Билет 1:

Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве натуральных чисел

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x  N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y₁, y₂,…, y_n,…. Значения y₁, y₂, y₃,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

билет 2: Определение. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество значений ее элементов ограничено сверху (снизу). Определение. Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной

билет 3:

Монотонные последовательностиОпределение. Последовательность {xn} называется возрастающей, если для всех номеров n имеем xn < xn+1; неубывающей, если для всех номеров n имеем xn ≤ xn+1; убывающей, если для всех номеров n имеем xn > xn+1; невозрастающей, для всех номеров n имеем xn ≥ xn+1. Теорема Больцано – ВейерштрассаМонотонно возрастающая (убывающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность должна иметь предел. Действительно. В этом случае для возрастающей последовательности должна существовать такая точка ξ , для которой а) справа нет ни одной точки последовательности, б) слева от неё в любой как угодно малой окрестности существует бесконечно много членов последовательности. Если справа от точки ξ попалась хотя бы одна точка последовательности, то из-за возрастания последовательности справа от точки ξ будет бесконечно много членов числовой последовательности. Тогда это должна быть другая точка η > ξ и так далее. Если всё - таки такой точки не будет, то это приведёт к противоречию с требованием ограниченности последовательности. Так как в сколь угодно малой окрестности точки ξ (хотя бы слева) есть бесконечное число точек последовательности, то эта точка ξ является пределом этой последовательности. Если слева было бы конечное число точек последовательности и бесконечно справа, то это была бы другая точка ξ, что приводит опять к противоречию об ограниченности последовательности. Существует другая формулировка теоремы Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Билет 4:

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений. В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

билет 5: Бесконечно малая (последовательность) — последовательность, которая стремится к нулю. Бесконечно большая (послед.) — последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака

Билет 6:

Свойства Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.СвойстваАрифметические свойстваОператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений. Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует(в листочек смотрите1) Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела. (в листочке2)Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует. ( в листочке3)Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой. (в листочке 4)Свойства сохранения порядкаЕсли все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа. Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности. Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа. Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности. Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй. Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения). Другие свойстваСходящаяся числовая последовательность имеет только один предел. Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел. Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу. Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.Имеет место теорема Штольца.Если у последовательности xn существует предел, то последовательность средних арифметических имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).