Основные понятия теории в

Базовым понятием ТВ явл. Случ. События. Оно не имеет точного опред. Можно принимать как любой факт, который в результате может произойти, а может и нет. Невозможно предсказание результатов единичного опыта А…В-события. ТВ строится на основных понятиях теории множеств

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий. Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности P . Если P(x)=0, то событие называется невозможным событием; если P(x)=1, то событие называется достоверным событием; событие A + B, заключается в том, что из двух событий A и B происходит по крайней мере одно, называется суммой событий A и B. Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

непосредственный подсчет вероятностей

Непосредственный подсчет вероятности (которую называют иногда математической) возможен, если удается выявить полную группу n несовместных и равновозможных событий, часть из которых m подлежит вероятностной оценке. При таких условиях искомую вероятность Р рассчитывают по формуле p=m\n

Основные формулы комбинаторики

Сочетание- это подмножества данного множества по n элемнтвов каж-я, отличается составом элементов с повторением

Размещение –А из n элементов по n, называется по-мн-ва множества данного размера m, отличается либо составом либо порядком

Перестановка-наз-ся подмножества данного множества, сост-е из n элементов кажд-я n отвечает только порядком элемента

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р (A1 + A2 + ... + An) = Р (A1) + Р (A2) + ... + Р (An).

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Сумма вероятности этих событий без вероятности их совместного проявляения P(A+B)=P(a)+P(B)-P(AB)

Теорема умножения вероятностей

Условная вероятность-вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А произошло P(B|A)=P(AB)/P(A)

Если P(B|A)=(no)(P(B) P(A|B)=P(A) ЗАВИСИМЫЕ

P(B|A)=P(B) P(A|B)=P(A) независимые

P(AB)=P(A)*P(B|A)

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти лишь совместно с одним из событий Н1, Н2…Нк Представляющих собой полную группу попарно несовместных событий

Hi*Hj=V j=I H1+Н2+…Нк=U полная Hi-гипотеза, тогда справедлива формула A=A*U=A(H1+H2…+Hk)=AH1+AH2

P(A)=P(H1)*P(A|H1)+P(H2)*P(A|H2)+…

Теорема гипотеза Байеса

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии)

Формула Байеса:

Формула Бернулли

где Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Рт,п того, что в результате п испытаний событие А наступило ровно т раз. Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей, как это делалось в рассмотренных выше примерах. Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли.

Локальная теорема Лапласа

Пусть 0< p <1 и величина при n ® ограничена. Тогда а практике приближением Муавра-Лапласа пользуются при npq > 9. Точность формулы растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения величин p и q к 0.5.

Формула Пуассона

– среднее число появлений события в n испытаниях. Эта формула дает удовлетворительное приближение для и . При больших рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

Случайные величины. Основные понятия

СВ , наз. Которая в результате опыта, принимают значения, заранее неизвестные, независящие от св. X,Z,Y-случ.. величины. Значения –x1, x2

Часто вместо полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают пользоваться небольшим количеством числовых характеристик. Из них наиболее употребительны математическое ожидание и дисперсия. В число основных характеристик совместного распределения нескольких случайных величин наряду с математическими ожиданиями и дисперсиями этих величин включаются коэффициенты корреляции и т. п. Смысл перечисленных характеристик в значительной степени разъясняется предельными теоремами