1. Метод Гаусса
Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
2. Формулы Крамера
Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы, т.е. определитель матрицы А
Δ = det (aij)
и n вспомогательных определителей Δi (i = ), которые получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Формулы Крамера имеют вид:
Δ · xi = Δi (i = ). (1)
Из (1) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
xi = Δi / Δ.
Если главный определитель системы Δ и все вспомогательные определители Δi = 0 (i = ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.
3. Матричный метод
Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы совпадает с вектором C = A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X = C, C = A-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.
№27. Представление чисел в памяти ЭВМ. Приближенные числа. Погрешность решения вычислительных задач, ее источники.
Существуют два способа представления чисел в памяти ЭВМ. Они называются так: форма с фиксированной точкой и форма с плавающей точкой. Форма с фиксированной точкой применяется к целым числам, форма с плавающей точкой — к вещественным числам (целым и дробным). Под точкой здесь подразумевается знак-разделитель целой и дробной части числа. Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного числа А и заменяющее его в вычислениях. Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением Δx = |x – x0|. Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу e(x)= Δx/ x0 Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами (источниками): 1. Математическое описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные данные описания.2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому вместо получения точного решения приходится прибегать к приближенному.3. При выполнении арифметических операций на ЭВМ или любым другим образом, как правило, производятся округления. (Это же относится к вводу чисел в память ЭВМ и выводу полученных результатов.) Погрешности, соответствующие этим причинам, называются: неустранимая погрешность, погрешность метода, вычислительная погрешность.
№28. Прямые вычислительные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод оптимального исключения.
ыва
№29. Итерационные вычислительные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации.
Рассмотрим систему:
Для неё итерационное вычисление буде т выглядеть так:
Сходимость методу будет осуществлять
Алгоритм:
1. Условие преобразуется к виду , где — сжимающая
2. Задаётся начальное приближение и точность
3. Вычисляется очередная итерация
- Если , то и возврат к шагу 3.
- Иначе и остановка.