Задачник по аэрогидромеханике

ПРОДОЛЖЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Продолжение таблицы 1.1

Номер					hатм ,			pм ,
задачи	D, м	d, м	H, м	h, м	мм.рт.	F, кН	z м , м	атм
					ст.
1-28	1,25	0,200	5,00	3,00	-	0,600	-	-
1-29	1,80	0,600	2,00	0,500	-	8,00	1,50	0,600
1-30	0,700	0,500	2,50	1,00	-	1,00	0,500	0,300
1-31	0,150	0,050	1,50	1,00	-	0,050	0,700	-
1-32	0,200	0,075	1,75	1,20	-	0,100	0,800	-
1-33	1,50	-	5,00	1,20	755	-	-	-
1-34	1,25	-	4,50	1,00	765	-	-	-
1-35	0,650	-	4,00	-	765	-	-	-
1-36	0,800	-	4,25	-	770	-	-	-
1-37	0,200	0,100	-	0,400	-	0,500	-	-
1-38	0,250	0,125	-	0,500	-	0,400	-	-
1-39	0,450	0,250	0,400	-	760	-	-	-
1-40	0,500	0,200	0,500	-	740	-	-	-
1-41	1,00	0,100	5,00	0,75	735	-	2,90	-
1-42	0,750	0,075	4,75	0,60	740	-	2,60	-
1-43	0,750	0,500	0,500	-	-	20,0	0,800	-
1-44	1,00	0,400	4,00	-	-	15,0	1,00	-
1-45	0,200	0,100	1,80	-	730	-	1,60	1,10
1-46	0,180	0,090	2,00	-	760	-	1,50	1,00
1-47	0,300	0,100	0,700	-	730	-	-	-
1-48	0,500	0,200	0,800	-	740	-	-	-
1-49	0,100	-	6,00	2,00	-	-	-	-
1-50	0,200	-	6,50	3,00	-	-	-	-
1-51	-	-	2,50	7,00	735	-	-	-
1-52	-	-	3,00	10,00	745	-	-	-
1-53	-	-	2,60	-	740	-	-	-
1-54	-	-	3,10	-	750	-	-	-

21

2.СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ НА СТЕНКИ

2.1.Основные сведения из теории, расчетные формулы

иметодические указания

2.1.1.Воздействие жидкости на плоские стенки. Если стенка подверга-

ется одностороннему давлению жидкости (на несмоченной стороне стенки атмосферное давление, рис. 2.1.), то результирующая F сил избыточного давления на стенку определяется по соотношению

F pC

S ,

(2.1)

изб

где pC

изб

- избыточное давление в центре тяжести С площади S стенки.

Формула (2.1) может быть приведена к одному из видов:

p

0изб

F (р

gh

) S g

h

S g

S .

0изб

С

С

g

С

Здесь - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения;

hС - глубина погружения центра тяжести площади под свободную поверхность

СП; pОизб - избыточное давление над свободной поверхностью;
С -	расстояние от центра тяжести
С площади S до пьезометрической
плоскости ПП.
	Пьезометрическая	плос-
кость, т. е. плоскость атмосферного
давления, проходящая через уровень
жидкости в пьезометре, присоеди-
ненном к сосуду (см. рис. 2.1), бу-
дет	располагаться на	высоте
h0n	p0изб / g от свободной по-

верхности жидкости.

Если имеется показание рм

манометра в какой-то точке жидкости, то ПП находится выше этой

	Рис. 2.1		точки на расстоянии hп pм / g .
При вакууме	p0вак	эта плоскость проходит ниже свободной поверхности на
h0вак p0вак	/ g .	Если на свободной поверхности избыточное давление рав-

но нулю ( p0изб 0 ), то пьезометрическая плоскость совпадает со свободной

поверхностью, и нагрузка на стенку создается только давлением жидкости. Вектор силы F направлен по нормали к стенке S, а линия действия этой

силы пересекает стенку в точке D, называемой центром давления. Положение центра давления в плоскости стенки можно найти с помощью формул:

22

y

y

I C

,

I C

sin 2 ,

D

C

yC S

D

C

C S

где y D и yC - расстояния от центра давления D и центра тяжести C до ли-

нии пересечения плоскости стенки с пьезометрической плоскостью (ось Ох на рис. 2.1.); D - вертикальное расстояние от центра давления D до пьезомет-

рической плоскости; I C - момент инерции площади S относительно горизон-

тальной оси, проходящей через центр тяжести С; - угол наклона стенки к горизонту.

В практических расчетах часто используют смещение центра давления D относительно центра тяжести С

	y y D yC	I C	.	(2.2)
		yC S

При двустороннем воздействии жидкостей на плоскую стенку следует сначала определить силы давления на каждую сторону стенки, а затем найти их результирующую по правилам сложения параллельных сил.

Для решения задач, когда в центре тяжести С площади стенки наблюдается вакуум, или, когда только часть S стенки подвергается воздействию жидкости под избыточным давлением газа (воздуха), а необходимо определить суммарную силу воздействия газа и жидкости на всю стенку S O , следует обра-

титься к рекомендуемой литературе (с. ).

В приложении 3 даны моменты инерции I C , площади некоторых плоских симметричных фигур и координаты их центров тяжести.

2.1.2. Силы давления жидкости на криволинейные стенки. В этом случае элементарные силы давления действуют в каждой точке поверхности нормально к ней, имеют разные направления и могут быть приведены к главному вектору и главному моменту. В большинстве практических задач рассматриваются цилиндрические или сферические поверхности, имеющие вертикальную плоскость симметрии. В этом случае сумма элементарных сил давления приводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии.

Величину и направление равнодействующей силы F на цилиндрическую поверхность АВ с образующей, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис.2.2), можно определить по двум взаимно-перпендикулярным составляющим, например, горизонтальной и вертикальной .

Горизонтальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку S равна силе давления на вертикальную проекцию этой стенки,

нормальную к оси Ох, и определяется по формуле
Fx pCx S x	,	(2.3)
где pCx - избыточное давление в центре тяжести C x площади S x		вертикаль-
ной проекции стенки.
Таким образом, алгоритм вычисления Fx	следующий:

23

Рис. 2.3

1) спроецировать поверхность S на вертикальную плоскость, перпендикулярную оси 0х и определить ее площадь S x ;

		2) найти центр тяжести C x
		площади		S x ;
		3)		вычислить					избыточное
		давление			pCx		в точке		C x ;
		4)		перемножить					величину
		давления				pCx		на значение пло-
		щади S x .
		Линия действия силы Fx
		проходит через центр давления Dx
		вертикальной					проекции стенки и
		смещена относительно центра тя-
		жести	C x			на расстояние
	Рис. 2.2					I Cx
		h						,
						Cx S x
где I Cx	- момент инерции площади S x относительно горизонтальной оси,
проходящей через точку		C x ; Сх - расстояние по вертикали от центра тяже-
сти до пьезометрической плоскости ПП.
Вертикальная составляющая силы давления, воспринимаемой криво-
линейной стенкой, равна весу жидкости в объеме			Vтд так называемого тела
давления.	Объем Vтд	ограничен рассматриваемой криволинейной стенкой,

пьезометрической плоскостью и вертикальной проецирующей поверхностью, построенной на контуре стенки (см. рис. 2.2). Следовательно, для вертикальной

составляющей Fz имеем
Fz gVтд .	(2.4)
Она проходит через центр тяжести объема Vтд .
Если жидкость	расположена над
твердой поверхностью,	то тело давления

строится со смоченной стороны стенки (рис. 2.3), а вертикальная составляющая силы направлена вниз. Когда криволинейная поверхность находится над жидкостью, то строится фиктивное тело давления, расположенное с сухой стороны стенки; при этом вертикальная составляющая силы направлена вверх.

В приведенных формулах для Fx и Fz предполагается, что жидкость

находится с одной стороны стенки, а с несмоченной ее стороны давление равно атмосферному.

24

Величина полной силы давления на криволинейную стенку определяется

по соотношению	F	F 2 F 2 .
		x	z
Линия действия F проходит через точку пересечения линий действия со-
ставляющих Fx	и Fz . Угол		наклона силы F к горизонту можно найти с

помощью формулы tg = Fz / Fx .

Заметим, что для стенок постоянной кривизны (цилиндрических, сферических) полная сила давления проходит через ось или центр кривизны стенки.

В некоторых случаях для нахождения той или иной составляющей силы давления жидкости на криволинейную стенку следует разбить ее поверхность на отдельные участки, определить соответствующие усилия на каждый участок стенки и далее их просуммировать.

Так, для определения вертикальной составляющей силы давления жидкости на полусферическую стенку abc (рис. 2.4),

следует разделить поверхность полусферы горизонтальной плоскостью на верхнюю ab и нижнюю bc половины и найти вертикальные составляющие силы давления на каждую из них. Для стенки ab она равна весу жидко-

сти в объеме abmn ( Fzab gVавтn ) и направлена вверх, а для стенки bc она равна весу

жидкости в объеме bcnm ( Fzbc gV bcnm ) и направлена вниз. Следовательно, вертикальная составляющая силы давления на всю полусферу abc равна разности найденных величин

F F bc F ab g(V			bcnm	V	abmn	) gV	abc	,	Рис. 2.4
z	z	z
т.е. равна весу жидкости в объеме жидкости полусферы и направлена вниз.

Заметим, что для определения горизонтальной составляющей силы давления жидкости нет необходимости разбивать поверхность abc на участки, т.е. горизонтальная составляющая силы может быть определена на всю полусферу.

Возможным приемом расчета силы давления, который часто упрощает решение задач, является рассмотрение равновесия объема жидкости, заключенного между поверхностью и плоским сечением, проведенным через ее граничный контур. Пусть, например, требуется определить силу F давления жидкости на коническую крышку (рис. 2.5).

Выделим в качестве механического объекта объем жидкости ограниченный конической крышкой и плоским основанием ac в виде круга. По аксиоме статики равновесие жидкого объема не нарушается при его затвердевании. На полученное твердое тело действует 3 силы: сила тяжести и две реакции, одна со стороны плоского основания, другая – со стороны боковой поверхности конуса. Три уравновешенных силы лежат в плоскости и пересекаются в одной точке, поэтому условие равновесия выделенного объекта в векторной форме можно записать в виде

25

0 ,

N

G

R

где N - сила давления жидкости на выде-

ленный объем, т.е.

на плоское сечение ac

( N g C S ac и проходит по нормали к се-

чению через центр давления D); G - вес вы-

деленного объема жидкости (G gV abc );

R - сила действия крышки на жидкость.

Так как искомая сила F

равна и про-

тивоположна силе R , получаем уравнение

, из которого можно определить

F

N

G

силу давления F

или любую

ее состав-

Рис. 2.3

ляющую.

2.2. Примеры решения задач

Задача 2.2.1. Поворотный клапан АО закрывает выход из бензохранилища в трубу круглого сечения диаметром d=30см (рис. 2.6). Пластина клапана опирается на срез трубы, сделанной под углом 45 .Плотность бензина

=700кг/ м 3 . В трубе жидкость отсутствует. Определить (без учета трения в

опоре О клапана и ролика В) силу Т натяжения троса, необходимую для открытия клапана, если уровень бензина Н=0,85м, а давление над ним по манометру

pм =5,0 кПа.

Дано: H=0,85м;

d=30 см=0,30м;

=700 кг/ м 3 ;

p

м

=5,0 кПа= 5 103 Па.

Определить: T.

Решение. 1. Для определения силы

натяжения троса при открытии клапана не-

обходимо найти силу воздействия бензина

на пластину клапана и точку ее приложе-

ния. Так как со стороны трубы давление ат-

мосферное, то сила давления бензина равна

Рис. 2.6

F рC

S , где

рС

- избыточное

дав-

изб

изб

ление в центре тяжести площади пластины АО, равное

d

0.30

p

p

gh

p

g H

5 103

700 9.81

0.85

9.81 103

Па;

С

изб

м

C

м

2

2

S

d

d

3.14

0.30 0.30

0.100м 2

-площадь пластины.

2 sin

2 2 0.707

2

Таким образом, получим

F 9.81 103

0.100 981 Н.

26

2.Эта сила действует перпендикулярно к плоскости клапана и приложена

вцентре давления. Его положение относительно центра тяжести пластины определяется по формуле (2.2):

y y D

yC

I C

.

yC S

d

3

d

Здесь

I C

- момент инерции площади пластины в форме

4

2 sin

2

эллипса относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести эллипса: yC рм / g H d / 2 /sin - расстояние от центра тяжести площа-

ди пластины до пьезометрической плоскости, вдоль плоскости клапана. Вычислим эти величины

			3.14					0.30		3	0.30		1.12 10 3 м 4 ;
I C
		4						0.707			2
						2
					5 103							0.30
y	C								0.85						0.707 2.02 м.
				700 9.81									2

Итак, имеем

1.12 10

3

y y

D

y

C

0.006 м = 6 мм.

2.02 0.100

3. Определим силу Т, воспользовавшись уравнением моментов относи-

тельно точки О:

Td ctg = F (d/ 2 sin + y),

d

0.30

откуда Т F

y

d ctg =

981

0.006

0.30 1.0 713Н.

2 sin

0.707

2

Задача 2.2.2. Два полушария радиусом r=5см скреплены болтами и наполнены ртутью. Вычислить усилия, растягивающее и срезающее болты фланцевого соединения шара (рис.2.7), если высота ртути в пьезометрической трубке

=10см.

Дано: r=5см = 0,05м;=10см=0,10м ;

рт 13,6 103 кг/м3.
Определить: Fсрез ; Fраст .	Рис. 2.7

Решение. 1. Усилие, срезающее болты, представляет собой горизонтальную составляющую силы давления ртути на верхнюю полусферу. Так как для любой горизонтальной оси существуют две противоположно направленные и равные по величине силы, действующие на полусферу, то результирующая горизонтальных составляющих сил (срезающее усилие) равна нулю.

2. Растягивающим усилием для болтов является вертикальная составляющая силы давления ртути на верхнюю полусферу.

27

Согласно (2.4.) вертикальная составляющая силы давления на криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме тела давления. Определяем тело давления для верхней полусферы (на рисунке оно заштриховано). Тогда имеем

F

F

gV

g( r 2

1

4

r 3 )

z

рт

тд

рт

раст

2

3

13.6 103

9.81(3.14 0.052

0.10

1

4

3.14 0.053 ) 69,4 Н

2

3

Задача 2.2.3. Резервуар диаметром

D=2.00м

и длиной

L=6.0м запол-

нен нефтью

( =900кг/ м 3 )

до высоты

H=1,60м (рис.2.8, а). Над свободной

поверхностью создано избыточное давление

pизб =30кПа.

Определить величину и направление силы давления нефти на нижнюю

четверть ab

обшивки резервуара.

Дано:

900 кг / м3 ;

D=2,00м ;

L=6,0м;

H=1,60м;

p

изб

=30кПа = 30 103

Па .

Определить:

Fab , .

Рис. 2.8.

Решение. 1. Для определения величины и направления силы давления нефти на часть ab цилиндрической поверхности найдем составляющие Fx и

Fz . Для получения горизонтальной составляющей Fx силы проделаем сле-
дующие операции:
1)	определим вертикальную проекцию поверхности ab. Это будет прямо-
угольник L D/2 (рис.2.8,б);
2)	найдем центр тяжести C x площади вертикальной проекции;
3)	вычислим избыточное давление в точке C x

	D		30 103			2.0		39.7 103
pCx pизб g H				900 9.81 1.60					Па;
						4
	4

28

4) получим величину горизонтальной составляющей Fx

Fx pCx L D2 39.7 103 6.0 2.0 / 2 238 103 Н.

2. Вертикальную составляющую Fz определяем с использованием тела

давления. Сначала найдем пьезометрическую плоскость, которая находится выше свободной поверхности на высоте

h0n pизб / g 30 103 / 900 9.81 3.40 м.

Для участка ab цилиндрической поверхности тело давления abОdc (см. рис. 2.8, б) можно представить в виде суммы объемов прямоугольного параллелепипеда aОdc и четверти цилиндра abО. Вычислим объем тела давления

								D												D				1				D					2
	V										h		H									L												L
			тд				2				Оп										2			4				2
			2.0												2.0									1								2.0				2
							3.4 1.6														6.0						3.14									6.0 28.7 м3 .
			2												2									4									2
Теперь найдем величину вертикальной составляющей
							F		z		gV			тд		900 9.81 28.7 253 103 Н.
3. Полная сила воздействия нефти на участок																																				ab обшивки резервуара
будет равна
F		F 2			F 2								2382				106 2532											106						347 103 H 347кН .
				x					z
Направление этой силы можно определить с помощью
												tg				F		x					238 10					3		0,941 .
																Fz							253 10					3
Отсюда		43,3 .

29

2.3. ЗАДАЧИ

2-1 2. Цистерна длиной L=4,00 м и высотой Н=1,80 м заполнена топливом ( 780 кг / м3 ) до уровня h в приемной трубке. Круглый люк диамет-

ром D в наклонной стенке закрыт плоской крышкой. Центр крышки расположен на расстоянии H 1 от дна цистерны.

Определить: 1) величину и точку приложения силы давления топлива на крышку люка;

2) величину и направление силы давления топлива на цилиндрическую часть ab дна.

2-3 4. В вертикальной стенке бака на высоте H 1 сделано круглое отвер-

стие диаметром D, закрываемое конической крышкой высотой l=0,40м. Бак снизу имеет наклонную крышку размерами a a с осью вращения О и заполнен водой до уровня H=2,00 м. На свободной поверхности избыточное давление

pизб .

Определить: 1) силу F, которой должна прижиматься к баку нижняя крышка во избежание утечки воды;

2) силу давления воды, действующую на коническую крышку.

2-5 6. Бак прямоугольного сечения высотой H=1,20м имеет сверху полусферическую крышку радиусом R, а снизу - наклонную плоскую крышку диаметром D с осью вращения О. Бак полностью заполнен маслом

( 820 кг / м3 ) под давлением p	м	.

Определить: 1) силу F, которой необходимо прижимать к баку нижнюю крышку во избежание утечки масла;

2) усилие, отрывающее полусферическую крышку.

К задачам 2-1 2

К задачам 2-3 4

К задачам 2-5 6

30