Вопросы к зачету по линейной алгебре и аналитической геометрии

1. Векторная алгебра

1. Определение геометрического вектора. Линейные операции над векторами.

2. Линейная зависимость векторов. Критерий линейной зависимости.

3. Базис в пространстве геометрических (или арифметических) векторов. Два различных определения и их эквивалентность. Координаты вектора.

4. Скалярное произведение векторов, его свойства и координатное представление. Угол между векторами.

5. Векторное произведение векторов, его свойства, координатное представление и геометрический смысл.

6. Смешанное произведение векторов, его свойства, координатное представление и геометрический смысл.

7. Критерии ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов в терминах скалярного, векторного и смешанного произведений.

2. Аналитическая геометрия

8. Способы задания и различные уравнения прямой на плоскости. Вывод уравнений к векторном виде и координатная запись.

9. Способы задания и различные уравнения прямой в пространстве. Вывод уравнений к векторном виде и координатная запись.

10. Способы задания и различные уравнения плоскости. Вывод уравнений к векторном виде и координатная запись.

11. Формула расстояния от точки до плоскости (с выводом).

12. Кривые второго порядка на плоскости. Классификация.

13. Невырожденные кривые второго порядка на плоскости и их характеристические свойства. Доказательство характеристических свойств.

3. Матрицы и определители

14. Определители произвольного порядка. Способы вычисления.

15. Основные свойства определителей с доказательством некоторых свойств.

16. Матрицы. Определение, линейные операции, транспонирование, умножение.

17. Обратная матрица: определение, обратимость и невырожденность.

18. Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.

19. Понятия ранга матрицы и ранга системы арифметических векторов. Их связь.

(http://www.bseu.by/hm/uchm/Posobie/Posobie_1.pdf )

4. Системы линейных алгебраических уравнений

20. Метод обратной матрицы и метод Крамера решения СЛАУ. Связь этих методов.

21. Основные понятия: решение, эквивалентность, совместность, определенность. Теорема Кронекера-Капелли.

ОТВЕТЫ

1; 2) http://www.bseu.by/hm/uchm/Posobie/Posobie_1.pdf

3) Ранг и базис системы векторов.

Разложение вектора по базису

Максимальная линейно независимая подсистема системы векто-

ров называется ее базисом. Система векторов может иметь несколько

базисов, но все они содержат одинаковое количество векторов, кото-

рое называется рангом данной системы векторов. Если система век-

торов n-мерного пространства содержит более чем n векторов, то она

обязательно будет линейно зависимой.

Базисом n-мерного пространства Rn называется любая совокуп-

ность n линейно независимых векторов этого пространства. Любой

вектор n-мерного пространства х ∈ Rn можно единственным образом

разложить по любому базису a1 , a2 , ... , an этого пространства, т.е.

х = х1a1 + х2 a2 +...+ хn an причем числа x1 , x2 , ..., xn называются коор-

динатами вектора х в данном базисе.