вязкостью жидкости, постоянны. Следовательно, моделировать рассматриваемый процесс достаточно с точки зрения волнообразования, т.е. по критерию Fr. Приравняв числа Фруда модели и натуры

116

Fr	Fr	или v 2	/ g	м	L	м	v 2	/ g	н	L
м	н	м					н

находим скорость буксировки модели

vм vм Lм / Lн vн / K L 12,5 / 25 2,5м/с.

2. Для определения числа оборотов гребного винта модели приравняем относительные поступи модели и натуры

vм / nм Dм vн / nн Dн .

Отсюда

			n		vм Dн		n				,
	n	м		н				н	K	L
					vн Dм
так как Dн / Dм K L	и vн / vм
					K L .

Следовательно, гребной винт должен вращаться в пять раз быстрее натурного nм =5 5=25 об/с.

3. Мощность на валу гребного винта может быть определена с помощью известной из механики формул

N=M ,

где М – момент относительно оси; - угловая скорость.

Используя вторую формулу (8.1) выразим масштаб мощности для гребного винта

K

N

н

М

н

н

K 2

н

н nн2 Dн5 н

.

N

N м

М м м

K 2

м nм2 Dм5 м

м

Так как по условиям задачи K 2м K 2н

(зона турбулентной автомодельности),

м н , н / м nн / n , то получим

K

nн3 Dн5

1

K 5

K 7 / 2 257 / 2 78125 .

N

nм3 Dм5

K L3 / 2

L

L

Задача 8.2.2. Для получения характеристик дискового затвора (рис. 8.1)

произведены испытания его модели диаметром DМ 250 мм на воздухе. При

расходе воздуха

Q

М

1,6м3

/ с (плотность

м

1,25кг / м3 )

для

определенного

угла

установки затвора получены данные: по-

теря давления в модели м 2,7 кПа; си-

ла действия потока на затвор Fм 140 Н;

момент этой силы относительно оси вра-

щения затвора М м 3,0 Нм.

Предполагая, что испытания модели

Рис. 8.1

произведены в зоне турбулентной автомодельности, определить для натурных условий потерю напора hп , силу F и момент М действия потока на затвор диа-

метром D=2,5м при расходе воды Q=8,0 м3 / с и том же угле установки затвора.

117

Дано: D	м	=250 мм = 0,25м;		D=2,5м;			Q	м		1,6м3 / с ;
	м	1,25кг / м3	;	p	м	2,7 кПа;.
Q 8,0м3 / с ;				F 140 Н;			М		м	3,0 Нм
				м

Определить: hп ; F; М.

Решение. 1. По условию задачи испытания модели проведены в зоне турбулентной автомодельности. Следовательно, коэффициенты сопротивления модели затвора и натуры будут одинаковы. Используя формулу местных потерь

hп

hп

напора h

v 2

/ 2g , имеем

,

п

2

2

v

/ 2g м

v

/ 2g

где hп - величина потерь напора в метрах столба жидкости, связана с потерей давления соотношением hп р/ g .

Вычислим скорости воздушного потока

v

Qм

4Qм

4 1,6

32,6 м/с

м

Sм

Dм2

3,14 0,252

и потока воды в натуре

v

Q

4Q

4 8,0

1,63 м/с.

S

D 2

3,14 2,52

Из формулы равенства коэффициентов сопротивления найдем величину потери напора

			p		v 2		2,7 10	3		1,63	2
h	п											0,55 м.
					v 2		1,25 9,81			32,62
			g	м
					м

2. Для определения силы действия потока воды на затвор приравняем числа Ньютона для модели и натуры Ne Neм или

F

Fм

,

v 2 D 2

м

v 2 D 2

м м

откуда

F F

v 2 D 2

140

1000 1,632 2,5

2

28

кН.

м

м

v 2 D 2

1,25

32,6

2 0,252

м м

3. Момент силы М в натуре М=F l,

где l – плечо силы относительно оси вращения.

Величину l найдем из условия геометрического подобия

l

K

D

.

L

lм

Dм

Отсюда

l lм

D

М м

D

3 2,5

0,214 м.

D

м

F

D

м

140 0,25

м

Тогда момент силы М = 28 0,214 = 6,0 кНм.

118

Задача 8.2.3. Диафрагма (рис. 8.2.) размерами d=100мм и D=200мм, предназначенная для измерения расхода воды, испытывается воздухом. Определить:

1) расход воздуха Qм , соответствующий расходу воды QВ =16,0л/с; 2)показания ртутного дифманометра hрт , измеряющего перепад давлений

воды на диафрагме, если при испытаниях на воздухе вместо ртути использовалась вода и получено hВ =160мм.

		Кинематические коэффициенты вязкости воды В =0,010Ст и воздуха
	м	0,156Ст. Плотность воздуха	м	1,22кг/м3 .

Дано: d=100мм=0,10м;

QВ =16,0л/с=0,016 м3 / с ; hВ =160мм=0,160м;

В =0,010Ст= 0,010 10 4 м 2 / c ;

м 0,156 Ст 0,156 10-4 м 2 с ;

	м	1,22кг/м3 .
Определить: Qм ; hрт .
Решение. 1. При течении жидко-
сти через диафрагму определяющими
являются силы вязкости, поэтому необ-			Рис. 8.2

ходимо выполнить условие подобия по этим силам, т.е. по критерию Рейнольд-

са	Re		Re		или	vм d м		vB d н	.
		м		н
						м		В

Так как в обоих случаях рассматривается одна и та же диафрагма, то dм dн . Перейдя от скоростей к расходам по формуле v Q / d 2 / 4 определим расход воздуха Qм Qв м / в 0,016 0,156 10 4 / 0,010 10 4 0,250м3 / с.

2. Для определения показания ртутного дифманометра hрт найдем пере-

пад давления в точках его присоединения. В случае работы диафрагмы на воде с ртутным дифманометром имеем н ( рт в )ghрт , а при работе на возду-

хе pм в ghв , где рт и в - плотность соответственно ртути и воды.

Используем теперь число Эйлера для разности давлений в двух точках, так как для напорного потока оно является производным от критерия Рей-

нольдса

p

н

p

м

или

( рт в )ghрт

в

gh

в

.

v 2

v 2

н

v 2

м

в

м

v 2

н

м

в

м

При dн dv

имеем vв / vм Qв / Qм .

Подставив численные значения, получим

h

0,160

1000

103

0,0162

0,043м 43мм .

рт

1,22

13,6 103

103 0,2502

119

8.3 Задачи

8-1 2. Силовое воздействие воды на сегментный затвор изучается на модели в масштабе K L . Напор в натуре равен H н 5,0м .

Определить: 1) напор H м воды, который необходимо поддерживать в

модели;

2) силу воздействия потока на затвор Fн , если для модели она оказалось равной Fм 80Н .

8-3 4. Участок трубы диаметром Dн для подачи керосина ( н 850кг/м3 ) испытывается продувкой воздуха ( м 1,16кг/м3 , м 0,156Ст ).

Определить: 1) скорость продувки, если скорость керосина в трубопроводе vн ;

2) потерю напора hн на дроссельной шайбе при работе на керосине, если при испытании на воздухе потеря давления составила pм .

8-5 6. В трубопроводе диаметром Dн и пропускающем расход воды Qн при tн 60 (давление насыщенных паров ptн 20,2кПа , н 983кг/м3 ), ус-

тановлена дроссельная шайба. Определение критического абсолютного давления p перед шайбой, при котором в трубопроводе за шайбой возникает кавита-

ция,		проводится на бензине при t	м	60	( p	tм	16,3кПа ,		м	710кг/м3 ,
	м	0,0093Ст ). В опыте получено p	м	. Зона автомодельности при						Re 105 .
		Определить: 1) расход бензина в модели Qм ;
		2) абсолютное критическое давление перед шайбой в натуре pн .
		К задачам 8-1 2			К задачам 8-3 6

120