2. Системы счисления

Основные понятия

Система счисления — это способ представления чисел и соответ­ствующие ему правила действий над числами. Знаки, используемые при записи чисел, называют цифрами.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В пози­ционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр назы­вается основанием позиционной системы счисления. Непозиционные системы счисления (например, римская нумерация I, II, III, IV, V, VI, VII и т. д.) редко используются в задачах ЕГЭ (см. 2.39, 2.40).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием q нужно иметь алфавит из q цифр. Обычно для этого при q ≤ 10 используют q первых арабских цифр (начиная с 0), а при q > 10 к десяти арабским цифрам добавляют начальные буквы латинского алфавита.

Например:

Основание	Название	Алфавит
q = 2	двоичная	01
q = 3	троичная	0 12
q = 8	восьмеричная	0 1234567
q = 10	десятичная	012 3 456789
q = 16	шестнадцатеричная	01 23456789ABCDEF

Основание системы приписывается нижним индексом к записи числа.

Например: 111001₂; 326_g; AI,B6F₁₆ (последнее число содержит дробную часть. Исключением является десятичная запись числа, для которой индекс можно не указывать: запись 23586 означает то же самое, что и 23586₁₀.

Развернутой формой записи числа называется запись в виде:

А_q= ±(a_n-1q^n-1 + a_n-2q^n-2 + … + a₀q⁰ + a_-1q^-1 + a_-2q^-2 + … + a_-mq^-m ).

В этой формуле Аq - само число, q - основание системы счисления, a_i – цифры данной системы счисления, n - число разрядов целой части числа, m - число разрядов дробной части числа.

Перевод в десятичную из других систем счисления

Для перевода в десятичную из других систем счисления проще всего записать исходное (недесятичное) число в развернутой форме, после чего представить все слагаемые, входящие в развернутую форму, в де­сятичной системе и вычислять

полученное выражение по правилам десятичной арифметики.

В качестве примеров см. решения задач 2.6, 2.7, 2.8.

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

Перевод целых чисел.

1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной сис­теме счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, равное нулю.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой сис­теме счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его цифры слева направо, начиная с последнего остатка.

Переведем, например, десятичное число 318 в систему счисления по основанию 4. Выполняя деление исходного числа на 4, получаем 79 и число 2 в остатке. Затем делим на 4 полученное неполное частое (79); получаем 19 и 3 в остатке. Делим 19 на 4, получаем 4 и 3 в остатке. Делим 4 на 4. получаем 1 и 0 в остатке. Наконец, делим 1 на 4. получаем 0 и 1 в ос­татке. Как только получено неполное частное, равное 0, процесс деления прекращаем, Описанные действия удобно оформить в виде таблицы:

Число	Неполное частое	Остаток
318 : 4 =	79	2
79 : 4 =	19	3
19 : 4 =	4	3
4 : 4 =	1	0
1 : 4 =	0	1

Осталось выписать полученные остатки, начиная с последнего: 10332. Это и есть представление десятичного числа 318 в системе счисления по основанию 4:

318= 10332₄

Поскольку в процессе вычислений легко сделать случайную ошибку, полезно выполнить проверку полученного результата, переведя число 10332₄ обратно в десятичную систему:

10332₄ = 1· 4⁴ + 0 · 4³ + 3· 4² + 3· 4¹ + 2· 4° =

= 1· 256 + 0 · 64 + 3 · 16 + 3 · 4 + 2 · 1 = 256 + 48+ 12 + 2=318

Примеры перевода десятичных целых чисел в другие системы счис­ления приведены также в решениях задач 2.1 и 2.5.