1. Дайте понятие устойчивости системы. Приведите переходные процессы в устойчивой и неустойчивой системах под действием задания и возмущения.

Устойчивость системы – способность динамической системы, перемещенной внешней силой из исходного состояния в ненулевое состояние, возвращаться в исходное состояние после устранения действия внешней силы.

Устойчивая система:

Неустойчивая система:

Нейтральная система:

2. Перечислите известные вам критерии устойчивости и приведите сведения об области их целесообразного применения.

• Критерии устойчивости:

• Корневой метод (Прямое определение корней характеристического уравнения и анализ их расположения в корневой плоскости)

Используется в простых задачах со степенью характеристического полинома 2-4. В более сложных случаях обеспечить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения оказывается затруднительно, так как некоторые параметры системы и корректирующих средств могут влиять сразу на несколько коэффициентов характеристического уравнения.

Недостатком этого метода является также то, что необходимо задаваться видом корректирующих средств. Поэтому получаемое решение будет во многом зависеть от опытности проектанта.

• Алгебраический:

• Критерий Рауса-Гурвица

Критерий применяют при n ≤ 5 (для больших матриц может оказаться значительной вычислительная ошибка). При больших порядках возрастает число определителей, и процесс становится трудоемким. Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ.

• Частотный:

• Критерий Михайлова

Критерий удобен своей наглядностью и используется, если известно уравнение замкнутой системы. Если кривая проходит вблизи начала координат, то система находится вблизи границы устойчивости и наоборот.

• Критерий Найквиста

Критерий Найквиста нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли система, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.

Частотный критерий Найквиста применим, главным образом, когда трудно получить фазовые характеристики экспериментально. Однако вычисление АФХ, особенно частотных, сложнее, чем построение кривых Михайлова. Кроме того, расположение АФЧХ не дает прямого ответа на вопрос: устойчива ли система, то есть требуется дополнительное исследование на устойчивость системы в разомкнутом состоянии.

Критерий Михайлова применяется для систем любого порядка, в отличие от критерия Рауса. Применяя частотный критерий Найквиста и критерий Михайлова, характеристические кривые можно строить постепенно, с учётом влияния каждого звена, что придаёт критериям наглядность и решает задачу выбора параметров системы из условия устойчивости.

3. Объясните необходимость пользования критериями устойчивости.

Для нормального функционирования системы управления необходимо, чтобы она была устойчивой, так как в противном случае в ней возникают большие ошибки.

Определение устойчивости обычно проводят на начальном этапе создания системы управления. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, анализ устойчивости довольно прост. Во-вторых, неустойчивые системы могут быть скорректированы, т.е. преобразованы в устойчивые с помощью добавления специальных корректирующих звеньев.

Работоспособность любой автоматической системы регулирования (АСР) полностью зависит от её устойчивости. Неустойчивая АСР неработоспособна. Поэтому решение задач по разработке и эксплуатации АСР в качестве одного из этапов обязательно включает в себя определение области устойчивости АСР, т.е. множества таких значений параметров настройки регулятора, при которых АСР устойчива.

4. В чем суть корневого критерия устойчивости? Дайте необходимые пояснения

Устойчивость – способность динамической системы, перемещённой внешней силой в некоторое ненулевое состояние, возвращаться в нулевое (исходное) состояние, после устранения возмущения внешней силы.

Необходимое и достаточное условие устойчивости: для того, чтобы ЛДС, передаточная функция которой имеет вид ,была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения A(p)=0 имели отрицательные действительные части, то есть чтобы выполнялось условие Re[p_i]<0; i= 1...n.

Однако, на практике находить корни характеристического уравнения в каждом случае затруднительно. Поэтому для анализа устойчивости ЛДС используются критерии устойчивости.

Критерием устойчивости называют математический способ, обеспечивающий возможность оценки устойчивости системы по её характеристическому уравнению без прямого вычисления корней.

Существует 2 класса критериев устойчивости:

1. Алгебраические;

2. Частотные.

4. В чем суть критерия устойчивости Гурвица? Опишите условия его применимости.

Алгебраический критерий устойчивости (Рауса - Гурвица)

Характеристическое уравнение ЛДС:

В соответствии с критерием по этому уравнению составляется матрица n*n

Критерий Рауса – Гурвица: для того, чтобы система была устойчивой, т.е. Re[p_i]<0, необходимо, чтобы все определители Δ_{i, i=1..n} матрицы Рауса-Гурвица были положительными, т.е. Δ_i >0. Если какой-либо из определителей Δ_i =0, система находится на границе устойчивости; если какой-либо Δ_i <0, то система неустойчива.

Пример использования критерия Рауса-Гурвица для определения области изменения данного параметра, обеспечивающей устойчивость системы.

k>4 - система устойчива;

k=4 – критическое значение (Δi = 0) - ЛДС на границе устойчивости;

k<4 – ЛДС не устойчива.

4. Сделайте обоснование критерия устойчивости Михайлова и опишите условия его применимости.

Критерий устойчивости Михайлова

1-ая формулировка: ЛДС, передаточная функция которой имеет вид , будет устойчивой, если при изменении ω от 0 до ∞ (0≤ω≤∞) вектор A(jω) повернется на угол , нигде не обращаясь в ноль. Комплексная функция A(jω) называется годографом Михайлова.

2-ая формулировка: ЛДС устойчива, если годограф Михайлова, начиная свое движение с вещественной полуоси и нигде не обращаясь в ноль, последовательно проходит в положительном направлении n квадрантов.