Министерство образования Российской федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Таганрогский государственный радиотехнический университет

Фирсов И.П., Сапунцов Н.Е.

Контрольные задания и методические указания

по дисциплине «Математика»

для студентов ФБФО

(спец. 080502 и 080507)

Таганрог 2006

Фирсов И.П., Сапунцов Н.Е.

В пособии приведена программа курса «Математика», изучаемого в первом и втором семестрах обучения. Программа соответствует общеобразовательным стандартам специальностей 061100 и 060800. Пособие содержит необходимый минимум задач с указаниями к их решению и ответами, а также варианты четырех контрольных работ. Приведены решения нулевых вариантов всех четырех контрольных работ.

Рецензент Цирулик В.Г., к.ф-м.н., доцент кафедры Высшей математики ТРТУ.

Рабочая программа

1-й семестр. Виды контроля: к.р. №1, к.р. №2, экзамен.

Комплексные числа. Элементы общей алгебры

1. Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Доказательство существования иррациональных чисел. Расширение понятия числа. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Действия над комплексными числами. Корень n-ой степени из комплексного числа.

2. Алгебраический многочлен. Теорема Безу. Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение многочлена на неприводимые сомножители над полем комплексных чисел.

Линейная алгебра

3. Понятие матрицы и определителя. Алгебраические дополнения и миноры. Свойства определителей n-го порядка.

4. СЛАУ. Метод Крамера решения квадратных СЛАУ.

5. Алгебра матриц. Обратная матрица. Матричная запись СЛАУ. Решение квадратной СЛАУ с помощью обратной матрицы. Метод Гаусса.

6. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Теорема Кронекера – Капелли. Основные и свободные неизвестные СЛАУ. Понятие базисного решения.

7. Линейные операторы и их матрицы. Действия над операторами. Свойства.

8. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.

9. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Канонический вид симметрического оператора.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

10. Декартова прямоугольная система координат. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис в R¹, R² и R³.

11. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Геометрический смысл этих произведений. Проекция вектора на ось. Выражения произведений через координаты перемножаемых векторов.

12. Уравнения плоскости в R³ (общее, нормальное, в отрезках). Отклонение точки от плоскости. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности.

13. Уравнения прямой в R³ (каноническое, параметрическое, как пересечение двух плоскостей). Геометрическая интерпретация СЛАУ двух и трех уравнений с тремя неизвестными. Геометрическая интерпретация линейного неравенства . Угол между прямыми и между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

14. Уравнения прямой на плоскости (параметрическое, нормальное, в отрезках, с угловым коэффициентом). Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности, выраженные через угловые коэффициенты.

15. Кривые второго порядка на плоскости. Вывод их канонических уравнений. Параметрические уравнения кривых второго порядка. Геометрический смысл общего уравнения второго порядка (без доказательства).

16. Поверхности второго порядка, их канонические уравнения. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений. Геометрический смысл общего уравнения второго порядка (без доказательства). Понятие линейной и квадратичной форм.

Элементы функционального анализа

17. Понятие множества. Операции над множествами, свойства операций. Диаграммы Венна. Прямое произведение множеств.

18. Понятия метрического, линейного и нормированного пространств. Примеры. Пространство . Стандартный базис в . Скалярное произведение в . Неравенство Коши-Буняковского. Параметрическое уравнения прямой в . Плоскость в .

19. Понятия окрестности точки, предельной, внутренней и граничной точки множества метрического пространства. Понятия открытого, замкнутого и выпуклого множеств. Ограниченное множество.

20. Мощность множества. Конечные, счетные и несчетные множества. Теорема о несчетности множества действительных чисел.

21. Общее понятие функции как отображения одного множества в другое. Примеры. Область определения и область значения функции. Смысл терминов: функция, функционал, оператор.

22. Последовательность как отображение натурального ряда чисел. Понятие предела последовательности точек метрического пространства.

Введение в математический анализ

23. Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Теоремы о пределах суммы, произведения и отношения последовательностей. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.

24. Функция одного (скалярного) аргумента . Основные элементарные функции, их свойства, графики. Элементарные и неэлементарные функции.

25. Предел функции в точке (по Гейне и Коши). Основная теорема о пределах.

26. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность элементарной функции в области ее определения.

27. Свойства функции непрерывной на отрезке: ограниченность, существование наименьшего и наибольшего значений, существование промежуточных значений.

Дифференциальное исчисление функции одного аргумента

28. Производная и дифференциал функции. Геометрический и механический смысл производной. Касательная к графику функции. Общее представление о линеаризации функции.

29. Производные основных элементарных функций.

30. Свойства производной. Производная сложной, обратной и параметрически заданной функций.

31. Производные и дифференциалы высших порядков.

32. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя. Применение этих теорем.

33. Формула Тейлора. Представление функций , , , , по формуле Тейлора. Понятие о ряде Тейлора для этих функций.

34. Условия монотонности функции. Необходимые и достаточные условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

35. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

2-й семестр. Виды контроля: к.р. №3, к.р. №4, экзамен.

Интегральное исчисление функции одной переменной

36. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица основных интегралов. Интегрирование подведением под знак дифференциала, подстановкой и по частям.

37. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона- Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Приложения определенного интеграла.

38. Понятие о несобственных интегралах. Признаки сходимости несобственных интегралов (признак сравнения и предельный признак сравнения).

Числовые и функциональные ряды. Гармонический анализ

39. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Абсолютная и условная сходимости числового ряда. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Признаки абсолютной сходимости ряда (сравнения, Даламбера, радикальный Коши).

40. Ряды с комплексными членами. Методы исследования на сходимость.

41. Степенной ряд. Радиус сходимости. Разложение функции в степенной ряд.

42. Понятие ортонормированной системы функций. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Сходимость в среднем.

Векторный анализ и элементы теории поля

43. Числовая функция векторного аргумента. Предел. Непрерывность. Примеры разрывных функций.

44. Скалярное и векторное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля. Частные и полный дифференциалы.

45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

46. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора (без вывода).

47. Экстремум функции. Необходимые условия экстремума. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы (без доказательства). Достаточные условия экстремума.

48. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Примеры приложений при поиске оптимальных решений.

49. Двойной и тройной интегралы. Свойства этих интегралов. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием в декартовой системе координат.

50. Понятия криволинейного и поверхностного интегралов. Ротор и дивергенция векторного поля.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

51. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

52. Линейные дифференциальные уравнения. Однородные и неоднородные. Понятие общего решения.

53. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами.

54. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с правой частью специального вида. Приложения к описанию линейных моделей в экономике.

55. Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Запись в матричной форме. Фазовая плоскость и фазовая кривая.

56. Решение задачи Коши системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (метод подстановки).

Численные методы

57. Понятие об интерполяции и аппроксимации. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная интерполяция. Приближенное вычисление определенного интеграла (формулы прямоугольников, трапеций и парабол).

58. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.

59. Решение линейных систем методом Гаусса. Схема с выбором главного элемента.

60. Итерационные методы решения уравнений. Принцип сжимающих отображений.

61. Решение дифференциального уравнения с помощью степенного ряда.

Функции комплексной переменной

62. Элементарные функции комплексной переменной. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана.

63. Интегрирование. Теорема Коши.

64. Ряды Тейлора и Лорана.

Элементы линейного и динамического программирования

65. Примеры задач линейного программирования и методы их решения.

66. Симплекс метод. Теория двойственности.

67. Элементы динамического программирования.

Минимум задач

Умение решать приведенные ниже задачи необходимо для усвоения программы.

Задачи разбиты на группы, соответствующие разделам программы. Прежде чем приступить к решению задач, необходимо проработать соответствующие теоретические положения по одному из учебников или учебных пособий, указанных в перечне литературы.

В качестве примера указаны соответствующие параграфы учебных пособий и .

Комплексные числа. Элементы общей алгебры

Литература [2], §§ 5.3, 5.4; [6], часть 1, §§ 1, 2, 19 гл.1.

1. Найти сумму и произведение комплексных чисел: а) ;

б) .

Указание. Складываются и умножаются комплексные числа по правилу сложения и умножения многочленов с учетом того, что .

Ответ: а) ; б) .

2. Найти и , если: а) ; б) .

Указание. Сначала надо разделить комплексные числа. Для этого следует умножить числитель и знаменатель дроби на число сопряженное знаменателю. Для дроби это .

Ответ: а) ; б) .

3. Изобразить на комплексной плоскости числа Найти модули и главные значения аргументов. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

Указание.

Числа - это точки комплексной плоскости. Модуль числа находится по формуле , а главное значение аргумента – это наименьший по величине угол между осью OX и радиус-вектором, соединяющим начало координат и точку . .

Ответ:

, .

4. Вычислить: а) ; б) .

Указание. Записать число в тригонометрической форме и воспользоваться формулой

Ответ: а) ; б) .