Учебники, методички / Ряды. Кратные интегралы. Теория поля / t03

\section*{‹ҐЄжЁп 3.}

‡­ Є®ЇҐаҐ¬Ґ­­лҐ ап¤л. ЂЎб®«ов­ п Ё гб«®ў­ п б室Ё¬®бвЁ. ЏаЁ§­ Є
‹Ґ©Ў­Ёж . ‘ў®©бвў   Ўб®«ов­® б室пйЁебп а冷ў.

„® бЁе Ї®а ¬л, ў ®б­®ў­®¬, Ё§гз «Ё ап¤л, б®бв ў«Ґ­­лҐ Ё§
­Ґ®ваЁж вҐ«м­ле б« Ј Ґ¬ле. ђ бᬮваЁ¬ ⥯Ґам ®ЎйЁҐ ап¤л, з бвм
Є®в®але б®бв®Ёв Ё§ Ї®«®¦ЁвҐ«м­ле б« Ј Ґ¬ле,   ¤агЈ п -- Ё§
®ваЁж вҐ«м­ле. ’ ЄЁҐ ап¤л ­ §лў ов §­ Є®ЇҐаҐ¬Ґ­­л¬Ё.\\ ’Ґ®аҐ¬  1.
/$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- зЁб«®ў®© ап¤,
$\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$ -- б室пйЁ©бп ап¤/ $\Rightarrow$
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ -- б室Ёвбп.\\ „®Є § вҐ«мбвў®. ђ бᬮваЁ¬
ўбЇ®¬®Ј вҐ«м­л© ап¤ $$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+|u_n|).\eqno (1)$$
„«п ҐЈ® з«Ґ­®ў ўлЇ®«­Ґ­л ­Ґа ўҐ­бвў  $0\leqslant(u_n+|u_n|)
\leqslant 2|u_n|$. Џ® гб«®ўЁо ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty} 2|u_n|)$
б室Ёвбп. Џ®н⮬г, Ї® ЇаЁ§­ Єг ба ў­Ґ­Ёп а冷ў б ­Ґ®ваЁж вҐ«м­л¬Ё
з«Ґ­ ¬Ё, б室Ёвбп Ё ап¤ (1). €б室­л© ¦Ґ ап¤ ¬®¦Ґв, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
Ўлвм § ЇЁб ­ ў ўЁ¤Ґ а §­®бвЁ б室пйЁебп а冷ў
$$\sum_{n=1}^{\infty}u_n=\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+|u_n|)-
\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$$ Ё, б«Ґ¤®ў вҐ«м­®, Ґбвм ап¤
б室пйЁ©бп.\\ ‡ ¬Ґз ­ЁҐ. ЋЎа в­®Ґ, ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап, ­ҐўҐа­®. ’ Є,
ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1n$ а б室Ёвбп (Ј а¬®­ЁзҐбЄЁ© ап¤),
  ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}n$ пў«пҐвбп б室пйЁ¬бп.
Џ®§¦Ґ ¬л ҐйҐ ўҐа­Ґ¬бп Є ў®Їа®бг ® б室Ё¬®бвЁ Ї®б«Ґ¤­ҐЈ® ап¤ .\\
ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ. ђп¤ ­ §лў Ґвбп  Ўб®«ов­® б室пйЁ¬бп, Ґб«Ё б室Ёвбп
Є Є б ¬ ап¤, в Є Ё ап¤, б®бв ў«Ґ­­л© Ё§ ¬®¤г«Ґ© ҐЈ® з«Ґ­®ў. ђп¤
­ §лў Ґвбп гб«®ў­® б室пйЁ¬бп, Ґб«Ё б室Ёвбп б ¬ ап¤,   ап¤,
б®бв ў«Ґ­­л© Ё§ ¬®¤г«Ґ© ҐЈ® з«Ґ­®ў, а б室Ёвбп.\\ ЏаЁ¬Ґа®¬
 Ўб®«ов­® б室п饣®бп ап¤  пў«пҐвбп ап¤
$$1-1/2+1/4-1/8+1/16-1/32+\dots=\sum_{n=1}^{\infty} (-2)^{-n}.$$
ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ. ђп¤ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n$, ¤«п Є®в®а®Ј®
$u_n\geqslant 0$, ­ §лў Ґвбп §­ Є®зҐаҐ¤гойЁ¬бп. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ¤«п
§­ Є®зҐаҐ¤го饣®бп ап¤  бв®пйЁҐ а冷¬ б« Ј Ґ¬лҐ Ё¬Ґов
Їа®вЁў®Ї®«®¦­лҐ §­ ЄЁ.\\ ’Ґ®аҐ¬  2 (ЇаЁ§­ Є ‹Ґ©Ў­Ёж ).
/$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n$ -- §­ Є®зҐаҐ¤гойЁ©бп
($0\leqslant u_n$) ап¤, $u_{n+1}\leqslant u_n$, $n\in\NN$,
$\lim_{n\to\infty}u_n=0$/ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}
(-1)^{n-1}u_n$ -- б室Ёвбп.\\ „®Є § вҐ«мбвў®. ђ бᬮваЁ¬ з бвЁз­лҐ
б㬬л $S_{2m}$ ап¤  зҐв­®Ј® Ї®ап¤Є  Ё § ЇЁиҐ¬ а ўҐ­бвў®:
$$S_{2m}=S_{2m-2}+(u_{2m-1}-u_{2m}).$$ Џ® гб«®ўЁп¬ ⥮६л
$u_{2m-1}-u_{2m}\geqslant 0$, в.Ґ. Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм $S_{2m}$
­ҐгЎлў Ґв: $S_{2m-2}\leqslant S_{2m}$. Ља®¬Ґ в®Ј®,
$$S_{2m}=u_1-(u_2-u_3)-(u_4-u_5)-\dots-
(u_{2m-2}-u_{2m-1})-u_{2m}\leqslant u_1,$$ в.Ґ. Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм
$S_{2m}$ ®Ја ­ЁзҐ­ : $S_{2m}\leqslant u_1$. Џ®н⮬㠮­  Ё¬ҐҐв
ЇаҐ¤Ґ«: $\lim_{m\to\infty}S_{2m}=S$. Ќ® $S_{2m+1}=S_{2m}+u_{2m+1}$
Ё, §­ зЁв, $$\lim_{m\to\infty}S_{2m+1}=\lim_{m\to\infty}S_{2m}+
\lim_{m\to\infty}u_{2m+1}=S+0=S.$$ ’Ґ¬ б ¬л¬, ¬л Ї®Є § «Ё, зв®
$\lim_{n\to\infty}S_{n}=S$ -- ап¤ б室Ёвбп.\\ ЏаЁ¬Ґа: ап¤
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}n$ 㤮ў«Ґвў®апҐв гб«®ўЁп¬
⥮६л 2 Ё, §­ зЁв, пў«пҐвбп б室пйЁ¬бп.\\ ЏҐаҐзЁб«Ё¬ ­ҐЄ®в®алҐ
Ё§ бў®©бвў  Ўб®«ов­® б室пйЁебп а冷ў:\\ ’Ґ®аҐ¬  3.
/$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ --  Ўб®«ов­® б室пйЁ©бп ап¤, $c$ --
зЁб«®/ $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}c\cdot u_n$ --  Ўб®«ов­®
б室пйЁ©бп ап¤.\\ „«п ¤®Є § вҐ«мбвў  ­Ґ®Ўе®¤Ё¬® Їа®ўҐаЁвм
б室Ё¬®бвм ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}|c\cdot u_n|$, Є®в®а п
нЄўЁў «Ґ­в­  б室Ё¬®бвЁ ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$. Џ®б«Ґ¤­Ё©
¦Ґ ап¤ б室Ёвбп Ї® гб«®ўЁо ⥮६л.\\ ’Ґ®аҐ¬  4.
/$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$, $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ -- ¤ў 
 Ўб®«ов­® б室пйЁебп ап¤ / $\Rightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+
v_n)$ --  Ўб®«ов­® б室пйЁ©бп ап¤.\\ „®Є § вҐ«мбвў®. Џа®ўҐаЁ¬
б室Ё¬®бвм ап¤  $\sum_{n=1}^{\infty}|u_n+ v_n|$. ‘®Ј« б­® ЄаЁвҐаЁо
б室Ё¬®бвЁ ­Ґ®ваЁж вҐ«м­®Ј® ап¤  ¤«п нв®Ј® ¤®бв в®з­® Їа®ўҐаЁвм
®Ја ­ЁзҐ­­®бвм ҐЈ® з бвЁз­ле б㬬. Ќ ЇЁиҐ¬ ­Ґа ўҐ­бвў®
$$\sum_{k=1}^{n}|u_k+v_k|
\leqslant\sum_{k=1}^{n}(|u_k|+|v_k|)=S_n+T_n,$$ Ј¤Ґ $S_n,\ T_n$ --
$n$-лҐ з бвЁз­лҐ б㬬л б室пйЁебп Ї® гб«®ўЁо ⥮६л а冷ў
$\sum_{k=1}^{n}|u_k|$ Ё $\sum_{k=1}^{n}|v_k|$. ‘®Ј« б­® ⮬㠦Ґ
ЄаЁвҐаЁо б室Ё¬®бвЁ, $S_n$ ®Ја ­ЁзҐ­л ­ҐЄ®в®ал¬ зЁб«®¬ $S$, $T_n$
-- ­ҐЄ®в®ал¬ зЁб«®¬ $T$. Џ®н⮬г
$$\sum_{k=1}^{n}|u_k+v_k|\leqslant S+T,$$ зв® Ё ¤®Є §лў Ґв
⥮६г.

ЏаЁўҐ¤Ґ¬ ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў  ҐйҐ ­ҐбЄ®«мЄ® бў®©бвў б室пйЁебп
а冷ў.\\ 1. ђп¤, б®бв®пйЁ© Ё§ ­г«Ґўле з«Ґ­®ў, ЎҐ§гб«®ў­® пў«пҐвбп
б室пйЁ¬бп Ё ¤ ¦Ґ  Ўб®«ов­®. Ћ­ ¬®¦Ґв Ўлвм ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ ў ўЁ¤Ґ
$$0+0+0+\dots+0+\dots= (1-1)+(1-1)+(1-1)+\dots+(1-1)+\dots$$ …б«Ё
ў н⮬ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁЁ ®ЇгбвЁвм бЄ®ЎЄЁ, в® Ї®«гзЁвбп а б室пйЁ©бп
ап¤ $$1-1+1-\dots+(-1)^{n+1}+\dots$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ¤«п
Їа®Ё§ў®«м­ле а冷ў ў ўла ¦Ґ­ЁЁ
$$(u_1+v_1)+(u_2+v_2)+(u_2+v_2)+\dots+(u_n+v_n)+\dots$$ ў®®ЎйҐ
Ј®ў®ап ®ЇгбвЁвм бЄ®ЎЄЁ ­Ґ«м§п. Ћ¤­ Є®, Ґб«Ё е®вп Ўл ®¤Ё­ Ё§ а冷ў
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ Ё«Ё $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ б室Ёвбп, в®
бЄ®ЎЄЁ ¬®¦­® ®ЇгбвЁвм.\\ 2. Њл 㦥 §­ Ґ¬, зв® ап¤
$$1-1/2+1/3-1/4+1/5-\dots+(-1)^{n-1}/n+\dots=\ln 2\eqno (2)$$
пў«пҐвбп б室пйЁ¬бп. ЏҐаҐбв ўЁ¬ ҐЈ® з«Ґ­л в Є, зв®Ўл §  ¤ўг¬п
Ї®«®¦ЁвҐ«м­л¬Ё 襫 ®¤Ё­ ®ваЁж вҐ«м­л© (ЇаЁ н⮬ Ї®а冷Є
Ї®«®¦ЁвҐ«м­ле з«Ґ­®ў ®бв Ґвбп ЇаҐ¦­Ё¬, в® ¦Ґ ¤«п ®ваЁж вҐ«м­ле):
$$1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+1/13+1/15-1/8+\dots\eqno
(3)$$ ќв®в ап¤ ¬®¦­® Ї®«гзЁвм, б«®¦Ёў ап¤ (2) Ё б室пйЁ©бп ап¤
$$(1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\frac 15-\dots+\frac
{(-1)^{n-1}}n+\dots)/2= 0+\frac 12+0-\frac 14+0+\frac 16+0-\frac
18+0+\frac 1{10}+0+\dots$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ап¤ (3) б室Ёвбп Є
$\frac 32\ln 2$ Ё б®бв ў«Ґ­ Ё§ вҐе ¦Ґ б« Ј Ґ¬ле, зв® Ё ап¤ (2),
ў§пвле ў Ё§¬Ґ­Ґ­­®¬ Ї®ап¤ЄҐ. ќв® ®§­ з Ґв, зв® ў ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ
®бгйҐбвў«пвм ЎҐбЄ®­Ґз­го ЇҐаҐбв ­®ўЄг з«Ґ­®ў Їа®Ё§ў®«м­®Ј® ап¤ 
­Ґ«м§п -- в Є п ®ЇҐа жЁп ¬®¦Ґв Ё§¬Ґ­Ёвм б㬬г ап¤ . ‚ в® ¦Ґ ўаҐ¬п,
Ґб«Ё ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$  Ўб®«ов­® б室Ёвбп, в® «оЎ п
ЇҐаҐбв ­®ўЄ  з«Ґ­®ў ап¤  ¤®ЇгбвЁ¬  -- б㬬  ЇҐаҐбв ў«Ґ­­®Ј® ап¤ 
в Є п ¦Ґ, Є Є Ё Ёб室­®Ј®.\\ 3. ђ бᬮваЁ¬ ®ЇҐа жЁо г¬­®¦Ґ­Ёп
а冷ў $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$, $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$. ђп¤
$\sum_{n=1}^{\infty}w_n$ Ўг¤Ґ¬ ­ §лў вм Ёе Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ¬, Ґб«Ё
$$w_n=\sum_{k=1}^{n} u_k\cdot v_{n+1-k}.$$ …б«Ё ап¤л
$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$, $\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ б室пвбп
 Ўб®«ов­® Ё $S$, $T$ -- Ёе б㬬л, в® ап¤ $\sum_{n=1}^{\infty}w_n$
в Є¦Ґ  Ўб®«ов­® б室Ёвбп Ё $S\cdot T$ -- ҐЈ® б㬬 .