1.3 Однофазные электрические цепи переменного тока

Переменным электрическим током называется электрический ток, изменение которого по величине и направлению повторяется периодически через равные промежутки времени Т.

Электрическая энергия называется активной, когда электрическая энергия необратимо преобразуется в другой вид энергии.

Реактивное сопротивление не вызывает расход энергии и показывает, что энергия, запасающаяся магнитным полем катушки, не расходуется, а возвращается обратно в цепь.

Индуктивное сопротивление учитывает противодействие ЭДС самоиндукции периодическим изменениям тока. Оно пропорционально частоте этого тока.

XL=2pfL, где

XL-индуктивное сопротивление;

-период величина постоянная;

f-частота, [Гц];

L-индуктивность, [Гн].

Емкость сопротивления вычисляется по формуле:

Xс= ,

где С-емкость;

Хс-емкостное сопротивление.

Действующее значение переменного тока широко применяется при расчете цепей переменного тока.

При синусоидальном токе i=i_m·sinωt действующее значение тока равно:

i= =0,707 i_m

Мгновенная величина ЭДС-это величина ЭДС в рассматриваемый период времени. Мгновенная величина ЭДС определяется по уравнению:

е=Еm · sin (ωt±φ),

где Еm-амплитуда;

ω-угловая частота;

t-время, за которое происходит изменение фазы.

Угловая частота-это скорость изменения фазы. За время одного периода Т фазовый угол равномерно изменяется на 2П, поэтому

ω= =2pf, где f-частота, величина обратная периоду

Активная мощность равна:

P=i ·UR=i²R=UR²/R [Вт], где

i-ток в цепи, [А];

R-активное сопротивление, [Ом].

Реактивная мощность обусловлена энергией магнитного поля индуктивности и электрического поля емкости, не совершает никакой полезной работы, однако оказывают влияние на режим работы цепей.

QL=UL · i=i² · XL=UL²/XL, где

QL-индуктивная мощность, [Вар];

QC=i · XC=i² · Xc=UC²/XC, где

QC-емкостное сопротивление, [Вар].

Полная мощность вычисляется из треугольника мощности по теореме Пифагора:

S² =P² + Q², где

S-полная мощность цепи, [В^.А].

1.4 Трехфазные цепи переменного тока

Трехфазной системой ЭДС называется система трех переменных ЭДС одинаковой частоты, сдвинутых относительно друг друга по фазе так, что сумма трехфазных углов равна 2П.

Простейший генератор трехфазного тока по конструкции аналогичен генератору однофазного тока, только его якорь имеет ни одну, а три обмотки, сдвинутых в пространстве друг относительно друга на 120º.

Отдельные обмотки трехфазного генератора называются фазами. Условно выбирают положительное направление ЭДС в обмотках, от концов фаз к началу.

У реальных трехфазных генераторов обмотки имеют одну общую, в которой соединены концы обмоток. Такую схему соединения называют звездой, а общую обмотку – нейтралью генератора.

Напряжение между линейными проводами принято называть линейным. Напряжение между линейными и нейтральными проводами называют фазными напряжениями. Фазное напряжение отличается от фазной ЭДС по величине падения напряжения в обмотке генератора.

Между действующими значениями фазных UФ и линейных UЛ напряжений существует соотношение:

UЛ=2UФ · сos30º=2UФ · = · UФ, где

UЛ-линейное напряжение;

UФ-фазное напряжение.

Векторная диаграмма симметрична линейных напряжений сдвинута на 30º в сторону вращения векторов относительно диаграммы фазных напряжений.

В схеме соединения обмоток трехфазного генератора, которую называют треугольником, три обмотки генератора образуют замкнутый контур с весьма малым сопротивлением. При соединении обмоток треугольником линейное напряжение в то же время является и фазным напряжением генератора, т.е.

UЛ=UФ

Звезда векторов линейных токов сдвинута относительно звезды фазных токов на 30º против вращения векторов:

IЛ=2 · iФcos30º=2iФ = iФ, где

IЛ-линейный ток;

IФ-фазный ток.

При симметричной нагрузке точке во всех фазах одинаковы.

Расчет электрической цепи переменного тока

Е₁= 21

E₂=12 B,

r₀₁=1 О м,

r₀₂=0,2 Ом,

R₁= 2 Ом,

R₂= 7 Ом, рис.1

R₃=12 Ом,

R₄=17 Ом,

R₅=22 Ом,

R₆=27 Ом.

Расчет электрической цепи с применением законов Кирхгофа

Этот метод расчета является универсальным, то есть данный методом можно рассчитать любую электрическую цепь различной конфигурации и сложности. Сущность заключается в следующем:

1. Произвольно выбрал положительное направление токов и указал на схеме стрелками (рис.1).

2. Необходимо помнить, количество уравнений для расчета цепи должно быть столько, сколько неизвестных токов.

3. Составляем 3 необходимых и достаточных уравнений (так как узлов в цепи 4) по первому закону Кирхгофа, который гласит:

Арифметическая сумма токов в узле равна 0.

При этом выбираем обход контура.

Для узла 2: I₃=I₁+I₂

Для узла 4: I₁=I₄+I₆

Для узла 3: I₃=I₄+I₅

4. Недостающие уравнения составляем по второму закону Кирхгофа, в котором сказано, что:

В контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжения на пассивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС этого источника.

Для контура 2-3-4-5-2: E₁=I₁R₁+I₁r₀₁+I₃R₃+I₄R₄

Для контура 1-2-5-8-1: E₂=I₂R₂+I₂r₀₂+I₃R₃+I₅R₅

Для контура 8-5-4-6-7-8: 0=I₅R₅+I₆R₆-I₄R₄

5. Преобразовываем составленные уравнения, подставляя в них значения сопротивления и ЭДС:

а) 3I₁+12I₃+17I₄=21, б) 3(I₃-I₂)+1₂I₃+17I₄=21,

7,5I₂+12I₃+22I₅=12, 7,5I₂+12I₃+22(I₃-I₄)=12,

22I₅+27I₆-17I₄=0. 22(I₃-I₄)+27(I₁-I₄)-17I₄=0.

в) 3I₃-3I₂+12I₃+17I₄=21, г) -3I₂+15I₃+17I₄=21,

7,5I₂+12I₃+22I₃-22I₄=12, 7,5I₂+34I₃-22I₄=12,

22I₃-22I₄+27(I₃-I₂)-27I₄-17I₄=0. -27I₂+49I₃-66I₄=0.

д) -3I₂+15I₃+17I₄=21,

7,5I₂+34I₃-22I₄=12,

-27I₂+49I₃-66I₄=0.

6. Вычислим токи I₂, I₃, I₄ по формулам Крамера:

-3I₂+15I₃+17I₄=21,

7,5I₂+34I₃-22I₄=12,

-27I₂+49I₃-66I₄=0.

= -3*34*(-66)+15*(-22)*(-27)+7,5*49*17-34*17*(-27)-7,5*15*(-66)-49*(-22)* (-3)=41686,5

I₂= 21*34*(-66)+12*49*17+0-0-49*21*(-22)-12*15*(-66)=11880

I₃= -3*12*(-66)+21*(-22)*(-27)+0-17*12*(-27)-7,5*21*(-66)-0=30753

I₄= 0+7,5*49*21+15*12*(-27)-34*21*(-27)-49*12*(-3)-0=23899,5

Следовательно, I₂= I₂/ =11880/41686,5=-0,0626101 (А),

I₃= I₃/ =30753/41686,5=0,7377208 (А),

I₄= I₄ / =23899,5/41686,5=0,5733151 (А).

I₂ имеет отрицательное значение, потому что на схеме выбрали неправильное направление этого тока (указал на рис. истинное направление тока I₂).

7. Остальные токи находим с помощью уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа (пункт 3):

I₁=I₃-I₂=0,7377208 – (-0,0626101)=0,8003309 (A),

I₅=I₃-I₄=0,7377208 – 0,5733151=0,1644057 (A),

I₆=I₁-I₄=0,8003309 – 0,5733151=0,2270158 (A).

8. В результате расчета электрической цепи по законам Кирхгофа получил следующие токи:

I₁=0,8003309 » 0,800 А

I₂=0,0626101 » 0,063 A

I₃=0,7377208 » 0,738 A

I₄=0,5733151 » 0,573 A

I₅=0,1644057 » 0,164 A

I₆=0,2270158 » 0,227 A.

б) Расчет электрической цепи методом контурных токов

Эту же электрическую цепь можно также рассчитать методом контурных токов.

Контурный ток – это расчетная величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура.

Расчет производим следующим образом:

1. Определяем в данной схеме независимые контура и указываем в них контурные токи (обозначил контура на схеме).

2. Находим собственное и общее сопротивления контуров, зная, что Собственное сопротивление контура – это сумма сопротивлений данного контура.

Общее сопротивление контура – это сопротивление (или их сумма), входящее в два смежных контура.

Нашел собственные сопротивления контуров I_К1, I_К2, I_К3:

R₁₁=R₁+R₃+R₄+r₀₁=2+12+17+1=32 (Ом),

R₂₂=R₂+R₃+R₅+r₀₂=7+12+22+0,5=41,5 (Ом),

R₃₃=R₄+R₅+R₆=17+22+27=66 (Ом).

общие сопротивления:

R₁₂=R₃=12 Ом,

R₁₃=R₄=17 Ом,

R₂₃=R₅=22 Ом.

2. Составляем контурные уравнения по второму закону Кирхгофа, руководствуясь следующим правилом:

Алгебраическая сумма всех ЭДС контура равна произведению контурного тока на собственное сопротивление этого контура за вычетом падения напряжения на смежных сопротивлениях.

для контура 2-3-4-5-2: E₁=I_К1R₁₁-I_К2R₁₂-I_К3R₁₃,

для контура 1-2-5-8-1: - E₂=I_К2R₂₂-I_К1R₁₂-I_К3R₂₃,

для контура 8-5-4-6-7-8: 0=I_К3R₃₃-I_К1R₁₂-I_К2R₂₃ .

2. Решаем составленную систему уравнений, применяя при этом формулы Крамера:

32I_К1-12I_К2-17I_К3=21,

-12I_К1+41,5I_К2-22I_К3= -12,

-17I_К1-22I_К2+66I_К3=0 .

=32*41,5*66 – 12*(-17)*(-22) –12*(-17)*(-22) –41,5*(-17)*(-17) - - 32*(-22)*(-22) – 66*(-12)*(-12)=41686,5

I_К1=21*41,5*66 – 12*(-17)*(-22) +0 – 0 – 21*(-22)*(-22) – 66*(-12)* *(-12)=33363

I_К2=32*66*(-12)+21*(-17)*(-22)+0 – (-12)*(-17)*(-17) – 66*21*(-12)= 2610

I_К3=0 – 17*(-12)*(-12)+21*(-12)*(-22) – 21*41,5*(-17) – 32*(-12)*(-22) – 0=9463,5 .

Следовательно,

I_К1= 33363/41686,5=0,800331 (A),

I_К2= 2610/41686,5=0,0626101 (A),

I_К3= 9463,5/41686,5=0,2270159 (A).

2. Из полученных контурных токов находим остальные действительные токи во всех ветвях цепи:

I₁=I_К1=0,800331 » 0,800 (А),

I₂=I_К2=0,0626101 » 0,063 (A),

I₃=I_К1 – I_К2=0,800331 – 0,062101=0,7377209 » 0,738 (A),

I₄=I_К1 – I_К3=0,800331 – 0,2270159=0,5733151 » 0,573 (A),

I₅=I_К3 – I_К2=0,2270159 – 0,0626101=0,1644058 » 0,164 (A),

I₆=I_К3= 0,2270159 » 0,227 (A).

в) Расчет электрической цепи методом наложения

В некоторых случаях расчет электрических цепей можно провести относительно просто, используя принцип наложения. Этот принцип применяется только к линейным системам, а в данном случае - для расчета линейной электрической цепи.

Порядок расчета:

1.На основе исходной схемы составляем частные расчетные схемы (рис.2а, рис.2б), в каждой из которых действует только одна ЭДС. Все другие ЭДС исключаем и от каждого источника в схеме остается только его внутреннее сопротивление.

При определении общих токов необходимо правильно учесть направления частных токов: в исходной схеме наметил условно-положительные направления токов в ветвях. Частный ток считают положительным, если он одинаково направлен с положительным током в той же ветви схемы, а противоположного направления – отрицательным.

2. Любым подходящим методом определяют токи в частных схемах, которые чаще всего оказываются относительно простыми.

В этой схеме нет элементов, соединенных последовательно или параллельно, но имеется замкнутый контур из трех сопротивлений (треугольник сопротивлений), причем точки, разделяющие каждую пару смежных сопротивлений, являются узловыми.

К узловым точкам А, В, С присоединен треугольник сопротивлений . Его можно заменить эквивалентной трехлучевой звездой сопротивлений R_А, R_В, R_С (на схеме изображены штриховыми линиями), присоединенных с одной стороны к тем же точкам А, В, С, а с другой – к общей (узловой) точке.

Замена треугольника сопротивлений эквивалентной звездой и наоборот осуществляется при условии, что такая замена не изменяет потенциалов узловых точек А, В, С, являющихся вершинами треугольника и эквивалентной звезды. Одновременно предполагают, что в остальной части схемы, не затронутой преобразованием, режим работы не изменяется (не изменяются токи, напряжения, мощности).

Для определения сопротивлений трехлучевой звезды по известным сопротивлениям эквивалентного треугольника служат следующие уравнения:

R_x= R_{xy *}R_xz/(R_xy +R_yz+R_xz)

R_y=R_xy*R_yz/(R_xy+R_yz+R_xz)

R_z=R_xz*R_yz/(R_xy+R_yz+R_xz)

Для первой схемы (рис.2а):

R_Б=R₄*R₅/(R₄+R₅+R₆)=17*22/(17+22+27)=374/66=5,666666 (Ом)

R_В=R₄*R₆/(R₄+R₅+R₆)=17*27/(17+22+27)=459/66=6,954545 (Ом)

R_Г=R₅*R₆/(R₄+R₅+R₆)=22*27/(17+22+27)=594/66=9 (Ом)

Рис.2а

Находим эквивалентное сопротивление первой частной схемы:

R_экв=R₁+(R₃+R_Б)*(R₂+R_Г+r₀₂)/(R₂+R₃+R_Б+R_Г+r₀₂)+R_B=2+(12+5,666666)*7+9+0,5)/(7+12+5,666666+9+0,5)+6,954545=8,694545+17,666666*16,5/ 34,166666=18,486252 (Ом)

Следовательно

I¢₁=I¢_B=E₁/(R_экв+r₀₁)=21/(18,486252+1)=1,135979 (A)

I¢₃=I¢_Б=I¢₁*(R₂+R_Г+r₀₂)/(R₂+R₃+R_Б+R_Г+r₀₂)=1,135979*(7+9+0,5)/

(7+12+5,666666+9+0,5)=1,135979*16,5/34,166666=0,548594 (A)

I¢₂=I¢_Г=I¢₁- I¢₃=1,135979 – 0,548594=0,587384 (A)

U_АБ=I¢₃R₃=0,548594*12=6,583137 (B)

U_АГ=I¢₂(R₂+r₀₂)=0,587384*(7+0,5)=4,405382 (B)

U_БГ=U_АБ – U_АГ=6,583137 – 4,405382=2,177755 (В)

3. Поскольку потенциал точки Б больше потенциала точки Г (j_Б>j_Г), то ток I¢₅ потечет от точки Б к точке Г и будет равен

1. I¢₅=U_БГ/R₅=2,177755/22=0,098988 (A)