Определение

Преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова векторного пространства   — это линейное преобразование  , сохраняющее индефинитное скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов   выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено индефинитное скалярное произведение   в псевдоевклидовом пространстве  .

Аналогично, преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова аффинного пространства — это аффинное преобразование, сохраняющее расстояние между точками этого пространства.

Билет 13:

Следствия из преобразований Лоренца :

1. Относительность расстояний.

Движущиеся относительно наблюдателя тела сокращаются в размерах в направлении своего движения. Этот релятивистский эффект носит название лоренцево сокращение. В направлениях перпендикулярных к направлению движения размеры тел остаются неизменными.

Инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца называется величина, называемая интервалом между двумя событиями, пространственное расстояние между которыми L12 и которые происходят в моменты времени t1 и t2.

Понятие интервала между событиями является обобщением понятий промежутка времени и расстояний между точками.

 

2. Относительность промежутков времени.

Как мы уже писали на http://phyzika.ru Промежуток времени между двумя последовательными событиями зависит от выбора системы отчета. Движущиеся часы относительно покоящегося наблюдателя идут медленнее, чем покоящиеся.

По Ньютону, если два события происходят одновременно, то это будет одновременно для любой системы отсчета (время абсолютно). Эйнштейн задумался, как доказать одновременность?

       Возьмем два источника света на Земле А и В (рис. 8.4).

  Рис. 8.4

       Если свет встретится на середине АВ, то вспышки для человека, находящегося на Земле, будут одновременны. Но со стороны пролетающих мимо космонавтов со скоростью  υ  вспышки не будут казаться одновременными, т.к.  c = const. Рассмотрим это более подробно.

       Пусть в системе k (на Земле) в точках x₁ и x₂ происходят одновременно два события в момент времени  t₁ =  t₂ = t. Будут ли эти события одновременны в k' (в пролетающей мимо ракете)?

       Для определения координат в k' воспользуемся преобразованиями Лоренца:

	,	(8.4.1)
	,	(8.4.2)

       В соответствии с преобразованиями Лоренца для времени в системе k' получим:

	,	(8.4.3)
	,	(8.4.4)

       Если события в системе k происходят одновременно в одном и том же месте  x₁ = x₂ , то и  x'₁ = x'₂ , т.е. и для k' эти события тоже одновременны.

       Таким образом, события будут абсолютно одновременны в системах k и k', если они происходят в один и тот же момент времени  t'₁ = t'₂  в одном и том же месте  x'₁ = x'₂ .

       Если же  x₁ ≠ x₂  в системе k, то из (8.4.1) и (8.4.2) видно, что  x'₁ ≠ x'₂  и в k'. Тогда из (8.4.3) и (8.4.4) следует, что события в системе  k'  не одновременны, т.е.  t'₁ ≠ t'₂ .

       Интервал времени между событиями в системе  k':

,

(8.4.5)

       Разница во времени будет зависеть от υ, и она может отличаться по знаку (ракета подлетает с той или другой стороны).

Пусть в точке х’, неподвижной относительно системы K’, происходит событие длящееся время  .Началу события соответствует в этой системе координата  и момент времени , концу события - координата  и момент времени  . Относительно системы K точка, в которой происходит событие, перемещается. Согласно преобразованиям Лоренца началу и концу события соответствуют в системе K’.

Откуда

или

Время  , отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называют собственным временем этого тела. Kак видно из уравнения, собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела.Релятивистский эффект замедления хода времени позволяет в принципе осуществить «путешествие в будущее» (но не в прошлое). В самом деле, пусть космический корабль, движущийся со скоростью   (где  ) относительно Земли, совершает перелет от Земли до некоторой звезды и обратно. Если свет проходит путь   от звезды до Земли за время  , то   и для земного наблюдателя продолжительность перелета равна:

Именно настолько постареют люди на Земле к моменту возвращения космонавтов. С другой стороны, по часам, установленным на космическом корабле, полет займет меньшее время  , которое:

В соответствии с принципом относительности все процессы на космическом корабле (в том числе и процесс старения космонавтов) идут так же, как и на Земле, но не по земным часам, а по часам, установленным на корабле. Пусть, например,  = 500 лет и   = 0,9999. Тогда

 лет, а   лет.

 Рассмотрим рисунок 8.5, на котором изображены две системы координат  k  и  k'.

  Рис. 8.5

       Пусть  l₀ = x'₂ – x'₂  – собственная длина тела в системе, относительно которого тело неподвижно (например: в ракете, движущейся со скоростью мимо неподвижной системы отсчета  k (Земля)). Измерение координат  x₁  и  x₂  производим одновременно в системе  k, т.е.  t₁ = t₂ = t.

       Используя преобразования Лоренца, для координат получим:

.

       Тогда

(8.4.6)

       Формулы (8.4.6) описывают лоренцево сокращение длин. Собственная длина тела есть максимальная длина. Длина движущегося тела короче, чем покоящегося. Причем сокращается только проекция на ось x, т.е. размер тела вдоль направления движения.

СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ЗАКОН

- определяет связь между значениямискорости материальной точки по отношению к разл. системам отсчёта, движущимсядруг относительно друга. В нерелятивистской физике, когда рассматриваютсяскорости, малые по сравнению со скоростью света с,справедлив законсложения скоростей Галилея:

где u и u' - скорости частицы в двух инерциалъных системах отсчётаК т К' соответственно (система К' движется относительно .со скоростью v). Если скорости движения близки к е, то ф-ла(1) неприменима и справедлив С. с. з. частной (специальной)относительноститеории:

где и  - проекции скорости частицы в системе  отсчёта К(К' )на направления параллельное и перпендикулярное кv.В пределе  и   ф-лы(2) переходят в (1). В случае, когда скорости и и v параллельны,(2) переписывается в виде 

Из ф-лы (3), в частности, следует, что если и = с, то и и'= с независимо от в, т. е. абс. величина скорости света не зависитот движения системы отсчёта. Тот же вывод справедлив, разумеется, и припроизвольном направлении скоростей, когда надо пользоваться ф-лой (2).

В случае неравномерных относит. движений двух систем отсчёта, а такжепри наличии тяготения (т. е. в случае общей теории относительности)все приведённые соотношения справедливы в локально сопутствующих инерциальныхсистемах отсчёта  , т. е. в таких бесконечно малых системах отсчёта, к-рые в данный моменти в данном месте неподвижны относительно рассматриваемых систем К кК' соответствепно и в к-рых в этот момент нет сил ускорения и нет вращенияи деформаций, т. е. они локально инерциальны.