9. Производная обратной функции
Дифференцируемая монотонная функция f:[a, b] → R с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцируемую функцию f -1, производная которой вычисляется по формуле
Производная параметрически заданной функции
Если функция f задана параметрически
x = φ(t), y = ψ(t), α < t < β,
где y = f(x) и функции φ и ψ дифференцируемы, причем φ'(t) ≠ 0, то
Производная неявно заданной функции
Если y = f(x) - дифференцируемая функция, заданная уравнением F(x, y) = 0, т. е. F(x, f(x)) ≡ 0 на некотором интервале [a, b], то во многих случаях ее производную можно найти из уравнения
10. Дифференциа́л— линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.
Определения для функций
Дифференциал гладкой вещественнозначной функции f, определённой на M (M — гладкое многообразие), представляет собой 1-форму, обычно обозначается df и определяется соотношением
где обозначает производную f по направлению вектора X в касательном расслоении M.
Геометрический смысл дифференциала мы выясним, исходя из найденного ранее геометрического смысла производной. Поскольку производная -- это угловой коэффициент касательной к графику функции при , то дифференциал -- это приращение ординаты точки касательной
к графику функции , когда абсцисса точки касательной получает приращение :
Приближённые вычисления с помощью дифференциала
Формулу
задающую определение дифференциала, можно записать в виде приближённого равенства
если считать (при малых ) значение бесконечно малой величины много меньшим, чем . Перенося в правую часть, получаем:
где . С учётом выражения дифференциала через частные производные, находим, что
Эту формулу можно применять для приближённого вычисления значений функции в точках , если известны значения и её частных производных в точке .
11. Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,
f"(x) = (f'(x))'.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,
f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, то
dx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.
В этом случае справедлива формула
dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.
12. Условия монотонности функции
(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда
f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда
f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда
(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда если то f строго возрастает на (a,b);
если то f строго убывает на (a,b).
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b). Точнее имеет место
(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: