31.Преобразование подобия.
Преобразование подобия. Говорят, что матрицы А и В подобны, если существует невырожденная матрица Р (матрица подобия) такая, что В = Р~1АР. Само преобразование матрицы А к виду В = Р~1АР называется преобразованием подобия. Преобразование подобия матрицы возникает естественным образом как результат замены переменных (или перехода к новому базису) в пространстве m-мерных векторов.
Важно то, что и полученная в результате преобразования подобия матрица имеет тот же набор собственных чисел.
32. Матрица Хессенберга.
33. Метод Хаусхолдера
Метод Хаусхолдера позволяет привести матрицу к трехдиагональному виду, выполнив почти вдвое меньше вычислений по сравнению с другими методами. Это обусловлено тем, что при его применении становятся нулевыми сразу все элементы строк и столбцов, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод Хаусхолдера позволяет получить требуемый результат быстрее, чем метод Гивенса, так как связан с выполнением меньшего числа, хотя и более сложных преобразований. Это его свойство особенно ярко проявляется применительно к большим матрицам.
Аk = РkAk-1Рk, k=1, 2, ..., п-2,
где Aо == А.
Каждая преобразующая матрица имеет вид
uk ukT
Pk = E - -------------- ,
2Kk2
где
ui,k = 0 при i = 1, 2, …, k,
ui,k = ak,i при i = k+2, …, n,
uk+1,k = ak,k+1 Sk.
Здесь
n 1/2
Sk = a2k,i
i=k+1
2K2k = S2k ak, k+1 Sk.
34 Задача и методы интерполяции.Методы Лагранжа и Ньютона
Интерполяция многочленами
На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).
Линейная интерполяция
Интерполяционная формула Ньютона
Метод конечных разностей
Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен)
По схеме Эйткена
Сплайн-функция
Билет 35. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.
В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.
Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:
где базисные полиномы определяются по формуле:
lj(x) обладают следующими свойствами:
являются многочленами степени n
lj(xj) = 1
lj(xi) = 0 при
Билет 36.Интерполяционная формула Ньютона.
Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.
Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что xi + 1 − xi = h = const, то есть xi = x0 + ih, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.
Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).