2/ Дайте определения траектории точки и уравнения движения её.

Кривая, которую описывает точка при движении в пространстве относительно выбранной системы отсчета, называется ее траекторией.

Траектории делятся на прямолинейные (например, движение точек поршня двигателя) и криволинейные (круговые — движение точек шкива, круглой пилы; параболические — движение жидкости при истечении из отверстия в боковой стенке сосуда и др.

3.

Векторный способ задания движения точки

Скоростью точки называют вектор v , равный первой

производной по времени t от ее радиуса-вектора r , то есть от

векторной функции r(t):

Здесь использован принятый в механике символ диф-

ференцирования по времени в виде точки, расположенный над

дифференцируемой функцией.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории

точки в сторону ее движения

Ускорением точки называется вектор a , равный первой

производной по времени t от ее скорости v или второй

производной от ее радиуса-вектора r :

Координатный способ :

проекции , скорости точки v ( вектор) равны первым производным по времени от соответствующих координат точки

Естественный способ

Скорость точки v , направленная по касательной к

траектории, определяется одной проекцией , равной первой

производной по времени от криволинейной координаты s:

Вектор

имеет проекцию на

касательную, равную первой производной по времени от

проекции скорости или второй производной от координаты

s, и проекцию на нормаль , равную отношению квадрата

скорости к радиусу кривизны траектории в данной точке:

4. Твердое тело. В статике и вообще в теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. То есть предполагается, что эти тела не де­формируются, не изменяют свою форму и объем, какое бы действие на них не было оказано.

Существует несколько определений:

1. Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом. Иначе говоря, абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри.

2. Абсолютно твёрдое тело — механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.

3. Абсолютно твёрдое тело — тело (система), взаимное положение любых точек которого не изменяется, в каких бы процессах оно ни участвовало.

Таким образом, положение абсолютно твердого тела полностью определяется, например, положением жестко привязанной к нему декартовой системы координат (обычно ее начало координат делают совпадающим с центром масс твердого тела).

5.

Поступательное движение – такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Теорема: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси – такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными.Ось вращения остается неподвижной.

6.

Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени  ω = dφ/dt = f' (t).

Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости  ε = dω/dt = f'' (t).

7.

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины   и   имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора  , направленного вдоль оси вращения. При этом

.

Направле ние   совпадает с направлением  , когда тело вращается ускоренно и (рис.14,а), противоположно   при замедленном вращении 

8.

а) Равномерное вращение - вращение с постоянной угловой скоростью

(w = const):

  ,  ,   .

Пусть при t = 0: j = 0, тогда С = 0 и мы получаем следующее уравнение или закон равномерного вращения:

  . (2.33)

в) Равнопеременное вращение - это вращение с постоянным угловым ускорением (e = const):

  ,  ,   ,

  ,  ,  

  .

Пусть при t = 0: w = w0 и j0 = 0, тогда С1 = w0 , C2 = 0. Подставляя найденные значения констант интегрирования в полученные выше выражения, получаем:

  , (2.34)

  . (2.35)

В полученном законе изменения угловой скорости (2.34) и в уравнении равнопеременного вращения (2.35), угловое ускорение e будет положительным при равноускоренном вращении и отрицательным при равнозамедленным.

В заключение приведем вполне очевидные соотношения, которые часто используются при решении задач:

  ,   (2.36)

где N - число оборотов, n - угловая скорость в оборотах в минуту.

9.

Возьмем в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси, некото­рую точку  , находящуюся на расстоянии    от оси вращения. При вращении тела точка   движется по окружности радиуса    (рис. 2.12, б). Поэтому при пово­роте тела на угол    точка    окажется на расстоянии    от своего на­чального положения. Дифференцируя это равенство по времени, получим

  .

 Таким образом,

  ,

 т. е. скорость любой точки вращающегося тела равна произведению расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость. Так как скорость    направлена по касательной к окружности, по которой движется точка  , а касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то вектор    скорости любой точки вращающегося тела направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку    и ось вращения. Ускорение точки    складывается из касательной и нормальной составляющих. Касательная составляющая ускорения направлена по одной прямой со скоростью и в ту же сторону, что и скорость, если движение уско­ренное, и в противоположную сторону, если движение замедленное.

  . (2.36)

 Нормальная составляющая ускорения направлена от точки    к оси вращения. Так как радиус кривизны в данном случае равен радиусу окружности, которую описывает точка, то по формулам (2.22) и (2.25)

   

 10.

Плоскопараллельным (или  плоским ) называется такое  движение   твердого   тела , при, котором все его  точки  перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28).  Плоское   движение  совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного  движения  является вращательное  движение   твердого   тела  вокруг неподвижной оси.