55. Статистическое изучение просроченных ссуд по их объему, составу и динамике.

55. Определение наращенной суммы на основе простых, сложных и смешанных процентов.

Простые процентные вычисления в финансовых обязательствах, как правило, на срок не больше года. При простых процентах расчеты производятся исходя из постоянной базы, в качестве которой выступает первоначальная сумма долга. Под наращенной суммой выступает первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Наращенная сумма определяется умножением начальной суммы на множитель наращения. Срок ссуды обычно измеряется в годах. Каждый год приносит проценты в сумме Pi. Начисленные за весь срок проценты составят I=Pni.

Тогда наращенная сумма (формула простых процентов):

S=P+I=P=Pni=P(1+ni), где (1+ni) – множитель наращения простых процентов, где I – проценты за весь срока ссуды, P – первоначальная сумма или сумма долга, S – наращенная сумма или сумма в конце срока, i – ставка наращения (десятичная дробь), n – срок ссуды в годах.

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а применяются к сумме долга, для наращения, как правило, применяются сложные проценты. В соответствии с этим процессом роста первоначальной суммы происходит с ускорением. Ускорение вызвано тем, что на каждом этапе во времени (раз или несколько раз в год) начисленные проценты присоединяются к сумме, которая служила базой для их определения. Такой процесс называют капитализацией процентов.

Пусть проценты капитализируются один раз в год (годовые проценты) на протяжении n лет. Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине P*I, а наращенная сумма составит: P+P*i = P (1+i). К концу второго года она достигнет величины: P(1+i)+P(1+i)*i = P(1+i)² и т.д.

В конце n-го года наращенная сумма по сложным процентам: S= P *(1+i)ⁿ.

Проценты за этот период равны I=S*P=P[(1+i)ⁿ-1] и увеличиваются с каждым годом.

Величину (1+i)ⁿ называют множителем наращения сложных процентов. Значения этого множителя для целых чисел n приводятся в таблицах сложных процентов для n, равных от 1 до 50, 60, 70, 80, 90, 100 лет. Если n>50 и является целым числом, то искомую величину находят как произведение табличных значений для n₁ и n₂ (n= n₁+ n₂) . Например: (1+i)⁶²=(1+i)⁶⁰ *(1+i)²

Наращение по смежным ставкам применяется для случаев, когда n не является целым числом:

S=P(1+i)^na (1+n_bi); n=n_a+n_b, где n_a-целое число лет; n_b- дробная часть года.

Сопоставление формул наращения по простым и сложным процентам позволяет сделать вывод:

если n<1, то (1+ni)>(1+i)ⁿ – сложные проценты меньше простых

если n=1, то (1+ni) = (1+i)ⁿ – сложные проценты равны простым;

если n>1, то (1+ni) < (1+i)ⁿ – сложные проценты больше простых;

где т – число периодов начисления процентов.

55. Математическое дисконтирование и банковский учет.

В финансово-кредитных расчетах важную роль играет фактор времени. Это объясняется принципом “неравномерности” денег на разные временные даты. В связи с этим нельзя суммировать деньги на разные моменты времени. Для сопоставимости денег, относящихся к разным датам, прибегают к дисконтированию, т.е. приведению к заданному моменту времени. Дисконтирование осуществляется при покупке банком или другим финансовым учреждением краткосрочных финансовых обязательств (векселей, трат), оплата которых производится в будущем. Следовательно, ставится задача, обратная определению наращения процентов: по заданной сумме S, которую уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается. Сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты (разность S-P=Д) – дисконтом. Величину P, найденную с помощью дисконтирования, называют современной, капитализированной (приведенной) величиной S. В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором – учетная ставка.

При математическом дисконтировании современная капитализированная величина суммы S определяется из уравнения: S = P(1+ni), P=S*(1\1+ni), или P=S(1+ni)^-1 , где 1\1+ni – дисконтный множитель, который показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга P в окончательной сумме S. Разность S-P можно рассматривать не только как проценты, начисленные на P, но и как дисконт с суммы S, т.е. Д= S-P.

Суть операции банковского учета заключается в том, что банк или другое финансовое до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. Владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги, хотя не в объеме, однако раньше указанного срока. При этом применяется учетная ставка d. Размер дисконта или сумма учета, удерживаемая банком равен Snd. Таким образом, сумма, выплачиваемая при учете векселя (банковском учете), будет равна: P= S-Snd = S *(1-nd), где n – срок от момента учета до погашения векселя, (1-nd) – дисконтный множитель.