2.14. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

Решение

Воспользуемся развернутой формой записи числа

А_q= a_n-1q^n-1 + a_n-2q^n-2 + … + a₀q⁰ , где A_q =22, a₀ =4.

Если отнять от числа A_q число а₀, то полученное число будет кратно основанию системы счисления q. Воспользуемся этим, чтобы найти все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

В нашем случае А_q - а₀ = 22 - 4 = 18.

Теперь выпишем все делители числа 18: 2, 3, 6, 9, 18.

Отбросим основания 2 и 3, поскольку они соответствуют системам счисления, в которых не может присутствовать цифра 4. Останутся следующие основания: 6. 9, 18.

Ответ: 6, 9, 18.

2.15. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 19 трёхзначна.

Решение

Воспользуемся развернутой формой записи числа:

А_q= a_n-1q^n-1 + a_n-2q^n-2 + … + a₀q⁰

Если запись числа 19 трехзначна, то число должно быть меньше, чем

q³, и не меньше, чем q².

q³ > 19 > q²

Будем перебирать натуральные числа, начиная с 2:

2³ < 19

3³ >19≥ 3²

Ответ: 3.

2.16. В системе счисления с некоторым основанием число 12 запи­- сывается в виде 110. Укажите это основание.

Решение

Воспользуемся развернутой формой записи числа:

^А„ = ",и 1'"' ^{+ а}«-;<Г^{2 +} ••• ⁺ V/°-12 = 1-^ + l-tf + O-q".

Решим полученное квадратное уравнение q² + с/ - 12 = 0:

Чх = -*• Ч₂ = 3-

Основание системы счисления не может быть отрицательным, поэ­тому остается только один ответ: 3. Ответ: 3.

2.17. В таблице ниже представлена часть кодовой таблицы ASCII:

Символ	1	5	А	В	0	а	b
Десятичный код	49	53	65	66	81	97	98
Шеегнадцатеричньш коя	31	35	41	42	51	6!	62

Каков шестнадпатеричный код символа «q» ?

1)71₁₆ 2)83₁₆ 3)А1₁₆ 4)В3₁₆

Решение

Буква «q» отстоит от буквы «Q» в кодовой таблице ASCII на такое же расстояние, как и буква «а» от буквы «А». Поэтому вначале вычис­лим разноегь кодов букв «а» и «А». Затем прибавим к коду буквы «Q» разность кодов.

Для вычислений воспользуемся более привычной десятичной систе­мой. Разность кодов равна 97 - 65 = 32. Прибавляя к коду буквы «Q» разность кодов, получим: 81 + 32 = 113. Осталось перевести полученное десятичное число в шестнадцатеричную систему счисления: 113 — 71_]6