1.

Пусть даны мн-ва х и у. Если каждому элементу  мн-ва Х соответствует единственный элемент у из мн-ва У, то говорят, что задана ф-ция.

Если мн-ва Х и У – некоторые числовые мн-ва, то ф-цию называют числовой. у=f(х), где х- аргумент (независимая переменная), у – функция.

Мн0во Х называют область определения, т.е. область определения ф-ции – это мн-во, каждый элемент кот-го м.б. значением переменной х.

Мн-во значений ф-ций – это мн-во всех тех значений, кот-е принимает переменная у.

Рассмотрим основные способы задания ф-ций:

1. аналитический – если ф-ция задана припомощи 1ой или нескольких формул. Формула: у=х в квадрате.

2. графический. Т.е. дан график ф-ции. Графический способ нагляден, он дает возможность упростить изучение св-в ф-ции.

3. табличный. Для отдельных значений аргумента даю точные знач-я ф-ции. Это позволяет видеть как изменяется знач-е ф-ции в зависимости от изменения аргумента. Недостаток – неизвестно определина ли ф-ция в промежутках м-ду указанными значениями аргумента. И если определена, то сему равны е1ё значения.

4. словесный способ. – словесное описание закона соответствия м-ду элементами м-ва Х и У. Иногда для таких ф-ций вводят специалшьное обозначение.  у=[х].

Основные св-ва ф-ции:

1) ф-ция у=f(х) называется возрастающей на промежутке  [а,в], если болшему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение ф-ции.

2) ф-ция у= f(х) назыв-ся убывающей на промежутке [а,в], если болльшему знач-ю аргумента из этого промежутка соответствует меньшее знач-е ф-ции.

3) если ф-ция на всей области определения или возрастает или убывает. её называют монотонной.

4) ф-ция у= f(х) назыв-ся четной, если область её определения есть мн-во симметричное относительно нуля и для любого х из области определения выполняются равенство: f(-х)=f(х) (т.е. с изменением аргумента на противоположное число, знач-е ф-ции не меняется)

5) ф-ция у= f(х) назыв-ся нечетной, если область её определения есть мн-во симметричное относительно нуля и для любого х из области определения выполняются равенство: f(-х)= - f(х) (т.е. с изменением аргумента на противоположное число, знач-е ф-ции т.ж. меняется на противоположное число)

6) ф-ция у= f(х) назыв-ся периодической с периодом Т, если f(х+Т)= f(х - Т)= f(х)

Прямая пропорциональная зависимость явл-ся частным случаем линейной ф-ции вида у=кх , где к – угловой коэффициент прямой.

Св-ва: 1- Д(f): хЄR (область определения)

2- т.к. f(х)=кх, то f(- х)= - кх =>  ф-ция нечётная

3- если к>0, то ф-ция возрастает, если к<0, то ф-ция убывает

4- графиком явл-ся прямая, проходящая через начало координат. к=tg угла альфа.

Некоторые величины, рассматриваемые в нач. шк., находятся в прямой пропорциональной зависимости. Н-р: расстояние и время при постоянной скорости; или скорость и расстояние при постоянном времени  S=vt; количество и стоимость при постоянной цене.

Ф-ция вида y=k/х, где к не равно нулю, называется обратно пропорциональной зависимостью.

Св-ва: 1. Д(f): х не равно 0 (область определения)

2. Е(f): у не равно 0 – множество значений, т.к. к не равно 0.

3. Т.К. f(- х)=к/ -х = - к/х= - f(х), то ф-ция нечетная.

4. графиком ф-ции явл-ся гипербола.

Н-р: величины, находящиеся в обратной пропорциональной связи: скорость и t при постоянном расстоянии; цена и количество при постоянной стоимости.

Задачи с пропорциональными величинами  начинаются с изучения простых задач. Берется тройка взаимосвязанных величин: цена, количество, стоимость.

Задачи на нахождение 4 пропорционального: В этих задачах рассматривается 3 величины связанных прямой или обратно-пропорциональной зависимостью. Из них две величины переменные, а одна постоянная. При этом даны два значения одной величины и одно из соответствующих значений второй переменной, а второе значение этой переменной величины является искомым в зад.

Используя 3 в-ны, связанные пропорциональной зависимостью можно выделить 6 видов задач на нахождение 4 пропорционального: 1-4 – прямая пропорциональная; 5-6 – обратная пропорциональная зависимость.

Каждую из этих 6-ти задач можно решить способом нахождения значения постоянной величины, т.е. снач найти значение пост. величины, а затем – искомую. В виде моделей используются только таблицы.

При изучении данного вида задачи сначала ведется подготовительная раб, затем на этапе введения задачи детям показывают как в табл записываются усл задачи. На третьем этапе дети закрепляют умение решать данного вида задач, делая вывод.

в задачах на пропорциональное деление включают 2 переменные величины, связанных пропорциональной зависимостью и одну или две постоянных. Причем даны 2 или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений др переменной, слагаемое этой суммы и явл-ся искомым. В нач курсе мат-ки зад на пропорц-ное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

1 этап – подготовительный. На нем необходимо сформировать у мл.школьников твердое умение  решать зад. на нахождение 4-го пропорц-ного.

2 этап – введение. На этом этапе работа строится следующим образом: Школьникам на доске предлагается краткая запись. Учитель просит школьников составить зад по данной записи (таблице).

Цена одинаковая. Количество 6 шт. и 8 шт. Стоимость 18 р. и ?

Решают задачу.

Затем учитель на доске исправляет запись и просит школьников составить таблицу.

Цена одинаковая. Количество 6 шт. и 8 шт. Стоимость ? и ?, но всего 42 р.

Для того, чтобы школьникам было легче работать с новой задачей учитель задает следующие вопросы:

Что требуется узнать в задаче; что значит каждый уплатил одинаковое количество; можно ли узнать сразу сколько уплатил первый покупатель и почему;

Можно ли узнать цену одной тетради , почему нельзя; Можно ли сразу узнать сколько купили тетрадей на 42 руб и почему можно; Что узнаем 1,2,3 и 4м действием?

На этапе введения задачи решение записывается в форме отдельных действий с пояснениями. Школьники решают задачи, кот-е даются в уже готовом виде. При этом учитель должен научить школьников:

1) расчленять вопрос задачи на 2 вопроса

2) выяснить, которое из искомых чисел д.б. больше и почему. рассуждая обычно идут от вопроса к данным.

проверка решения выполняется способом установления соответствия между числами, полученными в ответе и данными.

3 этап – закрепление. На этом этапе происходит обобщение способа решать данного вида задачи.

Подход – это ориентация учителя или руководителя образовательного учреждения при осуществлении своих действий, побуждающая к использованию определенной совокупности взаимосвязанных понятий, идей и способов педагогической деятельности.

Основная идея деятельностного подхода в воспитании связана с деятельностью как средством становления и развития субъектности ребенка, т.е. в процессе и результате использования форм, приемов и методов воспитательной работы рождается человек, способный выбирать, оценивать, программировать.

Сущность деятельностного подхода в самой форме д.п. означает организацию и управление учебно – воспитательной деятельностью ученика в общем контексте его жизнедеятельности – направленности интересов, жизненных планов ценностных ориентаций, понимание смысла обучения и воспитания, личностного опыта в интересах становления субъектности школьника. Д.п. в воспитании реализуется в русле ключевой идеи современной педагогики о необходимости преобразования воспитанника из преимущественно объекта учебно – воспитательного процесса в его субъект.

Воспитание при этом понимается  как восхождение к субъектности.

Деятельность – это особая форма активности, в результате реализации которой осуществляется преобразование включенности в деятельность, преобразование самой деятельности и того, кто действует, т.е. субъекта деят-ти.

Взаимодеятельность – одна из целостных и существенных характеристик воспитания в контексте Д.п. Она представляет и описывает совместную деятельность воспитанников, их общение как форму деятельности в качестве условия, средства, цели, движущей силы и сути воспитания.

Духовная деятельность – наиболее неразработанная и неосмысленная в полной мере научным сознанием форма внутренние деятельности. Эта деятельность направлена на осмысление явлений окружающей и внутренней действительности.

Целеполагание – обосновывает правомерность выделения «полагания» как необходимого вида деятельности как для воспитателя, так и для воспитанника. Воспитанник не просто исполнитель – он субъект деятельности.

Смыслосозидающая деятельность представляет специфическое для Д.п. определение воспитания  как процесса смыслообразующего, самоопределения в мире деятельностей.

Для мл. школьников ведущим типом деят-ти становится учебная. Поэтому воспитательные методы сосредоточены в уч. деят-ти. Результат уч. деят-ти ребенка – это изменение самого ученика, его развитие.

Отношения м-ду детьми в классе строятся через учителя, поэтому на первый план выступают методы организации коллектива: коллективные единые требования, коллективное самоуправление, соревнования и т.д. Актуальными для мл. школьников выступают методы повседневного общения, делового, товарищеского уважения детской личности, Педагогические требования: убеждение, доверие, побуждение, сочувствие и т.п.  Особое место в системе методов воспит занимают труд совместно со взрослыми и деятельность на благо людей.

УСЛОВНЫЙ РЕФЛЕКС — рефлекс, образующийся при сближении во времени любого первоначально индифферентного раздражителя с последующим действием раздражителя, вызывающего безусловный рефлекс. Термин У. р. предложен И. П. Павловым. В результате образования У. р. раздражитель, прежде не вызывавший соответствующей реакции, начинает ее вызывать, становясь сигнальным (условным, т. е. обнаруживающимся при определенных условиях) раздражителем. Различают два вида У. р.: классические, получаемые по указанной методике, и инструментальные (оперантные).

******************

2.

Понятие множество (мн-во) явл-ся основным неопределяемым понятием. Оно чаще всего поясняется на примерах. В разговорной речи заменяется понятиями: коллекция, группа и т.д. Объекты, входящие в мн-во, называют его элементами. Мн-во обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы – малыми буквами лат. алф. (аЄА)

Объединение мн-в А и В называется м-во, элементы кот-го принадлежат хотябы одному из мн-в А или В. (АUВ).

Свойства объединений мн-в:

1.АU пустое мн-во = А

2. АUВ = ВUА (коммунитативный закон объединения мн-в)

3. (АUВ)UС = АU(ВUС) (ассоциативный закон объединения мн-в)

Рассмотрим случай, когда В явл-ся подмножеством мн-ва А. В этом Случае разности АВ называют дополнением к множеству (подмножеству) В до множества А.

Рассмотрим совокупность конечных мн-в. Введем на этой совокупности отношение «быть равномощными», это отношение обладает св-вами:

1) рефлексивности (А~А)

2) симметричности (А~В=>В~А)

3) транзитивности (А~В∩В~С=>А~С)

Следовательно, отношение «быть равномощным», заданное на совокупности конечных мн-в явл-ся отношением эквивалентности и => разбивает совокупность конечных мн-в  на непересекающиеся классы эквивалентности.

В каждый класс попадают мн-ва разной природы, но все они будут обладать одними и теми же св-вами – они имеют одинаковое кол-во элементов. Это св-во и называют натуральным числом.

Натуральное (натур.) число – это общее св-во класса непустых, конечных, равномощных м-ду собой мн-в.

а=n(A) – число а задано мн-вом А.

0 = n(φ) – ноль – кол-во элементов пустого мн-ва.

N – мн-во натур. чисел.

Теоретико-множественный смысл целых неотриц. чисел (сложение).

Пусть число а задано мн-вом А, в – мн-вом В, и эти м-ва не пересекаются.

Суммой цел.неотриц. чисел а и в назовем такое цел.неотриц. число, кот-е выражает кол-во элементов, объединение непересекающихся м-в А и В.

а=n(А), в=n(В), А∩В= пустое мн-во.

а+в=с = n(АUВ)

Сумма 2х цел.неотриц. чисел всегда существует и единственна

Св-ва сложений:

1. (Любое а,вЄ м-ву цел.неотриц. чисел) а+в=в+а (Для любых цел.неотриц. чисел а,в выполняется коммутативный закон)

2. (Любое а,в,сЄ м-ву цел.неотриц. чисел) (а+в)+с = а+(в+с) (ассоциативный закон)

3. (Любое а Є м-ву цел.неотриц. чисел) а+0=а (существует нейтральный элемент)

4. (Любое а,в,сЄ м-ву цел.неотриц. чисел) а = в <=> а+с = в+с (св-во сократимости).

Теретико-множественный смысл разности цел.неотриц чисел.

Пусть число а задано мн-вом А, в – мн-вом В.

1)Разностью цел.неотриц. чисел а и в назовем такое цел.неотриц число с, кот-е выражает кол-во элементов в дополнении к подмножеству В до мн-ва А

2) Разностью цел.неотриц. чисел а и в назовем такое цел.неотриц число с, что выполняется равенство: в+с= а.

Рассмотрим правила вычитания:

1. а-(в+с) = (а-в)-с = (а-в)-с (правило вычитания суммы из числа)

2. (а+в)-с = а-с+в = а+(в-с) (правило вычитания числа из суммы)

3. а-(в-с) = (а-в)+с = (а+с)-в (правило вычитания разности из числа)

Докажем правило №1.

а-(в+с) = (а-в)-с Левую часть равенства обозначим буквой а-(в+с) = t.

По второму определению разности а = t+(в+с). По коммутативному и ассоциативному законам сложения: а = (t+с)+в.

По второму определению разности: t+с = а-в

=> по второму определению разности t = (а-в)-с

Задачи делятся на: сюжетные, текстовые арифметические.

Текстовая задача – описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную хар-ку к-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения м-ду её компонентами или определить  вид этого отношения.

Текстовая задача (определение для детей) – это текст, состоящий из условия и требования (вопроса), кот-е взаимосвязаны.

Ф-ции: 1. обучающая, 2. практическая, 3. развивающая, 4. расширение кругозора, 5. воспитывающая, 6. расчетная, 7. прогностическая (с помощью решения зад. делается прогноз результатов каких-то действий, операций).

Задачи на нахождение «+» и  «-» явл-ся первыми задачами, с кот-ми встречаются дети, поэтому работа над ними связана с дополнительными трудностями: учащиеся знакомятся с зад., её частями, овладевают некоторыми общими приемами работы над задачей. Задачи на нахождение «+» и «-» вводятся одновременно, т.к. одновременно вводятся действия «+» и «-» и в противопоставлении лучше формируются.

Подготовкой к решению зад. явл-ся  выполнение операций над множествами. при ознакомлении с решением зад. лучше первые задачи предлагать не в готовом виде, а составлять их вместе с детьми. Далее вводится решение готовых задач сначала под руководством учителя, а потом самостоятельно. Первоклассники часто затрудняются вычленять  из зад. числовые данные и вопрос. Так, повторяя задачу, они включают в качестве данных ответ или сразу называют ответ, не осмыслив соответствующих действий. Поэтому необходимо позаботиться о формировании у детей  общего приема работы над задачей. Прежде всего учитель читает зад, учащиеся воспринимают её в целом. При повторном чтении они выкладывают на партах цифры, обозначающие числовые данные. Далее ученики объясняют, что показывает каждое число и называют вопрос. Здесь происходит осмысление связи м-ду данным и искомым. Затем учащимся предлагается представить то, о чем говорится в задаче и рассказать как они представили , что должно привести детей к правильному выбору соответствующего арифметического действия. Теперь можно предложить учащимся провести соответствующие рассуждения и назвать действие, которым решается задача, выполняют его устно или записывают в тетради. Далее формулируют ответ и записывают. У учащихся вырабатывается общее умение решать задачи, используя «памятки»: 1)известно... 2)надо узнать... 3)объясняю... 4)решаю... 5)ответ... Для закрепления умения решать простые зад. на «+» и «-» надо включить достаточное число упражнений на самостоятельное решение учащихся таких задач. Подготовкой к введению зад на нахождение неизвестных слагаемых, уменьшаемых и вычитаемых, служит знание конкретного смысла действий «+» и «-» и умение решать простые зад на нахождение «+» и «-». Зад. на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, выражения в прямой форме вводятся одновременно, сразу же после рассмотрения зад. на нахождение «+» и «-» (этапы одинаковые).

По определению Асмолова, деятельность представляет собой динамическую саморазвертывающуюся иерархическую систему взаимодействий Субъекта с миром, в процессе которого происходит порождение психического образа, воплощение его в объекте. Деятельность ребенка качественно изменяется  в ходе разв-я, представляя третью наряду с умственными, личностную линию

этого сложного пути становления человека. Эльконин  последовательно рассмотрел изменение предметного действия ребенка в раннем детстве, отличает изменение не только социальной ситуации развития, но и самого предметного действия. В игре, учебе деятельность ребенка совершенствуется в плане осознания, целенаправленности, установки произв-го отношения м-ду мотивами и целями, усложнения операции стороны д-ти. В процессе разв-я ребенка формируется прежде всего умение произвольно устонавливать отношения между мотивом (тем ради чего выполняется деятельность) и целью (тем, что должно быть получено в результате деятельности). Ребенок научается планировать, организовывать, соподчинять свои действия, варьировать операции (способы) деятельности. В более сложных действиях вывдигается последовательность операций, обрабатывается обобщенный способ действия, затем в роевых играх, следуя правилам действия, ребенок принимается и проигрывает определенную роль. У ребенка вырабатываются навыки самоконтроля и саморегуляции на основе становленияспособности отражать цели, действия, способы их осуществления, т.е. на основе предметной рефлексии. В процессе развития ребенка как субъекта деятельности, формирующего целенаправленность, производится саморегулятивность, четкое разграничение способов, приемов действий для решения разных задач в различных жизненных ситуациях. Анализ основных положений психических процессов развития ребенка, показывает, что:

а)все рассмотренные линии взаимосвязаны; б) развитие происходит под воздействием социальной среды, общности в определенной системе развития; в) развитие человека происходит в его взаимодействии с др. людьми, в деятельности, в процессе обучения и воспитания.

Основная цель правительственной стратегии модернизации образования в достижении нового качества образования  - качества, отвечающего новым социально – экономическим условиям России и основным направлениям её развития. Основным результатом образования должна стать не система ЗУНов, а набор заявленных государственных ключевых компетенций, общественно-политических информаций и т.д., для достижения этого результата в аспекте содержания образования направления- современные образовательные технологии, в том числе здоровьесберегающие – сохранение и поддержка индивид. ребенка, концепция существующих «входных различий». 1кл – спец. организованные вхождения первоклассников в учебный процесс, модернизация содержания и методов обучения, направленных на побуждение и поддержку  инициатив во всех видах деят-ти; становление соц. и коммуникативных компетентностей.

Модернизация образования предполагает ориентир не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на разв-е его личности его познавательной и созидательной способностей.

Авторский коллектив образовательной системы «шк 2100» сформулировали задачи современного образования:

1)формирование способности человека к самостоятельному выходу за пределы собственной компетентности для поисков способов действия в новых ситуациях. Одним из средств, обеспечивающим эти изменения явл-ся разработка учебников и учебных изданий, кот-е должны давать не только конкретные знания, но и учить активно пользоваться содержащейся в них информацией для решения тех или иных проблем.

2)важно формировать у учащихся компетентность в решении проблем, т.е. способность ставить и решать определенные типы рациональных задач. Поэтому в рамках образовательной системы 2100 при изучении нового материала используют проблемно – диалогический метод преподавания.

3)важнейшую роль в подготовке человека будущего играет коммуникативная компетентность В 2100 риторика явл-ся обязательным предметом.

4)необходимо учить школьников пользоваться теми знаниями, кот-ми они обладают. Поэтому в учебниках 2100 так много заданий творческого харакиера.

В образовательной системе за последнее 10-тилетие произошли  некоторые изменения. Главная – тотальный монолит унифицированной советской школы был расколот реальным и законодательным. Введение права на вариативное образование. И у учителей и у родителей  появилась возможность выбора, зародились и встали на ноги авторские школы, окрепло движение учителей – новаторов, оформляются новые образовательные технологии. Базовым звеном образовательной реформы явл-ся реформы общеобразовательных школ. Реформирование школ предполагает решение ряда системных задач, в первую очередь затрагивающих нормативно – правовой аспект

3Понятие мн-ва явл. Неопре деляемым. Это понятие чаще док-ся на примерах.В речи понятие мн-во заменяется словами «колекция» «группа»

Объекты, входящие в мн-во, наз-ся элементами. Мн-ва бывают конечными и бесконечными.Мн-во обозна чается заглавными буквами,а его эл-т – малыми. Декартовым произв мн-в АиВ наз-ся мн-во упорядоченных пар(а,в),таких, что первый принадлежит А, а второтй – В.

А×В={а,в / а€А; в€В}

Свойства:1)А×В≠В×А, ав≠ва  2)А(ВС)=(АВ)С  3)(АUB)×C=(A×C)U(B×C)дистрибутивный з-н декартово умн. относит. объеденения. 4)(А∩В)×С=(А×С)∩(В×С)правосторониий дистрибутивный з-н декартово произв. относит. пересечения. 5)(АВ)×С=(А×С)(В×С)правосторонний дистрибутивный з-н декартово произв. относит. вычитания 6)С×(АUВ)=(С×А)U(С×В)левосторонний дистрибутивный з-н. умн. отн. обьеденения 7)С×(А∩В)=(С×А)∩(С×В)левосторонний  дистрибут з-н дек. умн. относит. пересечения 8)С×(А/В)=(С×А)(С×В) левосторониий дистрибут з-н умн. относит. вычитания.

(N и 0)Рассмотрим совокупность конечных мн-в.Введем на этой совокупности отношение быть равномочным-это отношение обладает св-вами: 1-рефлексивности, 2-симетричности, 3-транзитивности. Оттношение «быть равномощными» заданое на совокупности конечных мн-в, то оно явл. отношением эквивалентности и сототв. разбивает совокупность конечных мн-в. на непересекающиеся классы эквивалентности. В каждый класс попадут мн-ва разной природы, но все они будут обладать одним и тем же св-вом – они имеют одинаковое     кол-во эл-тов.Это св-во наз-ют натуральным числом. Опр.: Натур. число – это общее св-во класса не пустых конечных равномощных мн-в. Напр.:В класс, кот. определяет число 4 попадут такие мн-ва как {а в с d}, {# @ © ®} и т.д.

Произв. цел. неотр. чисел. а=n(A); в=n(В).  АиВ – любое. Определ.:Произведением целых нотр. а и в назовем такое целоте неотр. число с. кот. вражает кол-во эл-тов декартово произв АВ.

а×в=с=n(А×В) Произ целых неотр. чисел всегда существует и единственно.

С-ва: 1) (Ұа € N)a×0=0, 2) ) (Ұа € N)a×1=a, 3)  (Ұа € N)aв=ав, 4) ) (Ұа € N)(aв)с=а(вс)

4 Уравнения

Опр-1.Если соеденить два выражения с одной переменной, получим уравнение с одной переменной. Опр-2.Одноместный предикат вида f(х)=g(x) с областью определения х=х, (где f(х) и g(x) – выражения с переменной) называется уравнением с одной переменной. Опр-3. Корень ур-я , число, кот. при подстанотвке в ур-е, обращает его в истинное числовоте равенство.Решить ур-е значит найти мн-но его корней. Теорема-1.Пусть f(х)=g(x), х=х, h(х)-определено на мн-ве Х; если к обеем частям данного ур-я прибавить одно и тоже числовое выражение h(х), то получим              f(х)+h(х)=g(x)+h(х) равносильное данному. Теорема-2.Пусть f(х)=g(x), х=х, h(х)-определено на мн-ве Х; если к обе части данного ур-я домножить на  одно и тоже числовое выражение h(х), то получим              f(х)h(х)=g(x)h(х) равносильное данному. док-во-2  Пусть Т1 – мн-во котрней (1), Т2 – мн-во корней (2). Надо док-ть, Т1=Т2, где Т1принадлежитТ2ΛТ2 принадлежитТ1.  1)пусть Х0принадлежитТ1, то f(х0)=g(x0) истинное числовое равенство (h) – числовое выражение со смыслом. По св-ву числовых рав-в f(х0) h(х0)=g(x0) h(х0) истиное числовое равенство.   2) Аналагично Х1 принадлежит Т2 то f(х1) h(х1)=g(x1) h(х1). истиное числ рав-во. также истина f(х1) h(х1) 1/ h(х1) =g(x1) h(х1) 1/ h(х1)  следовательно Х1 явл. корнем для ур-я (1) т.е. Х1принадл. Т1 следоват.Т2принадл.Т1

 неравенства

Опр-1.Если соеденить два выражения с одной переменной знаком < или >, получим уравнение с одной переменной. Опр-2.Одноместный предикат вида f(х) < g(x) или f(х) > g(x)  с областью определения х=х, (где f(х) и g(x) – выражения с переменной) называется неравенством  с одной переменной. .Решить неравенство  значит найти мн-но его корней.

Теорема-1.Пусть f(х)>g(x), х=х, h(х)-определено на мн-ве Х; если к обеем частям данного ур-я прибавить одно и тоже числовое выражение h(х), то получим f(х)+h(х) > g(x)+h(х) равносильное данному. Теорема-2.Пусть f(х) >g(x), х=х, h(х) > 0; если к обе части данного ур-я домножить на  одно и тоже числовое выражение h(х), то получим              f(х)h(х) >g(x)h(х) равносильное данному.  док во такое же как у уравнений

3.Теоретико-множественное обоснование выбора действий при решении простых задач на умножение и деление. Индивидуальные особенности младших школьников. Достижение воспитательных целей при обучении младших школьников решению задач.Понятие мн-ва явл. неопре деляемым. Это понятие чаще док-ся на примерах.В речи понятие мн-во заменяется словами «колекция» «группа»

Объекты, входящие в мн-во, наз-ся элементами. Мн-ва бывают конечными и бесконечными.Мн-во обозна чается заглавными буквами,а его эл-т – малыми. Декартовым произв мн-в АиВ наз-ся мн-во упорядоченных пар(а,в),таких, что первый принадлежит А, а второтй – В.А×В={а,в / а€А; в€В}

Свойства:1)А×В≠В×А,ав≠ва;2)А(ВС)=(АВ)С;3)(АUB)×C=(A×C)U(B×C)дистрибутивный з-н декартово умн. относит. Объеденения;4)(А∩В)×С=(А×С)∩(В×С)правосторониий дистрибутивный з-н декартово произв. относит.пересечения. 5)(АВ)×С=(А×С)(В×С)правосторонний дистрибутивный з-н декартово произв. относит.вычитания;6)С×(АUВ)=(С×А)U(С×В)левосторонний дистрибутивный з-н. умн. отн. обьеденения 7)С×(А∩В)=(С×А)∩(С×В)левосторонний  дистрибут з-н дек. умн. относит. пересечения 8)С×(А/В)=(С×А)(С×В) левосторониий дистрибут з-н умн. относит. вычитания.(N и 0)Рассмотрим совокупность конечных мн-в.Введем на этой совокупности отношение быть равномочным-это отношение обладает св-вами: 1-рефлексивности, 2-симетричности, 3-транзитивности. Оттношение «быть равномощными» заданое на совокупности конечных мн-в, то оно явл. отношением эквивалентности и сототв. разбивает совокупность конечных мн-в. на непересекающиеся классы эквивалентности. В каждый класс попадут мн-ва разной природы, но все они будут обладать одним и тем же св-вом – они имеют одинаковое     кол-во эл-тов.Это св-во наз-ют натуральным числом. Опр.: Натур. число – это общее св-во класса не пустых конечных равномощных мн-в. Напр.:В класс, кот. определяет число 4 попадут такие мн-ва как {а в с d}, {# @ © ®} и т.д.Произв. цел. неотр. чисел. а=n(A); в=n(В).  АиВ – любое. Определ.:Произведением целых нотр. а и в назовем такое целоте неотр. число с. кот. вражает кол-во эл-тов декартово произв АВ.а×в=с=n(А×В) Произ целых неотр. чисел всегда существует и единственно.С-ва: 1) (Ұа € N)a×0=0, 2) ) (Ұа € N)a×1=a, 3)  (Ұа € N)aв=ав, 4) ) (Ұа € N)(aв)с=а(вс).

Каждому возрасту соответствует свой уровень физического, психического и социального развития. Разумеется, это соответствие справедливо лишь в общем и целом, развитие конкретного человека может отклоняться в ту или другую сторону. Есть целый ряд разработок периодизаций развития (Коменский, Штрац, Бюллер, Горлок, Левитов, Эльконин, Пршигода, Ванек, Шванцара и др.), число предложенных периодизаций достигло нескольких десятков. Периодизация основывается на выделении возрастных особенностей. Возрастными особенностями называются характерные для определенного периода жизни анатомо-физиологические и психические качества. Сущность возрастных особенностей наглядно раскрывается на примере физического развития человека. Рост, прибавление веса, появление молочных зубов, а затем их смена, половое созревание и другие биологические процессы совершаются в определенные возрастные периоды с небольшими отклонениями.Выделяют периоды психического развития детей и в психологии. Но психологическая периодизация не во всем совпадает с педагогической: ведь развитие психики начинается еще в утробе матери, а воспитание ребенка начинается с момента его рождения. Рассмотрим эти периодизации в сравнении, чтобы лучше понять особенности развития ребенка в каждом возрасте. 1.Младенчество(1-й год жизни)2.Преддошкольный возраст(от 1-го до 3 лет)3.Дошкольный возраст(от 3-х до 6 лет) Младший дошкольный возраст(3-4 года) Средний дошкольный возраст(4—5 лет) Старший дошкольный возраст(5-6 лет)4.Младший школьный возраст(6-10 лет)5.Среднийшкольный возраст(10-15 лет)6.Старший школьный возраст(15-18 лет). Нетрудно заметить, что основу педагогической периодизации составляют стадии физического и психического развития, с одной стороны, и условия, в которых протекает воспитание, — с другой. Я. А. Коменский настаивал на строгом учете в учебно-воспитательной работе возрастных особенностей детей. Напомним, что он выдвинул и обосновал принцип природосообразностй, согласно которому обучение и воспитание должны соответствовать возрастным этапам развития. Как в природе все происходит в свое время, так и в воспитании все должно идти своим чередом — своевременно и последовательно. Только тогда человеку можно естественно прививать нравственные качества, добиваться полноценного усвоения истин, для понимания которых созрел его ум. К 6 годам ребенок в основном уже готов к систематическому школьному обучению. О нем надобно говорить уже как о личности, поскольку он осознает свое поведение, может сравнивать себя с другими. Особенность современных первоклассников — «демократичность» в общении с учителями, непроизвольность поведения, неумение регулировать свои действия в соответствии с нормами школьной жизни. Это неумение естественно для новичков, но, как отмечают учителя, даже к концу 1-го класса у нынешних детей наблюдаются некоторое противодействие требованиям. «Необходимо», «нельзя», «выполни до конца» — воспринимаются и выполняются лишь при большой настойчивости взрослых. Современные первоклассники, по свидетельствам учителей, очень отличаются от своих сверстников, которые садились за парты десять лет назад. Выросшие в условиях обострения социальных противоречий, тотального недетского телевидения, падения нравов, вседозволенности, они аккумулировали в себе все хорошее и плохое, что скрывается в этих процессах. В биологическом отношении младшие школьники переживают период второго округления: у них по сравнению с предыдущим возрастом замедляется рост и заметно увеличивается вес; скелет подвергается окостенению, но этот процесс еще не завершается. Идет интенсивное развитие мышечной системы. С развитием мелких мышц кисти появляется способность выполнять тонкие движения, благодаря чему ребенок овладевает навыком быстрого письма. Значительно увеличивается сила мышц. Все ткани детского организма находятся в состоянии роста. В младшем школьном возрасте совершенствуется нервная система, интенсивно развиваются функции больших полушарий головного мозга, усиливаются аналитическая и синтетическая функции коры. Вес мозга в младшем школьном возрасте почти достигает веса мозга взрослого человека и увеличивается в среднем до 1400 граммов. Быстро развивается психика ребенка. Изменяется взаимоотношение процессов возбуждения и торможения: процесс торможения становится более сильным, но по-прежнему преобладает процесс возбуждения. Познавательная деятельность младшего школьника преимущественно проходит в процессе обучения. Немаловажное значение имеет и расширение сферы общения. Восприятие младших школьников отличается неустойчивостью и неорганизованностью, но в то же время остротой и свежестью, «созерцательной любознательностью».Внимание младших школьников непроизвольно, недостаточно устойчиво, ограничено по объему. Поэтому весь учебный процесс в начальной школе подчинен воспитанию культуры внимания. Мышление у детей начальной школы развивается от эмоционально-образного к абстрактно-логическому. Мышление детей развивается во взаимосвязи с речью. Активный, словарный запас нынешних третьеклассников насчитывает примерно 3500—4000 слов. Неравномерность развития — во многом еще загадочное явление. В детском развитии проявляется общее и особенное. Общее свойственно всем детям определенного возраста, особенное отличает отдельного ребенка. Особенное еще называют индивидуальным, а ребенка с ярко выраженным особенным — индивидуальностью. Индивидуальность характеризуется совокупностью интеллектуальных, волевых, моральных, социальных и других черт, которые заметно отличают данного ребенка от других детей. Природа щедро одарила человеческий род: на Земле не было, нет и не будет двух совершенно одинаковых людей. Каждый ребенок — единственный и неповторимый в своей индивидуальности. Индивидуальность выражается в конкретных особенностях (отличиях). Возникновение их связано с тем, что каждый ребенок проходит свой собственный путь развития, приобретая на нем различные типологические особенности высшей нервной деятельности. Последние влияют на своеобразие возникающих качеств. К индивидуальным особенностям относятся ощущения, восприятие, мышление, память, воображение, интересы, склонности, способности, темперамент, характер. Индивидуальные особенности влияют на развитие личности. Ими в значительной мере обусловлено формирование всех качеств. Среди специалистов существует несколько точек зрения в вопросах воспитания и обучения с учетом индивидуальных особенностей ребенка.Первая точка зрения — массовая школа не может и не должна учитывать индивидуальность, приспосабливаться к каждому отдельному ученику. Всем детям необходимы одинаковые «порции» учительской заботы. Не должно быть никаких различий в воспитании прилежных и ленивых, одаренных и неспособных, а также старательных, любознательных и ничем на свете не интересующихся. Человек, окончивший начальную школу, характеризуется общим, одинаковым для всех стандартом обученности и воспитанности. Отечественная педагогика стоит на иных позициях — воспитание должно учитывать индивидуальные особенности детей и опираться на них. Индивидуальный подход как важный принцип педагогики заключается в управлении развитием ребенка, основанном на глубоком знании черт его личности и условий жизни. Педагогика индивидуального подхода имеет в виду не приспособление целей и основного содержания обучения и воспитания к отдельному школьнику, а приспособление форм и методов педагогического воздействия к индивидуальным особенностям с тем, чтобы обеспечить как можно более высокий уровень развития личности. Индивидуальный подход хорошо сочетается с идеями гуманизации воспитания. Гуманистическое воспитание провозглашает главной ценностью самого ученика — со всеми его сильными и слабыми сторонами, преимуществами и недостатками, личностными особенностями. Педагог-гуманист строит свою воспитательную деятельность, учитывая индивидуальные интересы ребенка. Учитель в вопросах воспитания и обучения детей должен занимать принципиальную позицию. Гуманизм не только доброта, но и объективность, справедливость. Учет возрастных особенностей — Один из основополагающих педагогических принципов.Акселерация — Ускоренное физическое и отчасти психическое развитие в детском и подростковом возрасте. Ретрадация — Отставание детей в физическом и духовном развитии, что обусловливается нарушением генетического механизма наследственности, негативным влиянием на процесс развития канцерогенных веществ, неблагоприятной экологической среды. Цель воспитания — это то, к чему оно стремится. Цель — это будущее, на достижение которого направляются главные усилия. Выделяются общие и индивидуальные цели воспитания. В первом случае она выражает качества, которые должны быть сформированы у всех людей, во втором — предполагается воспитание отдельного человека. Прогрессивная педагогика выступает за единство и совмещение общих и индивидуальных целей.Цель выражает общую устремленность воспитания. При практическом осуществлении она выступает как система конкретных задач. Цель и задачи соотносятся как целое и часть, система и ее компоненты. Поэтому справедливо и такое определение: цель воспитания — это система решаемых воспитанием задач. Таких задач обычно много — общих и конкретных. Но в пределах отдельно взятой воспитательной системы цель всегда одна. Цель — определяющая характеристика воспитательной системы. Именно цели и средства их достижения отличают одни системы от других. В современном мире существует многообразие целей воспитания и осуществляющих их воспитательных систем. Главным фактором установления целей в государственной системе воспитания является идеология, политика государства. Цели воспитания подвижны, изменчивы, имеют конкретно-исторический характер.Цели воспитания не возникают стихийно, сами по себе или по желанию отдельных людей. . Цель воспитания всегда выражает потребность общества в подготовке подрастающего поколения к выполнению общественных, производственных, семейных функций.

Потребности общества обусловлены способом производства — уровнем развития производительных сил и характером производственных отношений. Поэтому цель воспитания в конечном счете всегда отражает достигнутый уровень развития общества, устанавливается этим уровнем и изменяется с изменением способа производства. Цель и характер воспитания всегда соответствуют уровню развития производительных сил и типу производственных отношений, свойственных каждой общественно-экономической формации. Среди непреходящих целей воспитания есть одна, похожая на мечту, выражающая наивысшее предназначение воспитания — обеспечить каждому человеку, появившемуся на свет, всестороннее и гармоническое развитие. Итак, совершенный, всесторонне и гармонически развитый человек — наивысшая цель воспитания. Сегодня главная цель средней общеобразовательной школы — способствовать умственному, нравственному, эмоциональному и физическому развитию личности, всемерно раскрывать ее творческие возможности, формировать гуманистические отношения, обеспечивать разнообразные условия для расцвета индивидуальности ребенка с учетом его возрастных особенностей. Закон цели ~ Цель воспитания определяется потребностями развития общества и зависит от способа производства, темпов социального и научно-технического прогресса, достигнутого уровня развития педагогической теории и практики, возможностей общества, учебных заведений, учителей и учеников.Генеральная цель школы — Обеспечить каждому человеку всесторон¬нее и гармоническое развитие.

Практическая цель школы — Способствовать умственному, нравст¬венному, эмоциональному и физическому развитию личности, всемерно раскрывать ее творческие возможности, формировать гуманистические от¬ношения, обеспечивать разнообразные условия для расцвета индивиду¬альности ребенка с учетом его возрастных особенностей.

9.В мат-ке сущест­вуют разл. подходы к определению нат.числа и нуля: аксиоматич., колич. теория и число как рез-т измерения величины. И разл. подходы к определению операций над числами. Н-р: В колич.теории суммой целых неотр чисел а и в назыв-т целое нетр число с кот-е выражает кол-во элементов объединения непересек мн-в А и В. Разностью целых неотр чисел а и в назыв-т целое нетр число с кот-е выражает кол-во элементов в дополнении к подмн-ву В до мн-ва А. Произведением целых неотр чисел а и в назыв-т целое нетр число с кот-е выражает число элементов декартого призвед-я мн-в А и В. Частным целых неотр чисел а и в назыв-т целое нетр число с , что выполняется а=в*с. В аксеомот теории сложением нат чисел наз алгебраич-ая операция заданная на мн-ве нат чисел, кот-я удовл-ет 1)а+1=а 2)а+в=(а+в). Произведением целых неотр чисел а и в наз алгебраич-ая операция определённая во мн-ве N и удовл-щая 1)а*1=а 2)а*в=ав+а. Разностью целых неотр чисел а и в назыв-т число с, что выполняется равенство а=в+с. Частным целых неотр чисел а и в назыв-т целое нетр число с, что а=вс. Если число как рез-т измерения величины, то суммой N чисел m и n назовём такое число , кот выражает численное значение длины отрезка а=в при той же ед-це длины. Разностью чисел m и n явл-ся число кот-е выраж численное знач длины отрезка а-в при ед-це длины е. Произв чисел m n наз число, кот-е выраж-ет численное знач длины отрезка а при ед-це длины е1. Частным чисел м и н наз число, кот выраж-ет численное знач-е длины отрезка а при ед-це длины е1.

Св-ва слож-я: а+0=а; а+в=в+а; (а+в)+с=а+(в+с)

св-ва вычит: а-(в+с)=(а-в)-с=(а-с)-в; (а+в)-с=(а-с)+в=а+(в-с);

а-(в-с)=(а-в)+с=(а+с)-в;

св-ва умнож-я: ав=ва; а(вс)=(ав)с; (а+в)с=ас+ав;

св-ва деления: а:(вс)=(а:в):с=(а:с):в; а:(в:с)=(а:в)с=(ас):в;

(ав):с=(а:с)в=а(в:с).

Св-ва + и - : 1)слож-е и вычит разрядных чисел (70+20) 2)прибавл-е числа к сумме 3)прибавл-е суммы к числу 4)вычит-е числа из суммы и суммы из числа. Изуч-е уч-ся: 1. слож-е и вычит разрядных чисел сводится к слож-ю и вычит-ю однозначных чисел, кот выражают число десятков 50-20 5 десятков-2 десятка=3 десятка 2.прибавл-е числа к сумме. На уроке рассматр 3 способа: вычислить сумму и к рез-ту прибавить число; число прибавить к первому слагаемому и к рез-ту прибавить второе слагаемое; прибавить число ко второму слагаемому и к рез-ту прибавить первое слаг. Ребёнок сам выбирает подходящий ему вариант в зав-ти от индивид особенностей.

Переход от дошкольного детства к школьной жизни- один из переходных моментов в психич разв-и чел-ка. Ведущая деят-ть из игры переходит в учение. Важно знать есть ли у ребёнка потребность в новой деят-ти. Мотивы, побуждающие к школьной жизни делятся на 2 группы: желание занять новую позицию и новый вид одежды, ранец. Задача учителя- сохранить и развивать познават потребности. Но ребёнок должен не только хотеть но и мочь учиться. наличие зун у ребёнка не определяет его готовность к школе. Скорее надо опираться на разв-е его псих ф-й. Сенсорное разв-е: реб-к должен уметь устанавливать идентичность предметов и их св-в, уметьдифференцировать цвета. Внимание: мб произвольным и не. У 6летнего реб-ка ещё не сформировалось произв вним-е, кот-е обеспечивает сосредоточение на том, что неинтересно. Уч-ль должен планомерно его формировать. Память: реб-к быстро запоминает интересное – непроизв память. Нужно развивать произвольную. Мышление: наглядно-действенное – дети не могут выполнять действия без опоры на предметы. Но реб-к мб и наглядно-образное. Речь: реб-к должен уметь производить звуковой анализ слов. Воображение: развито играми, сказками.Сущностью пед взаимодействия явл прямое или косвенное воздействие субъектов этого процесса друг на друга. Воздействие пед-га на ученика мб преднамеренным (убеждение, внушение) и непреднамер. 2 вида общения: соц-ориентированное (лекции, доклад) и личностно-ориентир-е, кот мб деловым, напр на совместную д-ть. Оной из форм пед взаимодействия явл пед общение. Наиболее продуктивным явл общение на основе увлечения совместной деят-ю на основе дружеского расположения. Но это не должно нарушать статусные позиции. Смыслом совместной деят-ти в учебном процессе явл сотрудничество его участников.

4. Методика ознакомления младших школьников с алгебраическими понятиями выр-ия с переменной, ур-я и нерав-ва с одной пе­ременней. Реализация личностного подхода в обучении младших школьни­ков. Методы и приёмы развития творЧейких способностей и личностных ка­честв учащихся в системе развивающего обучения Л.В. Занкова.

Возьмем два выр-ия с переменной: ах и 5х+ 2. Соединив их знаком рав-ва, получим предложение 4х = 5х + 2. Оно со­держит переменную и при подстановке значений переменной об­ращается в высказывание. Например, при х =1 предложение 4х = 5х+2 обращается в ложное числовое равенство 4*1=5*1+2, а при х = - 2 - в истинное 4*( - 2) = 5-( - 2)+ 2. Поэтому предло­жение 4х = 5х+2 есть высказывательная форма. Ее называют равенством с переменной или ур-ем с одной переменной.

Ур-е с одной переменной. Опр-1.Если соеденить два выр-ия с одной переменной, получим ур-е с одной переменной. Опр-2.Одноместный предикат вида f(х)=g(x) с областью определения х=х, (где f(х) и g(x) – выр-ия с переменной) называется ур-ем с одной переменной. Опр-3. Корень ур-я , число, кот. при подстанотвке в ур-е, обращает его в истинное числовоте равенство. Решить ур-е значит найти мн-но его корней.

Значение переменной х из мн-ва X, при котором ур-е обращается в истинное числовое равенство, называется его решением (или корнем). Найти мн-во решений данного ур-я - значит решить это ур-е.

Пример: 4х = 5л:+2₁ х€R. Это ур-е обращается в истинное числовое равенство только при х= - 2. Значит, его мн-во решений есть (- 2).

В начальном курсе математики рассматриваются простей­шие ур-я вида х+а = b, a - x=b, x - a=b,  x*a = b, х:а = б и др., где а, б - целые неотрицательные числа, х - переменная. Понятия ур-я и его решения определяются неявно, через контекст, и «в ходе решения таких уравнений у детей должно быть по­степенно сформировано понимание ур-я как рав-ва, со­держащего неизвестное число, обозначенное буквой. Они должны понять, что всякий раз, как мы встречаемся с ур-ем, задача заключается в том, чтобы найти то значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным» (Моро методика обуч. мат-ки)

Равно­сильность уравнений. Чтобы решить данное ур-е, его, как правило, преобра­зовывают, заменяя последовательно другими, более простыми. Этот процесс замены продолжают до тех пор, пока не получат ур-е, решения которого можно найти известным способом. Но что­бы -эти решения были решениями заданного ур-я, необхо­димо, чтобы в процессе преобразований получались ур-я, мн-ва корней которых совпадают. Такие ур-я называют равносильными.

Определение. Два ур-я называются равносильными, если их мн-ва решений равны.

Например, ур-я (х+1)² = 9 и (х -2) (х + 4) = 0 равносильны на мн-ве действительных чисел, так как мн-во решений первого ур-я { - 4, 2} и мн-во решений второго ур-я {2, -4} равны.

Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать ур-я, равносильные исходному. Эти преобразования нашли отражение в следующих теоремах.

Теорема 1. Пусть ур-е f (х) = g (x) задано на мн-ве X и h (x) - выражение, определенное на том же мн-ве. Тогда ур-е f (x)-g (x) (1) и f (х)+h (x)=g (х) + h (x) (2) равносильны на мн-ве X.

Эту теорему можно сформулировать иначе: если к обеим час­тям ур-я с областью определения X прибавить одно и то­же выражение с переменной, определенное на том же мн-ве X, получим новое ур-е, равносильное данному.

Доказательство. Обозначим через T1 мн-во реше­ний ур-я (1), а через Т2 мн-во решений ур-я (2). Тогда ур-я (1) и (2) будут равносильны, если Т1= Т2. Но чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т1 является корнем ур-я (2) и, наоборот, любой корень из Т2 является корнем ур-я (1).

Пусть число а -корень ур-я (1). Тогда а€Т1 и при подстановке в ур-е (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a)-g (a), а выражение h (x) обращает в числовое выражение h (a). Прибавим 'к обеим частям истинного рав-ва f(a) =g(a) числовое выражение h(a). Получим согласно свойства истинных числовых равенств 'истинное числовое равенство f(а)+h(а)=g(а)+h(а)

Но это равенство говорит о том, что число а является также и корнем ур-я (2).

Итак, доказано, что каждый корень ур-я (1) является корнем и ур-я (2), т. е. T1сT2.

Пусть теперь b - корень ур-я (2). Тогда б€Т2 и при подстановке в ур-е обращает его в истинное числовое ра­венство f(b) + h(b) = g(b) + h(b).

Прибавим к обеим частям этого рав-ва числовое выра­жение - h (б). Получим истинное числовое равенство f({b) - g (b), которое говорит о том, что число b - корень ур-я   (1).

Итак, доказано, что каждый корень ур-я (2) является и корнем ур-я (1), т. е. Т2сТ1

Так как T1сT2 и Т2сТ1, то по определению равных множеств T1 = T2,  а значит, ур-я (1) и (2) равносильны на мн-ве X.

При решении уравнений чаще используется не сама данная теорема, а следствия из нее:

1Если к обеим частям ур-я прибавить одно и то же число, то получим ур-е, равносильное данному.

2. Если, какое-либо слагаемое (числовое выражение или вы­ражение с переменной) перенести из одной части ур-я в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим ур-е, равносильное данному.

Теорема  2. Пусть ур-е f (x)=g (x) задано на мн-ве X и h (х) - выражение, определенное на том же мн-ве и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х из мн-ва X. Тогда ур-я f (х) = g (х) и f (x)*h (х) = g (x)*h (x) равносильны на мн-ве X.

Равносильность неравенств. Тео­ремы о равносильности неравенств (доказать одну из теорем) Предложения вида 2ч + 7> 10 - х, х² + 7х<2, (х + 2)(2х - 3)>0 называют нерав-вами с одной переменной.

Определение. Пусть f (х) и g (х) - два выр-ия с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство ви­да f (x)>g (х) или f (x)<.g (х) называется неравенством с од­ной переменной.

Значение переменной х из мн-ва X, при котором нера­венство обращается в истинное числовое неравенство, называ­ется его решением. Найти мн-во решений данного нерав-ва - значит решить это неравенство.

В школьном курсе математики рассматриваются различные нерав-ва с одной переменной. Нас будут интересовать в основ­ном только нерав-ва первой степени. В основе решения таких неравенств, так же как решения уравнений, лежит понятие рав­носильности и теоремы о равносильности неравенств.

Определение. Два нерав-ва называются равносиль­ными, если их мн-ва решений равны.

Например, нерав-ва 2х + 7>10 и 2х>3 равносильны, так как их мн-ва решений равны и представляют собой про­межуток (3/2, ∞)

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них по своей сути похожи на соответствующие теоремы о равносильности уравнений, а доказательство их проводится аналогично доказательству теоремы 1 о равносильности уравнений.

Теорема 3. Пусть неравенство f (x)>g (х) задано на мн-ве X и h (x) - выражение, определенное на том же мн-ве. Тогда нерав-ва f (х) > g (х) и f (х) + h (х) > f (х) + h (x) равносильны на мн-ве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто исполь­зуются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям нерав-ва f(x)>g(x) прибавить одно и то же действительное число d, то получим неравенство f{x)+d>g(x)+d, равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или вы­ражение с переменной) перенести из одной части нерав-ва в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то полу­чим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f (x) > g (x) задано на мн-ве X и h (х) - выражение, определенное на том же мн-ве, и для всех х из мн-ва X h (х) > 0. Тогда нерав-ва f (х) > g (х) и f (х) • h (х) > g (x) • h (x) равносильны на мн-ве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части нерав-ва f (х) > g (x) умножить на одно и то же положительное действительное число d, то получим неравенство f (x)-d>g(x)-d, равносильное исходному.

Теорема 5. Пусть неравенство f (x) > g (x) задано на мн-ве X и h (x) - выражение, определенное на том же мн-ве, и для всех х из мн-ва X h (х)-< 0. Тогда нерав-ва f (x)>g (х) и f (x)*h (x)<.g (x)*h (x) равносильны на мн-ве X.

Из этой теоремы вытекает следствие:

Если обе части нерав-ва f(x)>g(x) умножить на одно и то же отрицательное действительное число d и знак нерав-ва поменять на противоположный, то получим неравенство f (х)*d<g(x)*d, равносильное данному.