Учебники, методички / Введение в математический анализ / LMA01

\section*{\it ‹ҐЄжЁп 1.}

{\bf 1. ЌҐЄ®в®алҐ Ї®­пвЁп, б®Ј« иҐ­Ёп Ё ®Ў®§­ зҐ­Ёп.}

Џ®­пвЁп {\it ¬­®¦Ґбвў } Ё {\it н«Ґ¬Ґ­в ¬­®¦Ґбвў } пў«повбп
ЇҐаўЁз­л¬Ё. ЏҐаўЁз­л¬ Ї®­пвЁҐ¬ пў«пҐвбп в Є¦Ґ Ї®­пвЁҐ {\it Їгбв®Ј®
¬­®¦Ґбвў } ($\emptyset$) (¬­®¦Ґбвў , ­Ґ ᮤҐа¦ йҐЈ® н«Ґ¬Ґ­в®ў).

‡ ЇЁбм $A=\{a,b,c,\dots\}$ ®Ў®§­ з Ґв, зв® ¬­®¦Ґбвў® (Ё«Ё
б®ў®ЄгЇ­®бвм) $A$ б®бв®Ёв Ё§ н«Ґ¬Ґ­в®ў $a,b,c,\dots$;  ­ «®ЈЁз­®,
§ ЇЁбм $A=\{x_{\alpha}\}$ ®Ў®§­ з Ґв, зв® б®ў®ЄгЇ­®бвм $A$ б®бв®Ёв
Ё§ н«Ґ¬Ґ­в®ў $x_{\alpha}$, Ј¤Ґ ${\alpha}$ --- Ё­¤ҐЄб, Їа®ЎҐЈ ойЁ©
­ҐЄ®в®а®Ґ ¬­®¦Ґбвў®, Є®в®а®Ґ ў Є®­ЄаҐв­ле б«гз пе ўбҐЈ¤ 
гЄ §лў Ґвбп (­ ЇаЁ¬Ґа, $A=\{1/n\}_{n=1}^{\infty}$).

‡ ЇЁбм $A=\{x :\ \dots\}$ ®§­ з Ґв, зв® б®ў®ЄгЇ­®бвм $A$ б®бв®Ёв
Ё§ н«Ґ¬Ґ­в®ў, ®Ў« ¤ ойЁе бў®©бвў®¬, гЄ § ­­л¬ Ї®б«Ґ ¤ў®Ґв®зЁп ў
дЁЈга­ле бЄ®ЎЄ е. ’ Є, ­ ЇаЁ¬Ґа, Ґб«Ё $a\leqslant b$, в®
$[a,b]=\{x:\ a\leqslant x\leqslant b \}$ -- зЁб«®ў®© ®в१®Є, Ґб«Ё
$a< b$, в® $(a,b)=\{x:a<x<b\}$ -- Ё­вҐаў « (­ §лў Ґ¬л©
ў­гв७­®бвмо ®в१Є  $[a,b]$). Њ­®¦Ґбвў  $[a,b)=\{x:\ a\leqslant
x< b \}$, $(a,b]=\{x:\ a< x\leqslant b \}$ ­ §лў ов Ї®«г®в१Є ¬Ё
Ё«Ё Ї®«гЁ­вҐаў « ¬Ё. Њ­®¦Ґбвў  $[a,b]$, $[a,b)$, $(a,b]$, $(a,b)$
­ §лў овбп в Є¦Ґ Їа®¬Ґ¦гвЄ ¬Ё, в®зЄЁ $a$ Ё $b$ ­ §лў овбп
Є®­жҐўл¬Ё (Ё«Ё {\bf Ја ­Ёз­л¬Ё}),   ўбҐ Ёе ®бв «м­лҐ в®зЄЁ -- {\bf
ў­гв७­Ё¬Ё} в®зЄ ¬Ё. —Ёб«® $b-a$ ­ §лў Ґвбп ¤«Ё­®© ®в१Є 
$[a,b]$. ‚ б«гз Ґ $a=b$ ®в१®Є $[a,b]$ б®бв®Ёв Ё§ ®¤­®© в®зЄЁ.

ђ бб¬ ваЁў ов в Є¦Ґ ЎҐбЄ®­Ґз­лҐ Їа®¬Ґ¦гвЄЁ, гЇ®вॡ«пп ¤«п Ёе
§ ЇЁбЁ бЁ¬ў®«л ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ: $+\infty$ Ё $-\infty$. ЏаЁ н⮬
бзЁв ов Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо, зв® $-\infty < x< +\infty$ ¤«п «оЎ®Ј®
¤Ґ©б⢨⥫쭮Ј® зЁб«  $x$: $$(a,+\infty)=\{x :\ x>a\},\quad
[a,+\infty)=\{x :\ x\geqslant a\},\quad (-\infty,b)=\{x :\
x<b\},$$ $$(-\infty,b]=\{x :\ x\leqslant b\},\quad
(-\infty,+\infty)=\{x :\ -\infty <x< +\infty\}.$$ ќвЁ ¬­®¦Ґбвў 
­ §лў ов ЎҐбЄ®­Ґз­л¬Ё Їа®¬Ґ¦гвЄ ¬Ё.

Џгбвм ⥯Ґам § ¤ ­л Ї а  ¬­®¦Ґбвў $A$ Ё $B$. Ѓг¤Ґ¬ ЁбЇ®«м§®ў вм
®Ў®§­ зҐ­Ёп:

$a\in A$ --- н«Ґ¬Ґ­в $a$ ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв ¬­®¦Ґбвўг $A$, $a\notin A$
--- н«Ґ¬Ґ­в $a$ ­Ґ ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв $A$.

$\rceil A$ (Ё«Ё $\bar{A}$) --- ®ваЁж ­ЁҐ, ¤®Ї®«­Ґ­ЁҐ ¬­®¦Ґбвў 
$A$, в.Ґ. ¬­®¦Ґбвў® $\{x:\ x\notin A\}$.

$A\subset B$ --- $A$ пў«пҐвбп Ї®¤¬­®¦Ґбвў®¬ $B$ (в. Ґ. Є ¦¤л©
н«Ґ¬Ґ­в ¬­®¦Ґбвў  $A$ пў«пҐвбп н«Ґ¬Ґ­в®¬ ¬­®¦Ґбвў  $B$). ЏаЁ н⮬
­Ґ ЁбЄ«оз Ґвбп б«гз © $A=B$.

$A\bigcup B$ --- ®ЎкҐ¤Ё­Ґ­ЁҐ (б㬬 ) ¬­®¦Ґбвў $A$ Ё $B$ (в.Ґ.
¬­®¦Ґбвў® $\{x:\ x\in A$ Ё«Ё $x\in B\}$).

$A\bigcap B$ --- ЇҐаҐбҐзҐ­ЁҐ $A$ Ё $B$ (в.Ґ. ¬­®¦Ґбвў® $\{x:\ x\in
A$ Ё, ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­®, $x\in B\}$). ‡ ЇЁбм $A\bigcap B=\varnothing$
®§­ з Ґв, зв® ¬­®¦Ґбвў  $A$ Ё $B$ ­Ґ ЇҐаҐбҐЄ овбп (Ё«Ё, ¤агЈЁ¬Ё
б«®ў ¬Ё, ­Ґ Ё¬Ґов ®ЎйЁе н«Ґ¬Ґ­в®ў); § ЇЁбм $A\bigcap
B\neq\emptyset$ ®§­ з Ґв, зв® ¬­®¦Ґбвў  $A$ Ё $B$ ЇҐаҐбҐЄ овбп
(Ё¬Ґов е®вп Ўл ®¤Ё­ ®ЎйЁ© н«Ґ¬Ґ­в).

$A\backslash B$ --- а §­®бвм ¬­®¦Ґбвў $A$ Ё $B$ (в.Ґ. ¬­®¦Ґбвў®
$\{x:\ x\in A$ Ё, ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­®, $x\notin B\}$).

…б«Ё § ¤ ­  бЁб⥬  ¬­®¦Ґбвў $A_{\alpha}$, в®
$$\bigcup_{\alpha}A_{\alpha}=\{x:\ x\in A_{\alpha}{\rm\ е®вп\ Ўл\
¤«п\ ®¤­®Ј®\ }\alpha\},\quad \bigcap_{\alpha}A_{\alpha}=\{x:\ x\in
A_{\alpha}{\rm\ ¤«п\ ўбҐе\ }\alpha\}.$$

$\forall$ --- ¤«п «оЎ®Ј®, ¤«п ўбҐе, «оЎ®©, ўбпЄЁ©.

$\exists$ --- ­ ©¤Ґвбп, бгйҐбвўгҐв.

$!$ --- Ґ¤Ё­б⢥­­л©.

$\Rightarrow$ --- б«Ґ¤гҐв, ў«ҐзҐв, ўлЇ®«­пҐвбп.

$\Leftrightarrow$ --- а ў­®бЁ«м­®.

\noindent ђ бᬮваЁ¬ ЇаЁ¬Ґа ЇаЁ¬Ґ­Ґ­Ёп ўўҐ¤Ґ­­ле ®Ў®§­ зҐ­Ё©.

Џгбвм $A$ Ё $B$ --- ­ҐЄ®в®алҐ ¬­®¦Ґбвў . ’®Ј¤  $(A\subset
B)\Leftrightarrow (\bar{B}\subset \bar{A})$:

$\lhd :$ „«п ¤®Є § вҐ«мбвў  вॡгҐвбп гбв ­®ўЁвм ¤ў  д Єв :

\noindent 1. $(A\subset B)\Rightarrow (\bar{B}\subset \bar{A}$)
(ҐЈ® ­ §лў ов Їап¬л¬ (Ё«Ё ­Ґ®Ўе®¤Ё¬л¬) г⢥তҐ­ЁҐ¬ Ё Ї®¬Ґз ов
бЁ¬ў®«®¬ $\Rightarrow$),

\noindent 2. $(A\subset B)\Leftarrow (\bar{B}\subset \bar{A}$)
(ҐЈ® ­ §лў ов ®Ўа в­л¬ (Ё«Ё ¤®бв в®з­л¬) г⢥তҐ­ЁҐ¬ Ё Ї®¬Ґз ов
бЁ¬ў®«®¬ $\Leftarrow$).

ЏаЁбвгЇЁ¬ Є ¤®Є § вҐ«мбвўг. $\Rightarrow$. …йҐ а § Ї®ўв®аЁ¬,
ЇаאַҐ г⢥তҐ­ЁҐ. „ ­®, зв® Ґб«Ё $a\in A$, в® ®Ўп§ вҐ«м­® $a\in
B$. ЌҐ®Ўе®¤Ё¬® Їа®ўҐаЁвм, зв® ў н⮬ б«гз Ґ Ё§ $b\notin B$ (в.Ґ.
$b\in\bar{B}$) ®Ўп§ вҐ«м­® ўл⥪ Ґв $b\notin A$ (в.Ґ.
$b\in\bar{A}$).

ЏаЁ¬Ґ­Ё¬ ¬Ґв®¤ а бб㦤Ґ­Ёп "®в Їа®вЁў­®Ј®". …Ј® б奬  ®б­®ўлў Ґвбп
­  ⮬, зв® ўбҐЈ¤  ўлЇ®«­пҐвбп ў в®з­®бвЁ ®¤­® Ё§ ¤ўге: Ё«Ё  )
$b\in A$, Ё«Ё Ў) $b\notin A$. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁҐ ® ўлЇ®«­Ґ­ЁЁ  )
ЇаЁў®¤Ёв Є Їа®вЁў®аҐзЁо. Џ®н⮬㠢믮«­пҐвбп Ў). ќв® Ё ­ §лў Ґвбп
¬Ґв®¤®¬ а бб㦤Ґ­Ёп "®в Їа®вЁў­®Ј®". ‡ ЇЁиҐ¬ ўбҐ Ї®бл«ЄЁ, Є®в®алҐ
¤®«¦­л Ўлвм ўлЇ®«­Ґ­л ЇаЁ ўлЇ®«­Ґ­ЁЁ  ):

-- Ёб室­®Ґ гб«®ўЁҐ: Ґб«Ё $a\in A$, в® ®Ўп§ вҐ«м­® $a\in B$,

-- гб«®ўЁҐ: $b\notin B$,

-- ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁҐ  ): $b\in A$.

Џ®«м§гпбм ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁҐ¬ Ё Ёб室­л¬ гб«®ўЁҐ¬ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®,
Ї®«гз Ґ¬ $b\in B$ -- Їа®вЁў®аҐзЁҐ б гб«®ўЁҐ¬ $b\notin B$. ’.Ґ.
ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁҐ ® ўлЇ®«­Ё¬®бвЁ  ) ЇаЁўҐ«® Є Їа®вЁў®аҐзЁо. ‡­ зЁв
Ёб室­®Ґ гб«®ўЁҐ Ё гб«®ўЁҐ $b\notin B$ ®Ўп§ вҐ«м­® ў«ҐЄгв $b\notin
A$. ќв® Ё вॡ®ў «®бм гбв ­®ўЁвм ЇаЁ ¤®Є § вҐ«мб⢥ ЇаאַЈ®
г⢥তҐ­Ёп.

„®Є § вҐ«мбвў® ®Ўа в­®Ј® г⢥তҐ­Ёп Їа®ў®¤Ёвбп  ­ «®ЈЁз­®.
‡ ЇЁиҐ¬ ҐЈ® Є®а®вЄ®. $\Leftarrow$. „ ­®: $\bar{B}\subset \bar{A}$,
$a\in A$. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬ $a\notin B$. ’®Ј¤  Ї® ЇҐаў®¬г гб«®ўЁо
$a\notin A$ --- Їа®вЁў®аҐзЁҐ б® ўв®ал¬ гб«®ўЁҐ¬. Џ®н⮬г
ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁҐ ­ҐўҐа­®, в.Ґ. $\bar{B}\subset \bar{A}$, $a\in A$
ў«ҐзҐв $a\in B$, зв® Ё вॡ®ў «®бм ¤®Є § вм. $\rhd$

‚ ¤ «м­Ґ©иҐ¬ ®д®а¬«Ґ­ЁҐ ¤®Є § вҐ«мбвў  Ўг¤Ґ¬ § ЇЁблў вм Ї®
ў®§¬®¦­®бвЁ Ў®«ҐҐ Є®а®вЄ®.

{\bf 1. ‚ҐйҐб⢥­­лҐ зЁб« .}

Ѓг¤Ґ¬ ®Ў®§­ з вм ¬­®¦Ґбвў® ­ вга «м­ле зЁбҐ« бЁ¬ў®«®¬ $\NN$, 楫лҐ
зЁб«  --- бЁ¬ў®«®¬ $\ZZ$, а жЁ®­ «м­лҐ зЁб«  --- бЁ¬ў®«®¬ ${\cal
Q}$, ўҐйҐб⢥­­лҐ зЁб«  --- бЁ¬ў®«®¬ $\RR$. ЏаЁўҐ¤Ґ¬ ҐйҐ ®¤­®
а бб㦤Ґ­ЁҐ, ¤Ґ¬®­бваЁаго饥 ¬Ґв®¤ ¤®Є § вҐ«мбвў  "®в Їа®вЁў­®Ј®":
Їа®ўҐаЁ¬, зв® Є®аҐ­м $x=\sqrt{2}$ га ў­Ґ­Ёп $x^2-2=0$ ­Ґ ¬®¦Ґв
Ўлвм а жЁ®­ «м­л¬ зЁб«®¬. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬ ®Ўа в­®Ґ $\sqrt{2}=p/q$, Ј¤Ґ
$p,q\in\NN$ ­Ґ Ё¬Ґов ®ЎйЁе ¬­®¦ЁвҐ«Ґ©, Ё ЇаЁ¤Ґ¬ Є Їа®вЁў®аҐзЁо.
„Ґ©б⢨⥫쭮, Ґб«Ё $\sqrt{2}=p/q$, в® $p^2=2q^2\ \Rightarrow p$
--- зҐв­®, $p=2p_1$, $p_1\in\NN$, $(2p_1)^2=2q^2$, $2(p_1)^2=q^2\
\Rightarrow q$ --- зҐв­® Ё Їа®вЁў®аҐзЁҐ Ї®«г祭®, в.Є. ў®ЇаҐЄЁ
ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёо $p$ Ё $q$ Ё¬Ґов ®ЎйЁ© ¬­®¦ЁвҐ«м 2. ‡­ зЁв
ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­ЁҐ ® ў®§¬®¦­®бвЁ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­Ёп зЁб«  $\sqrt{2}$
а жЁ®­ «м­л¬ зЁб«®¬ ­ҐўҐа­®.

Њ­®¦Ґбвў® ўҐйҐб⢥­­ле зЁбҐ« ®Ў« ¤ Ґв б«Ґ¤гойЁ¬Ё бў®©бвў ¬Ё:

{ \bf 1. ‘ў®©бвў® гЇ®а冷祭­®бвЁ}. „ў  «оЎле ўҐйҐб⢥­­ле зЁб« 
$a$ Ё $b$ 㤮ў«Ґвў®апов ®¤­®¬г Ё в®«мЄ® ®¤­®¬г Ё§ ваҐе ᮮ⭮襭Ё©
$$a<b,\ a=b\ {\rm Ё«Ё}\ a>b;$$ ЇаЁ н⮬, Ґб«Ё $a<b$, $b<c$, в®
$a<c$. ‡ ЇЁбм $a\leqslant b$ ®§­ з Ґв, зв® «ЁЎ® $a=b$, «ЁЎ® $a<b$.
‘®®в­®иҐ­Ёп $a<b$, $a\leqslant b$, $a>b$, $a\geqslant b$
­ §лў овбп ­Ґа ўҐ­бвў ¬Ё. ЌҐа ўҐ­бвў  $a<b$, $a>b$ ­ §лў овбп
бва®ЈЁ¬Ё.

{ \bf 2. ‘ў®©бвў  ®ЇҐа жЁЁ б«®¦Ґ­Ёп}.

„«п «оЎ®© Ї ал ўҐйҐб⢥­­ле зЁбҐ« $a$ Ё $b$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­®, Ё ЇаЁв®¬
Ґ¤Ё­б⢥­­л¬ ®Ўа §®¬, зЁб«®, ­ §лў Ґ¬®Ґ Ёе б㬬®© Ё ®Ў®§­ з Ґ¬®Ґ
$a+b$, в Є зв® ЇаЁ н⮬ ўлЇ®«­повбп

2 . Є®¬¬гв вЁў­®бвм б«®¦Ґ­Ёп: $a+b=b+a$ ¤«п «оЎле $a,b\in\RR$.

2Ў.  бб®жЁ вЁў­®бвм б«®¦Ґ­Ёп: $(a+b)+б=a+(b+c)$ ¤«п «оЎле
$a,b,c\in\RR$.

2ў. бгйҐбвў®ў ­ЁҐ 0: Ё¬ҐҐвбп н«Ґ¬Ґ­в 0, 㤮ў«Ґвў®апойЁ© а ўҐ­бвўг
$a+0=a$ ¤«п «оЎ®Ј® $a\in\RR$.

2Ј. бгйҐбвў®ў ­ЁҐ Їа®вЁў®Ї®«®¦­®Ј® н«Ґ¬Ґ­в : ¤«п «оЎ®Ј® $a\in\RR$
Ё¬ҐҐвбп $-a$, 㤮ў«Ґвў®апойЁ© а ўҐ­бвўг $a+(-a)=0$.

2¤. Ґб«Ё $a<b$, в® $a+c<b+c$ ¤«п «оЎ®Ј® $c\in\RR$.

„«п «оЎ®© Ї ал ўҐйҐб⢥­­ле зЁбҐ« $a$ Ё $b$ ўҐ«ЁзЁ­  $a+(-b)$
­ §лў Ґвбп Ёе а §­®бвмо Ё ®Ў®§­ з Ґвбп $a-b$.

{ \bf 3. ‘ў®©бвў  ®ЇҐа жЁЁ г¬­®¦Ґ­Ёп}.

„«п «оЎ®© Ї ал ўҐйҐб⢥­­ле зЁбҐ« $a$ Ё $b$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­®, Ё ЇаЁв®¬
Ґ¤Ё­б⢥­­л¬ ®Ўа §®¬, зЁб«®, ­ §лў Ґ¬®Ґ Ёе Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ¬ Ё
®Ў®§­ з Ґ¬®Ґ $ab$, в Є зв® ЇаЁ н⮬ ўлЇ®«­повбп

3 . Є®¬¬гв вЁў­®бвм г¬­®¦Ґ­Ёп: $ab=ba$ ¤«п «оЎле $a,b\in\RR$.

3Ў.  бб®жЁ вЁў­®бвм г¬­®¦Ґ­Ёп: $(ab)б=a(bc)$ ¤«п «оЎле
$a,b,c\in\RR$.

3ў. бгйҐбвў®ў ­ЁҐ 1: Ё¬ҐҐвбп н«Ґ¬Ґ­в 1, 㤮ў«Ґвў®апойЁ© а ўҐ­бвўг
$a\cdot 1=a$ ¤«п «оЎ®Ј® $a\in\RR$.

3Ј. бгйҐбвў®ў ­ЁҐ ®Ўа в­®Ј® н«Ґ¬Ґ­в : ¤«п «оЎ®Ј® $a\in\RR$, $a\neq
0$, Ё¬ҐҐвбп $1/a$, 㤮ў«Ґвў®апойЁ© а ўҐ­бвўг $a\cdot(1/a)=1$.

3¤. Ґб«Ё $a<b$, в® $ac<bc$ ¤«п «оЎ®Ј® $c>0$. …б«Ё ¦Ґ $c<0$, в®
$ac>bc$.

„«п «оЎ®© Ї ал ўҐйҐб⢥­­ле зЁбҐ« $a$ Ё $b\neq 0$ ўҐ«ЁзЁ­ 
$a(1/b)$ ­ §лў Ґвбп з бв­л¬ ®в ¤Ґ«Ґ­Ёп $a$ ­  $b$ Ё ®Ў®§­ з Ґвбп
$a/b$.

{ \bf 4. ‘ўп§м ®ЇҐа жЁ© б«®¦Ґ­Ёп Ё г¬­®¦Ґ­Ёп}.

„ЁбваЁЎгвЁў­®бвм г¬­®¦Ґ­Ёп ®в­®бЁвҐ«м­® б«®¦Ґ­Ёп: $(a+b)c=ac+bc$
¤«п «оЎ®© ва®©ЄЁ ўҐйҐб⢥­­ле зЁбҐ« $a$, $b$, $c$.

{ \bf 5. ‘ў®©бвў® ЂаеЁ¬Ґ¤ }.

„«п «оЎ®Ј® $a\in\RR$ ­ ©¤Ґвбп $n\in\ZZ$ в Є®Ґ, зв® $n>a$.

{ \bf 6. ‘ў®©бвў® ­ҐЇаҐалў­®бвЁ ўҐйҐб⢥­­ле зЁбҐ«}.

‘Ёб⥬  зЁб«®ўле ®в१Є®ў
$[a_1,b_1],[a_2,b_2],\dots,[a_n,b_n],\dots$ ­ §лў Ґвбп бЁб⥬®©
ў«®¦Ґ­­ле ®в१Є®ў, Ґб«Ё $a_1\leqslant a_2\leqslant\dots\leqslant
a_n\leqslant\dots\leqslant b_n\leqslant\dots\leqslant b_2\leqslant
b_1$.

{\it ЏаЁ­жЁЇ ў«®¦Ґ­­ле ®в१Є®ў} ({\it ЇаЁ­жЁЇ ­ҐЇаҐалў­®бвЁ
Љ ­в®а }). „«п «оЎ®© бЁбвҐ¬л ў«®¦Ґ­­ле ®в१Є®ў ­ ©¤Ґвбп е®вп Ўл
®¤­® зЁб«®, Є®в®а®Ґ ЇаЁ­ ¤«Ґ¦Ёв ўбҐ¬ ®в१Є ¬ ¤ ­­®© бЁб⥬л.

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 1}. Џгбвм § ¤ ­  бЁб⥬  ®в१Є®ў
$[a_n,b_n]$, $n=1,2,\dots$. ѓ®ў®апв, зв® ¤«Ё­  ®в१Є®ў
$[a_n,b_n]$ бв६Ёвбп Є ­г«о б ў®§а бв ­ЁҐ¬ $n=1,2,\dots$, Ґб«Ё
$$\forall\varepsilon >0\ \exists n_{\varepsilon}\in\NN\ :\ \forall
n>n_{\varepsilon}, n\in\NN \Rightarrow |b_n-a_n|<\varepsilon.$$

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  1}. $/\{[a_n,b_n]\}_{n=1}^{\infty}$ ---
бЁб⥬  ў«®¦Ґ­­ле ®в१Є®ў, Ї® ¤«Ё­Ґ бв६пйЁебп Є
­г«о$/\\\Rightarrow\ \exists ! \ x\ :$ $x\in [a_n,b_n]\ \forall
n\in\NN$.

\noindent $\lhd$: (ЏаЁ­жЁЇ ў«®¦Ґ­­ле ®в१Є®ў) $\Rightarrow$
$\exists x\in\RR:\ x\in [a_n,b_n]\ \forall n\in\NN$. Џа®ўҐаЁ¬, зв®
¤агЈ®Ј® в Є®Ј® зЁб«  ­Ґв. ‚®бЇ®«м§гҐ¬бп ¬Ґв®¤®¬ ¤®Є § вҐ«мбвў  "®в
Їа®вЁў­®Ј®". ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬ $\exists y\in\RR:\ y\in [a_n,b_n]\
\forall n\in\NN$, $y\neq x$ Ё ЇаЁ©¤Ґ¬ Є Їа®вЁў®аҐзЁо. ЋЎ®§­ зЁ¬
$\varepsilon_0=|x-y|>0$. ’ Є Є Є $x,y\in [a_n,b_n]$, в®
$$\varepsilon_0=|x-y|\leqslant |b_n-a_n|,\quad n\in\NN.\eqno
(\ast)$$ Џ® ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ­Ёо $\varepsilon_0>0$, §­ зЁв, Ї®
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо 1) ­ ©¤Ґвбп $n_0\in\NN:\ \forall n>n_{0},\ n\in\NN
\Rightarrow |b_n-a_n|<\varepsilon_0$ --- Їа®вЁў®аҐзЁв $(\ast)$:
$$\varepsilon_0=|x-y|\leqslant |b_n-a_n|<\varepsilon_0,$$ Ґб«Ё $
n>n_{0}, n\in\NN$. Џ®«г祭­®Ґ Їа®вЁў®аҐзЁҐ ¤®Є §лў Ґв ⥮६г.
$\rhd$

€­®Ј¤  ¤«п Ё§®Ўа ¦Ґ­Ёп ўҐйҐб⢥­­ле зЁбҐ« ЁбЇ®«м§го⠯।бв ў«Ґ­Ёп
ў ўЁ¤Ґ ЎҐбЄ®­Ґз­ле ¤ҐбпвЁз­ле ¤а®ЎҐ©: в Є, ­ ЇаЁ¬Ґа, $x\in[0,1)$
§ ЇЁблў ов ў ўЁ¤Ґ $(0,\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_n\dots)$, Ј¤Ґ
Є ¦¤®Ґ $\alpha_n$ --- ®¤­  Ё§ жЁда 0, 1, \dots, 9; ЇаЁ н⮬ Ё¬Ґов
ў ўЁ¤г, зв® $$x\in [c_n,c_n+1/10^n),\quad
c_n=0,\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_n,$$ ЇаЁ «оЎ®¬ $n\in\NN$. ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬, $c_n$ --- а жЁ®­ «м­лҐ зЁб« , $n\in\NN$,
$\{[c_n,c_n+1/10^n]\}_{n=1}^{\infty}$ -- бЁб⥬  ў«®¦Ґ­­ле
®в१Є®ў, ¤«Ё­  ®в१Є®ў $[c_n,c_n+1/10^n]$ бв६Ёвбп Є ­г«о б
ў®§а бв ­ЁҐ¬ $n=1,2,\dots$.

{\bf Џ®­пвЁҐ дг­ЄжЁЁ}.

\noindent Ѓг¤Ґ¬ гЇ®вॡ«пвм ўла ¦Ґ­ЁҐ "Їгбвм $f(x)$ -- дг­ЄжЁп
ЇҐаҐ¬Ґ­­®Ј® $x$", Ї®¤а §г¬Ґў п Ї®¤ нвЁ¬, зв® § ¤ ­л

-- ¬­®¦Ґбвў® $X$, ­ §лў Ґ¬®Ґ ®Ў« бвмо ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп $f$. ЏҐаҐ¬Ґ­­ п
$x$ ЇаЁ­Ё¬ Ґв бў®Ё §­ зҐ­Ёп Ё§ $X$; ®­  ­ §лў Ґвбп ­Ґ§ ўЁбЁ¬®©
ЇҐаҐ¬Ґ­­®©.

-- ¬­®¦Ґбвў® $Y$, ­ §лў Ґ¬®Ґ ®Ў« бвмо §­ зҐ­Ё© $f$. ЏҐаҐ¬Ґ­­ п
$y=f(x)$ ЇаЁ­Ё¬ Ґв бў®Ё §­ зҐ­Ёп ­  $Y$; ®­  ­ §лў Ґвбп § ўЁбЁ¬®©
ЇҐаҐ¬Ґ­­®©.

-- б®Ўб⢥­­® ᮮ⢥вбвўЁҐ $f$, Є®в®а®Ґ Є ¦¤®¬г $x\in X$
б®Ї®бв ў«пҐв, Ё ЇаЁзҐ¬ Ґ¤Ё­б⢥­­л¬ ®Ўа §®¬, н«Ґ¬Ґ­в $y=f(x)\in
Y$.

Љ®а®вЄ® нв® § ЇЁблў Ґвбп в Є: $f:\ X\to Y$. ‚ Є зҐб⢥ $X$ ЇҐаў®Ґ
ўаҐ¬п Ўг¤гв ўлбвгЇ вм «ЁЎ®  ) Їа®Ё§ў®«м­лҐ зЁб«®ўлҐ Їа®¬Ґ¦гвЄЁ
(Є®­Ґз­лҐ Ё«Ё ЎҐбЄ®­Ґз­лҐ), «ЁЎ® Ў) Є®­Ґз­лҐ ®ЎкҐ¤Ё­Ґ­Ёп зЁб«®ўле
Їа®¬Ґ¦гвЄ®ў, «ЁЎ® ў) ­ вга «м­лҐ зЁб« . ‚ Ї®б«Ґ¤­Ґ¬ б«гз Ґ ў¬Ґбв®
в®Ј® зв®Ўл бЄ § вм, зв® Ё¬ҐҐвбп дг­ЄжЁп, § ўЁбпй п ®в ЇҐаҐ¬Ґ­­®Ј®
$n$, ЇаЁ­Ё¬ о饣® ­ вга «м­лҐ §­ зҐ­Ёп, Ј®ў®апв, зв® § ¤ ­ 
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$. …б«Ё $X_1\subset X$,
$X_1\neq X$, в® § ЇЁбм $f|_{X_1}$ ®§­ з Ґв ®Ја ­ЁзҐ­ЁҐ Ёб室­®©
дг­ЄжЁЁ $f$, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®© ­  $X$, ­  Ї®¤¬­®¦Ґбвў® $X_1$. ЏаЁ н⮬
ЇаЁ­пв® а §«Ёз вм дг­ЄжЁЁ $f$ Ё $f|_{X_1}$ Ё бзЁв вм, зв® б
§ ¤ ­ЁҐ¬ $f$ § ¤ ­л Ё ўбҐў®§¬®¦­лҐ $f|_{X_1}$.

— бв® б ¬г дг­ЄжЁо ®Ў®§­ з ов ®¤­®© ЎгЄў®© $f$ Ё«Ё $f(\cdot)$,  
зҐаҐ§ $f(x)$ --- ҐҐ §­ зҐ­ЁҐ ­  н«Ґ¬Ґ­вҐ $x$.

…б«Ё $Y\subset\RR$, в® ®Ўлз­® Ј®ў®апв, зв® § ¤ ­  зЁб«®ў п дг­ЄжЁп
Ё«Ё, ᮮ⢥вб⢥­­®, зЁб«®ў п Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм. Ќ ¤ зЁб«®ўл¬Ё
дг­ЄжЁп¬Ё ¬®¦­® Їа®Ё§ў®¤Ёвм а §«Ёз­лҐ  аЁд¬ҐвЁзҐбЄЁҐ ®ЇҐа жЁЁ.
’ Є, Ґб«Ё дг­ЄжЁЁ $f$ Ё $g$ § ¤ ­л ­  ®¤­®¬ Ё ⮬ ¦Ґ ¬­®¦Ґб⢥
$X$, $c\in\RR$, в® дг­ЄжЁЁ $c f$, $f+g$, $f g$ ®ЇаҐ¤Ґ«повбп Є Є
зЁб«®ўлҐ дг­ЄжЁЁ, § ¤ ­­лҐ ­  $X$, Ё ЇаЁ­Ё¬ ойЁҐ, ᮮ⢥вб⢥­­®,
§­ зҐ­Ёп $c f(x)$, $f(x)+g(x)$, $f(x) g(x)$ ­  Є ¦¤®¬ н«Ґ¬Ґ­вҐ
$x\in X$. …б«Ё Є ⮬㠦Ґ $g(x)\neq 0$ ¤«п ўбҐе $x\in X$, в® $f/g$
­  Є ¦¤®¬ н«Ґ¬Ґ­вҐ $x\in X$ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Є Є $f(x)/g(x)$.

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 2}. —Ёб«®ў п дг­ЄжЁп $f$, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­ п
­  $X$, ­ §лў Ґвбп {\it ®Ја ­ЁзҐ­­®© ᢥаег ­  $X$}, Ґб«Ё
$$\exists A\in\RR :\ \forall x\in X\Rightarrow f(x)\leqslant A.$$
…б«Ё ¦Ґ $\exists A\in\RR :\ \forall x\in X\Rightarrow
f(x)\geqslant A$, в® нв  дг­ЄжЁп ­ §лў Ґвбп {\it ®Ја ­ЁзҐ­­®©
б­Ё§г ­  $X$}. —Ёб«®ў п дг­ЄжЁп $f$ ®Ја ­ЁзҐ­­ п ­  ¬­®¦Ґб⢥ $X$
Є Є ᢥаег, в Є Ё б­Ё§г ­ §лў Ґвбп Їа®бв® {\it ®Ја ­ЁзҐ­­®© ­ 
$X$}.

ѓа дЁЄ®¬ дг­ЄжЁЁ $f:\ X\to Y$, $X\subset\RR$, $Y\subset\RR$,
­ §лў Ґвбп ¬­®¦Ґбвў® $$\Gamma(f)=\{(x,f(x)):\ x\in X\}$$ в®зҐЄ ­ 
Ї«®бЄ®бвЁ.

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 3} (ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ ў в®зЄҐ $x_0$).
Џгбвм зЁб«®ў п дг­ЄжЁп $f$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  $(a,b)\subset\RR$, Єа®¬Ґ
Ўлвм ¬®¦Ґв в®зЄЁ $x_0\in (a,b)$. —Ёб«® $A\in\RR$ ­ §лў Ґвбп
ЇаҐ¤Ґ«®¬ дг­ЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x_0$, Ґб«Ё ¤«п «оЎ®Ј® зЁб« 
$\varepsilon>0$ ­ ©¤Ґвбп зЁб«® $\delta=\delta(\varepsilon)>0$
в Є®Ґ, зв® ¤«п ўбҐе $x$, 㤮ў«Ґвў®апойЁе гб«®ўЁп¬
$0<|x-x_0|<\delta$ ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў® $|f(x)-A|<\varepsilon$.
Љ®а®вЄ® нв® § ЇЁблў Ґвбп в Є: $$A=\lim_{x\to
x_0}f(x)\quad\Leftrightarrow\quad \forall\varepsilon>0 \
\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0\ \forall x:\ 0<|x-x_0|<\delta
\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 4} (ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ ў Ї«об
ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ $+\infty$). Џгбвм $f:(a,+\infty)\to\RR$. —Ёб«®
$A\in\RR$ ­ §лў Ґвбп ЇаҐ¤Ґ«®¬ $f$ ў ЎҐбЄ®­Ґз­® г¤ «Ґ­­®© в®зЄҐ,
Ґб«Ё ¤«п «оЎ®Ј® $\varepsilon>0$ ­ ©¤Ґвбп $M=M(\varepsilon)\in\RR$,
в Є®Ґ зв® ¤«п $x>M$ ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў®
$|f(x)-A|<\varepsilon$. Љ®а®вЄ®: $$A=\lim_{x\to
+\infty}f(x)\quad\Leftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0 \
\exists M=M(\varepsilon)\in\RR\ \forall x:\ x>M\ \Rightarrow
|f(x)-A|<\varepsilon.$$

Ђ­ «®ЈЁз­® ¤ Ґвбп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ ў ¬Ё­гб
ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ $-\infty$. „ ¤Ё¬ ҐйҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ЇаҐ¤Ґ« 
Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ:

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 5} (ЇаҐ¤Ґ«  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ). —Ёб«®
$a\in\RR$ ­ §лў Ґвбп ЇаҐ¤Ґ«®¬ зЁб«®ў®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ
$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$, Ґб«Ё ¤«п «оЎ®Ј® $\varepsilon>0$ ­ ©¤Ґвбп
$M=M(\varepsilon)\in\NN$ в Є®Ґ, зв® ¤«п ўбҐе $n\in\NN$,
㤮ў«Ґвў®апойЁе гб«®ўЁо $n>M$, ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў®
$|a_n-a|<\varepsilon$, Ё Є®а®вЄ®: $$a=\lim_{n\to \infty}a_n
\quad\Leftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0 \ \exists
M=M(\varepsilon)\in\NN :\ \forall n\in\NN,\ n>M\ \Rightarrow
|a_n-a|<\varepsilon.$$

ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп 3-5 ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ Ё Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ Ё­®Ј¤ 
­ §лў ов ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ ЇаҐ¤Ґ«  ў вҐа¬Ё­ е нЇбЁ«®­--¤Ґ«мв .

%{\bf ‹Ґ¬¬  1}. /$X\subset\RR$, $x_0\in X$, $f:\ X\to \RR$,
%$\exists\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$/ $\Rightarrow\ \exists\delta
%>0$: $f(\cdot)$ ®Ја ­ЁзҐ­  ­  ¬­®¦Ґб⢥ $\{x:\ x\in X,
%0<|x-x_0|<\delta\}$.
%
%$\lhd$ ЋЎ®§­ зЁ¬ $A=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ Ё ў®§м¬Ґ¬
%$\varepsilon=1$. €§ (Def 3) б«Ґ¤гҐв, зв® $\exists\delta>0:$
%$\forall x\in X$, $0<|x-x_0|<\delta$ $\Rightarrow$ $|f(x)-A|<1$.
%Џ®н⮬㠤«п $x\in X$, $0<|x-x_0|<\delta$ ўлЇ®«­повбп ­Ґа ўҐ­бвў 
%$$-1+A<f(x)<1+A,$$ зв® Ё ®§­ з Ґв г⢥তҐ­ЁҐ «Ґ¬¬л. $\rhd$