1. Волновое движение. Скалярное волновое уравнение. Основные кинематические и энергетические характеристики волн. Сплошная среда – среда, непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами. Однородная среда – среда, физические свойства которой не изменяются от точки к точке среды. Изотропная среда – среда, физические свойства которой (например, скорость распространения данной волны) одинаковы во всех направлениях. Волнами называются возмущения, распространяющиеся в среде (или в вакууме) и несущие с собой энергию. Характерное свойство волн состоит в том, что перенос энергии волной осуществляется без переноса вещества. Основными видами волн являются упругие (в частности, звуковые, электромагнитные и сейсмические) волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны (например, световые волны, радиоволны). Волны могут иметь различную форму. Одиночной волной или импульсом называется короткое возмущение, не имеющее регулярного характера. Ограниченный ряд повторяющихся возмущений называется цугом волн. Гармоническая волна – бесконечная синусоидальная волна, в которой изменение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса. По ориентации возмущений относительно направления распространения волны бывают продольные и поперечные. Продольные – волны, в которых частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Продольные волны могут распространяться в среде, где возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т.е. в твердых телах, жидкостях и газах. Поперечные – волны, в которых частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Поперечные упругие волны могут распространяться в среде, где возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. в твердых телах. Основная характеристика волны – ее длина, расстояние между двумя ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период. =vT. Волновое число k=2/=2/vT=/v. Бегущие волны – волны, которые переносят в пространстве энергию. Поток энергии Ф=dW/dt – количественная характеристика перенесенной энергии, определяемая энергией, переносимой волнами через некоторую поверхность в единицу времени. Плотность потока энергии волны U=dФ/dS=wv - определяется потоком энергии, переносимой волной через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны (v – скорость волны, w – объемная плотность энергии колебательного движения). Вектор Умова U = wv (здесь и далее жирным курсивом обозначены векторные величины) – вектор плотности потока энергии, количественно характеризует перенос энергии волнами. Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Интенсивность волны I = <U> - модуль среднего значения вектора Умова. Волновым уравнением называется линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее распространение волн в среде (или в вакууме). Установим вид этого уравнения, исходя из уравнения плоской гармонической волны (x,y,z,t)=Acos(t-k_xx-k_yy-k_zz+) (1), где k_x=(2/)cos, k_y=(2/)cos, k_z=(2/)cos. Вторые частные производные функции (1) по каждой из переменных имеют вид ²/t² = -²A cos(t-k_xx-k_yy-k_zz+) = -², ²/x² = -k_x², ²/y²=-k_y², ²/z²=-k_z². Сумма производных по координатам ²/x²+²/y²+²/z²=(1/v²)(²/t²) – это волновое уравнение. Его можно также записать в виде =(1/v²)(²/t²), где  = ²/x² + ²/y² + ²/z² – оператор Лапласа.

2. Плоская монохроматическая волна. Волновой вектор. Волновая поверхность. Фазовая скорость. Длина волны. Амплитуда волны. Фаза.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей существует (в отличие от волнового фронта) бесчисленное множество. Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе). Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. В случае, если волновая поверхность имеет, например, форму сферы, то сама волна называется сферической, а в случае если волновая поверхность имеет форму плоскости, то волна называется плоской. В ней волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей. Монохроматические колебания – колебания одной частоты. Монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты. Волновой вектор, вектор k, направление которого совпадает с направлением распространения бегущей волны. В изотропных средах вдоль k направлены групповая скорость и поток энергии волны. В квантовой механике состояние свободной частицы также характеризуется определенным значением волнового вектора, связанным с импульсом частицы р соотношением де Бройля: р=hk. Амплитуда А – максимальное значение колеблющейся величины. Если волновые колебания задаются, скажем, уравнением (x,t) = Acos((t-x/v) + ₀), то т.к. косинус изменяется в пределах от -1 до +1, то  может принимать значения от –A до A. В выше указанном уравнении (x,t) – смещение точек среды с координатой x в момент времени t, А – амплитуда волны,  - циклическая (круговая) частота, ₀ – начальная фаза колебаний. Фаза колебаний в данном случае – аргумент косинуса ((t-x/v) + ₀). Фазовая скорость v=dx/dt – скорость перемещения фазы волны. Находится из условия постоянства фазы волны (t – x/v) + ₀ = const с последующим дифференцированием этого выражения по t.

3. Сферическая монохроматическая волна и ее основные характеристики. Волновая поверхность. Фазовая скорость.

Сферические волны – волны, для которых волновые поверхности – совокупность концентрических сфер. Луч – линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением распространения волны. В случае однородной и изотропной (см. вопрос 1) среды луч – прямая, перпендикулярная волновой поверхности и совпадающая с направлением переноса энергии волной. Лучи в данном случае направлены вдоль радиусов сфер от центра, где расположен источник волны. Уравнение сферической волны S(r,t) = (A₀/r)cos(t-kr+₀). В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Записанное уравнение сферической волны справедливо для r (расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды), значительно превышающих размеры источника колебаний, который тогда можно считать точечным. О волновых поверхностях, фазовой скорости и т.п. см. также вопрос 2.

4. Скалярное волновое уравнение и примеры его решений. Метод комплексных амплитуд. Про волновое уравнение – см. также вопрос 1. Дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее распространение волн в однородной изотропной среде. Решение этого уравнения – уравнение любой волны. Часто уравнение плоской волны записывают, используя комплексные числа: u(r,t)=Re ae^{i(t-kr+)}. Формула Эйлера e^i=cos isin, u(r,t)=Ae^i(t-kr), A=ae^i. Если волна описывает изменение какой-либо скалярной величины, то и волна называется скалярной. Так, например, при распространении звуковой волны меняются плотность или давление. Следовательно, звуковая волна называется скалярной. Если же описывается изменение векторной величины, то и волна называется векторной. Пример - электромагнитные волны.

5. Энергетические характеристики электромагнитных волн. Плотность энергии. Интенсивность. Вектор Пойнтинга. Распространение волны, в т.ч. и электромагнитной, связано с переносом энергии. В отсутствие дисперсии (дисперсия волн – зависимость фазовой скорости гармонических волн в среде от частоты их колебаний) скорость переноса энергии равна фазовой скорости v, и плотность потока энергии можно получить, умножив плотность энергии w на v. В случае электромагнитных волн вектор плотности потока энергии принято обозначать буквой S. Модуль вектора S равен S=wv, где v=c/(),  и  - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды (в вакууме =1 и =1). Объемная плотность энергии - это энергия волн, приходящаяся на единицу объема. Объемная плотность энергии электромагнитной волны w=w_эл+w_м=(₀E²)/2+(₂H²)/2 (1), где ₀ и ₀ – электрическая и магнитная постоянные, складывается из объемных плотностей электрического и магнитного полей. Если учесть, что (₀) E = (₀) H, то w=2w_эл=₀E²=(₀₀)()EH. Выражение (1) w=EH/v, где v-фазовая скорость волны, v=c/(). Векторы E и H взаимно перпендикулярны распространения волны правовинтовую систему. Поэтому направление вектора [EH] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен EH. Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии можно представить как векторное произведение E и H: S=[EH]. Вектор S называется вектором Пойнтинга. Вектор Пойнтинга направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Интенсивностью электромагнитной волны называется модуль среднего по времени вектора Пойнтинга: I=<S>=v<w>.

6. Электромагнитные волны. Условия излучения электромагнитных волн электрическим зарядом. Электромагнитные волны – переменное магнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью. Электромагнитные волны возникают в результате того, что переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле, которое, в свою очередь, порождает переменное электрическое поле. Их существование вытекает из уравнений Максвелла. Про уравнения Максвелла: Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме: 1) (о)_LEdl= -_S(B/t)dS; 2) (o)_SDdS=_VdV; 3) (o)_LHdl = -_S(j + D/t)dS; 4) (о)_SBdS=0. Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и связаны так: D = ₀E, B = ₀H, j=E, где E – напряженность электрического поля, D – электрическое смещение, B – магнитная индукция, H – напряженность магнитного поля, j – плотность тока проводимости, D/t – плотность тока смещения,  - объемная плотность заряда, ₀ и ₀ – соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и  - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости,  - удельная проводимость вещества. Физический смысл уравнений. Источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных. Источником электромагнитных волн может быть любой колебательный контур или проводник, по которому течет переменный электрический ток, так как для возбуждения электромагнитных волн необходимо создать в пространстве переменное электрическое поле (ток смещения) или соответственно переменное магнитное поле. Излучающая способность источника определяется его формой, размерами и частотой колебаний. Основным условием излучения электромагнитных волн зарядом является его ускоренное движение. Простейшая излучающая система – электрический диполь (см. вопрос 7), дипольный момент которого быстро меняется со временем (вибратор Герца). См. также вопрос 8.

7. Излучение точечного диполя, совершающего гармонические колебания. Волновая зона. Диаграмма направленности диполя. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является колеблющийся электрический диполь. Электрический диполь – система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+q, -q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Примером колеблющегося электрического диполя может служить неподвижный точечный заряд +q и колеблющийся около него точечный заряд –q. Дипольный электрический момент этой системы изменяется со временем по закону p=-qr=-qlecost=-p_mcost, где r – радиус-вектор заряда –q, l – амплитуда колебаний, e – единичный вектор, направленный вдоль оси диполя, p_m= -qle. Мы рассматриваем излучение элементарного диполя, т.е. диполя, размеры которого малы по сравнению с длиной волны (l<<). Будем считать, что r>> - волновая зона, начинающаяся на расстоянии r, значительно превышающем длину волны . Если волна распространяется в однородной и изотропной (см. вопрос 1) среде, то волновые поверхности в волновой зоне имеют сферическую форму. Векторы E и H в каждой точке перпендикулярны к лучу, т.е. к радиус-вектору, проведенному в данную точку из центра диполя. На первом рисунке – структура электромагнитной волны в волновой зоне. Приведем выражения для электрического и магнитного полей электромагнитной волны, излучаемой диполем: B(t)=- (1/(4₀)) (1/(c³r)) [n p^ (t-r/c)], E(t)=c[B,n], где n – единичный вектор нормали (указывает направление распространения волны). Электрическое и магнитное поля зависят от 2-й производной дипольного момента по времени p^. Это означает, что электромагнитные волны могут излучать только ускоренно движущиеся заряды. Причем p^ в момент времени t определяется как p^(t-r/c), где =r/c – время запаздывания. p^=-p₀²cost. Поле колеблющегося диполя убывает как ~1/r (в то время как поле статического диполя – как ~1/r³). p^(t-r/c)=-p₀²cos(t-kr). B(t)=(1/[4₀]) (p₀²/[c³r])sin(+/2)cos(t-kr)=[(p₀²)/(4₀c³r)]coscos(t-kr). E(t) = [(p₀²)/(4₀c²r)]coscos(t-kr). Поток энергии, переносимой волной в точке r,  равен S=[(p₀²⁴₀)/(16²₀c³r²)]cos²  cos²(t-kr). Интенсивность электромагнитной волны находится как среднее за период значение вектора Пойнтинга. I=(1/T)₀^TS(t)dt. I()=[(p₀⁴₀)/(32²₀c³r²)]cos². Зависимость интенсивности от угла  наглядно изображается с помощью диаграммы направленности диполя (2-й рисунок). Отрезок, отсекаемый диаграммой на луче, характеризует интенсивность излучения в данном направлении. Полная «диаграмма» получится, если привести лепестки во вращение вокруг оси диполя. Средняя по времени мощность излучения P=[1/(4₀)][(⁴p₀²)/(3c³)]. Также см. лекции.

8 . Электромагнитная плоская монохроматическая волна и ее основные кинематические характеристики. Поперечность волн. Поляризация. Про э/м волны, а также обозначения ,  и т.п. – см. вопрос 6. Основные кинематические характеристики э/м волн – длина волны  и частота , которые связаны между собой соотношением =v/, где v – скорость распространения волны, равная v=(1/₀₀)(1/) = с/, где с – скорость распространения света в вакууме, равная 310⁸ м/с. В среде скорость распространения электромагнитных волн меньше скорости света, т.к. >1.

П оперечность э/м волн. В э/м волне колебания векторов напряженности E переменного электрического поля и напряженности H переменного магнитного поля взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны. Векторы E, H и v образуют правовинтовую систему (см. 2-й рисунок). На 3-м рисунке – моментальная фотография плоской э/м волны. Следствие уравнений Максвелла: в э/м волне векторы E и H всегда колеблются в одинаковых фазах. Мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением (₀)E=(₀)H. Поляризация волн – это нарушение симметрии в распределении ориентации возмущений (электрических и магнитных полей в э/м волне) в поперечной волне относительно направления ее распространения. Про волновое число, длину волны и т.п. см. вопрос 1.

9. Электромагнитные волны и их энергетические характеристики. Плотность энергии. Интенсивность. Вектор Пойнтинга. Закон сохранения энергии для электромагнитных волн в вакууме. Про э/м волны – см. вопрос 6. Про энергетические характеристики – см. вопрос 5. Объемная плотность энергии - это энергия волн, приходящаяся на единицу объема. Закон сохранения энергии требует, чтобы убывание плотности электромагнитной энергии в одной области пространства сопровождалось ростом плотности в другой (разумеется, при условии отсутствия превращения электромагнитной энергии в другие формы). Согласно закону сохранения энергии, полная энергия э/м волны в вакууме сохраняется постоянной.

10. Принцип суперпозиции для электромагнитных волн. Явление интерференции. Условия наблюдения стационарной интерференции света. Когерентность. Линейная среда – среда, в которой при одновременном распространении нескольких волн ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной. Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы среды, участвуя в каждом из независимых волновых процессов. Например, если волны распространяются от двух источников, то они, доходя до какой-то точки, вызывают ее колебания независимо друг от друга. В основе волновой оптики лежит принцип Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени (волновой фронт - геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t). Когерентность - согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты. Волновой цуг – прерывистое излучение света атомами в виде отдельных коротких импульсов (10^-8 с). Время когерентности _ког – средняя продолжительность одного цуга (когерентность существует только в пределах одного цуга, и время когерентности не может превышать времени высвечивания атома (_ког<)). Длина когерентности l_ког=c_ког – расстояние, при прохождении которого две или несколько волн утрачивают когерентность. Временная когерентность – когерентность колебаний, которые совершаются в одной и той же точке пространства, определяемая, определяемая степенью монохроматичности волн. Пространственная когерентность – когерентность колебаний, которые совершаются в один и тот же момент времени в разных точках плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Радиус когерентности r_ког/ - максимальное поперечное направлению распространения волны расстояние, на котором возможно проявление интерференции ( - угловой размер источника). Взаимное усиление и ослабление волн в области их перекрытия, приводящее к тому, что результирующая интенсивность становится функцией разности фаз накладываемых волновых полей, называется интерференцией. При интерференции двух волновых полей результирующая интенсивность I(x) равна I(x)=I₁(x)+I₂(x)+2I₁I₂cos(x), где I₁(x) и I₂(x) - интенсивность каждого поля по отдельности. Последнее слагаемое в этой формуле носит название интерференционного члена, в котором (x) – пространственное распределение разности фаз этих полей вдоль оси x. Ось x выбрана так, чтобы она проходила перпендикулярно интерференционным полосам, представляющим собой геометрическое место максимумов интенсивности (светлые полосы) и минимумов (темные полосы). Для наблюдения эффекта интерференции достаточным условием является совпадение поляризации волновых полей и постоянство во времени их разности фаз. Поля, для которых названное условие выполняется, называются взаимно когерентными, что в переводе на русский язык значит – сходными, подобными.

1 1. Интерференция двух плоских монохроматических волн. Ширина интерференционной полосы. Условия наблюдения максимумов и минимумов интенсивности при интерференции волн. Про интерференцию – см. вопрос 10. При наложении двух когерентных световых волн максимумы интенсивности получают в точках, где cos=+1 ( - пространственное распределение разности фаз), т.е. (x)=2m (1) (m – целое число), а минимумы интенсивности в точках, где cos=-1, т.е. =2m+ (2). Разность фаз  двух волн, которые после деления исходного волнового поля на две волны прошли разную длину оптического пути и приобрели разность хода x, равна =kx (3), где k=2/. Подставив (3) в (2) и (1), получим, что максимум интенсивности интерференционной картины интерференционной картины будет наблюдаться в точках, где x=m, m = 0, 1, 2, …, а минимумы интенсивности в точках, где x=m+/2, m=1, 2, …. Интерференционная картина, создаваемая на экране двумя когерентными источниками света, представляет собой чередование светлых и темных полос, параллельных друг другу. Главный максимум, соответствующий m=0, проходит через точку О (см. рисунок). Вверх и вниз (если смотреть на картину сбоку, как на рисунке) от него на равных расстояниях друг от друга располагаются максимумы (минимумы) первого (m=1), второго (m=2) и т.д. порядков. Надо отметить, что описанная картина справедлива лишь для монохроматического света. Расстоянием между интерференционными полосами называется расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности. Шириной интерференционной полосы принято называть расстояние между соседними минимумами интенсивности, равное b=(l/d), где  - длина волны, l – расстояние от экрана до источников, d – расстояние между источниками.

12. Интерференция двух монохроматических сферических волн. О явлении интерференции – см. вопрос 10. Наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S₁ и S₂ (см. рисунок). ₁=(A₀/r₁)cos(t-kr₁+₁), ₂=(A₀/r₂)cos(t-kr₂+₂), A²=A₀²{1/r₁²+1/r₂²+[2/(r₁r₂)]cos[k(r₁-r₂) - (₁ - ₂)]}, где A₀ – амплитуда колебаний точечных источников,  - циклическая частота, r₁ и r₂ – расстояния от источников волн до рассматриваемой точки, k – волновое число, ₁ и ₂ – начальные фазы волн, А – амплитуда результирующей волны. Разность хода x=r₁-r₂ (иногда обозначают просто ). Поскольку для когерентных источников разность начальных фаз ₁-₂=const, результат наложения двух волн в различных точках зависит именно от разности хода. Условие интерференционного максимума k(r₁-r₂) – ( ₁-₂)=2m (порядок интерференционного максимума m=0,1,2…). Условие интерференционного минимума k(r₁-r₂) – (₁ - ₂)=(2m+1) (порядок интерференционного минимума m=0,1,2…). Условия интерференционных максимумов и минимумов сводятся к тому, что r₁-r₂=const (уравнение гиперболы с фокусами в точках S₁ и S₂). Следовательно, геометрическое место точек, в которых результирующее колебание усиливается или ослабляется, - семейство гипербол (см. рисунок), отвечающих условию ₁-₂=0. Между двумя интерференционными максимумами (сплошные линии) находятся интерференционные минимумы (штриховые линии).

1 4. Использование интерференции для оптических измерений (на основе выполненных лабораторных работ). Про явление интерференции – см. вопрос 10. В лабораторных работах №№1-2 мы использовали явление интерференции для оптических измерений. В первой лабораторной работе, которая называлась «Измерение радиуса кривизны линзы по кольцам Ньютона», мы ознакомились с явлением интерференции и использовали его для контроля размеров. Кольца Ньютона – это классический пример полос равной толщины (интерференционные полосы, возникающие в результате интерференции от мест одинаковой толщины). Они наблюдаются при отражении света от воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой с большим радиусом кривизны. Параллельный пучок света падет на плоскую поверхность линзы нормально. Полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей. Для выполнения работы по кольцам Ньютона использовался микроскоп, на предметном столике которого расположена линза, прикрепленная винтами к стеклянной пластинке (см. 1-й рисунок). Источником света служит осветитель микроскопа (на схеме не показан), представляющий собой лампу накаливания. Ее излучение 1 падает на светофильтр 2, который из всего видимого спектра пропускает только участок спектра со средней длиной волны = 0,587 мкм. Волна, прошедшая светофильтр линзу 3, при отражении от нижней сферической поверхности линзы разделяется на 2 волны: одна отражается от нижней грани линзы, другая, прошедшая далее, отражается от верхней грани стеклянной пластинки 5. Обе волны когерентны и, распространяясь в обратном направлении (вверх), накладываются друг на друга и интерферируют в окуляре микроскопа. Разность хода этих волн равна удвоенной толщине зазора h между линзой и пластинкой (вторая волна проходит этот зазор дважды). Величина h зависит от радиуса кривизны линзы, что и позволяет определить его величину по наблюдаемой в микроскоп интерференционной картине. Получив при помощи выше упомянутой установки устойчивую картину, измерили диаметры D в делениях измерительной шкалы в окуляре микроскопа для первых пяти светлых и первых пяти темных колец (при этом центральное темное пятно не учитывалось). Формулы, связывающие радиусы светлых и темных колец r с радиусом кривизны линзы, имеют вид: для светлых колец r=[(m+1/2)R], m=0, 1, 2, …, для темных колец r=(mR), m=1, 2, …. Из этих формул следует, что для любых двух светлых или двух темных колец с номерами m_i и m_j справедливо соотношение R=(r_i²-r_j²)/[(m_i – m_j)]. По этой формуле мы и рассчитали значение радиуса кривизны линзы, использовав несколько сочетаний i и j как для светлых, так и для темных колец. Затем мы рассчитали среднее значение радиуса кривизны линзы и погрешность. У меня получилось значение R=0,1310,004 м. Полученный результат сопоставляется с результатом оценки радиуса кривизны линзы, полученной на основании измерения ее фокусного расстояния  по формуле R=(n-1), где n-показатель преломления линзы.

Во 2-й лабораторной работе мы использовали бипризму Френеля для измерения длины волны света (см. 2-й рисунок). Бипризма Френеля состоит из двух одинаковых стеклянных призм с общим основанием и малым углом при вершине. Волна, прошедшая через каждую из половинок бипризмы, отклоняется за счет преломления на некоторый угол в сторону общего основания призм. В результате две волны, прошедшие через разные половины бипризмы, при дальнейшем их распространении накладываются друг на друга. В области перекрытия волн устанавливают экран, на котором наблюдают их интерференцию. В качестве источника света а данной работе используется гелий-неоновый лазер 1. Узкий параллельный пучок света, выходящий из лазера, расширяется за счет дифракции на щели 2 и проходит через бипризму 3. Волны, прошедшие через разные половинки бипризмы, исходят из общего источника. Они когерентны и, при наложении их под углом друг другу, на экране 4 образуется интерференционная картина в виде параллельных полос. Эти две идущие под углом друг к другу волны можно представить как бы исходящими из двух мнимых источников света S(1) и S(2), отстоящих на некотором расстоянии друг от друга. Связь между периодом интерференционных полос x на экране и параметрами оптической схемы определяется соотношением x=([a+b]/[2(n-1)])(1/a), где  - длина волны света, а – расстояние между целью и бипризмой Френеля, b – расстояние между бипризмой Френеля и экраном, n – показатель преломления бипризмы Френеля,  - угол при вершине бипризмы Френеля. Установив необходимое расстояние a+b, используя длину оптической скамьи и проведя другие настройки установки, определим период интерференционных полос на экране, для чего фиксируем длину отрезка x_m, на котором помещается некоторое количество m полос, стараясь «выбрать» отрезок подлиннее. На этом отрезке считаем либо светлые, либо темные полосы. Меняя расстояние а между щелью и бипризмой, измеряем и заносим в таблицу соответствующие x_m и m. Затем рассчитываем средний период интерференционной полосы x=x_m/m и значение 1/a и также заносим в таблицу. Затем строим график зависимости x от 1/а. Этот график представляет собой прямую с коэффициентом наклона k=[(a+b)]/[2(n-1)] к оси 1/a. Из этого выражения выражаем  и находим длину волны света. С учетом погрешности у меня получилось значение =610^-70,710^-7 м. Как известно, длина волны видимого свет колеблется в интервале от 410^-7 до 810^-7, т.е. полученный нами результат соответствует истине. Таким образом, зная законы и принципы явления интерференции, можно с помощью различных устройств производить измерения с достаточно высокой точностью.

15. Явление дифракции волн. Принцип Гюйгенса-Френеля. Упрощенно дифракцию можно определить как явление огибания волнами препятствий, т.е. нарушение закона прямолинейного распространения света. Более подробное рассмотрение показывает, однако, что этот закон нарушается и тогда, когда волны проходят в средах, содержащих частично поглощающие их предметы или предметы, отличающиеся от среды показателем преломления. Все перечисленные предметы можно объединить термином «оптическая неоднородность». Дифракция включает в себя комплекс явлений, происходящих при распространении волн в средах с оптическими неоднородностями. Дифракция света – совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света сквозь малые отверстия, вблизи границ непрозрачных тел и т.д. и обусловленных волновой природой света. Явление дифракции, общее для всех волновых процессов, имеет особенности для света, а именно здесь, как правило, длина волны  много меньше размеров d преград (или отверстий). Поэтому наблюдать дифракцию можно только на достаточно больших расстояниях l от преграды (ld²/). Принцип Гюйгенса-Френеля: световая волна, возбуждаемая источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля, любая точка волнового фронта является источником вторичной сферической волны. Амплитуда вторичной волны пропорциональна амплитуде первичной волны и площади участка поверхности: dE=E₀(K()/r)(exp[i(t-kr)]ds), где E₀ – (комплексная) амплитуда первичной волны в точках фронта,  - угол между направлением излучения и нормалью к поверхности, r – расстояние от фронта вторичных источников до точки наблюдения, K() – медленно убывающая функция (K()=0). В учебнике предложена другая формула: dE=K()[(AdS)/r] cos(t-kr+), где (t+) – фаза колебания в месте расположения волновой поверхности S, k – волновое число, r – расстояние от элемента поверхности dS до точки P. Вторичные волны от различных точек фронта имеют одну и ту же частоту (ту же, что и у первичной волны), следовательно они когерентны, и в любой точке пространства, накладываясь друг на друга, интерферируют. Интерференция волн, образованных вторичными источниками, и создает картину распределения интенсивности, называемую дифракционной.

16. Осесимметричные задачи дифракции. Зоны Френеля. Метод векторных диаграмм. О дифракции – см. вопрос 15. Различают два вида явления дифракции в зависимости от расстояния точки наблюдения до препятствия или неоднородности, а также от вида волнового фронта в точке наблюдения. Если точка наблюдения расположена достаточно далеко от препятствия и в точку наблюдения после взаимодействия с неоднородностью приходит плоская волна, то говорят о дифракции Фраунгофера. В остальных случаях говорят о дифракции Френеля. В качестве примера рассмотрим взаимодействие светового потока от источника S с непрозрачной плоской преградой, в которой прорезано отверстие произвольной формы. При дифракции Френеля (рис. 5.2a) в точку наблюдения P, расположенную на экране на конечном расстоянии b от преграды, приходят сферические волны от источника, расположенного на конечном расстоянии a от преграды, и от точек контура, ограничивающего отверстие. При дифракции Фраунгофера (рис. 5.2b) световой волны от источника S, бесконечно удалённого от преграды, в точку наблюдения P, также бесконечно удалённую от преграды, приходят плоские волны.

О тсюда следует, что дифракция Френеля проявляется в виде интерференции сферических (цилиндрических) волн, приходящих в точку наблюдения от неоднородности, с которой взаимодействует электромагнитная волна (свет). Интерференция цилиндрических волн, представляющая собой частный случай интерференции сферических волн, имеет место в том случае, когда и световая волна и неоднородность среды распространения обладают общей осью симметрии, вследствие которой поле волны и параметры неоднородности одинаковы в любом сечении, перпендикулярном оси симметрии. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, действие источника S заменяют действием воображаемых источников, расположенных на волновой поверхности Ф (см. 2-й рисунок). Амплитуда световой волны находится в точке М. Френель волновую поверхность Ф разбил на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до точки М отличались на /2: P₁M-P₀M=P₂M-P₁M=P₃M-P₂M=… =/2. Колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на /2, поэтому в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Тогда амплитуда результирующего светового колебания в точке М А=А₁–А₂+А₃–А₄+…, где А₁, А₂ и т.д. – амплитуды колебаний, возбуждаемых соответственно 1-й, 2-й … зонами. Внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты h_m. Учитываем, что <<a и <<b. Высота сферического сегмента h_m=(bm)/(2[a+b]). Площадь сферического сегмента S=2ah_m=(abm)/(a+b). Площадь m-й зоны Френеля. S_m = S_m-S_m-1=(ab)/(a+b). Радиус внешней границы m-й зоны Френеля r_m=((mab)/(a+b)) (учли, что h_m<<a). Построение Френеля разбивает волновую поверхность сферической волны на равновеликие зоны (S_m не зависит от m). Действие на точку М тем меньше, чем больше угол _х (см. 3-й рисунок). A₁>A₂>A₃>A₄>…. Допустимое возможное приближение. Общее число зон, умещающихся на полусфере огромно, а их площади очень малы. A_m=(A_m-1+A_m+1)/2. Амплитуда результирующих колебаний в точке М AA₁/2. Также смотри в лекциях.

1 7. Дифракция Фраунгофера. Волновой параметр. Условия наблюдения дифракции Фраунгофера. О дифракции – см. вопрос 15. По дифракции Фраунгофера также см. вопрос 16, 1-й рисунок. Дифракция Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах) относится к случаю, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Практически для этого достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием. В лабораторных работах, которые мы выполняли в этом семестре, изучалась как раз дифракция Фраунгофера. Как известно, она характеризуется тем, что для нее число Френеля N_ф=((d_max²)/(L))<<1, где d_max – максимальный поперечный размер предмета,  - длина волны, L – расстояние от предмета до плоскости наблюдения. Требуется, однако, заметить, что принципиального различия между дифракцией Френеля и дифракцией Фраунгофера не существует. Один вид непрерывно переходит в другой. Тот или иной вид дифракции существенно зависит от волнового параметра P=([r])/d, где  - длина волна, r – расстояние до точки наблюдения, d – характерный размер препятствия. Если P<<1, то дифракционные явления не наблюдаются, световая волна распространяется прямолинейно, и, следовательно, эта область параметров отвечает геометрической оптике. Если P~1, то в этом случае волновая поверхность заметно искажается, наблюдается отклонение от прямолинейности распространения света, и мы имеем дело с дифракцией Френеля. Когда P>>1 (т.е. точка наблюдения находится бесконечно далеко от препятствия), мы имеем дело с дифракцией плоских волн, т.е. с дифракцией Фраунгофера.

18. Дифракция света на длинной прямой щели в приближении Фраунгофера. Распределение интенсивности дифрагированного света. Угловой размер центрального максимума. О дифракции (в т.ч. Фраунгофера) – см. вопросы 15, 17.

П лоская монохроматическая световая волна падет нормально плоскости щели шириной a. Параллельные пучки лучей, выходящие из щели в произвольном направлении  ( - угол дифракции), собираются линзой в точке В (см. левую половину 1-го рисунка). Открытую часть волновой поверхности MN в плоскости щели разбивают на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М и проведенных так, чтобы разность хода от их соответственных точек равнялась /2. Оптическая разность хода между крайними лучами MN и ND =NF=asin. Число зон Френеля, умещающихся на ширине щели /(/2)=(sin)/(/2). Условие дифракционного минимума в точке В asin=2m/2, m=1, 2, … (число зон Френеля четное). Условие дифракционного максимума в точке В asin=(2m+1)/2, m=1,2,… (число зон Френеля нечетное). Дифракционный спектр – зависимость распределения интенсивности на экране от угла дифракции (см. 2-й рисунок). Основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. С увеличением угла дифракции интенсивность побочных максимумов резко уменьшается. При освещении белым светом центральный максимум имеет вид белой полоски (он общий для всех длин волн), боковые максимумы радужно окрашены. С уменьшением ширины щели центральный максимум расширяется, с увеличением ширины (a>) дифракционные полосы становятся уже и ярче. Краям центрального максимума соответствуют значения угла , получающиеся из условия bsin=. Эти значения равны arcsin(/b). Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна  = 2arcsin(/b). В случае, когда b>>, значение sin(/b) можно положить равным /b. Тогда выше указанная формула упрощается следующим образом: =2/b.

1 9. Применение дифракции для оптических измерений (на основе выполненных лабораторных работ). См. вопросы 15, 17, 18. В 3-й и 4-й лабораторной работах мы изучали явление дифракции и его применение для различных оптических измерений. Целью 3-й работы, которая называлась «Дифракция света на щели», было ознакомление с явлением дифракции света и использованием его для измерения и контроля размеров отверстий в деталях и изделиях. Установка состоит из лазера, который устанавливается на одном конце оптической скамьи, и экрана наблюдения, который устанавливается на другом конце так, чтобы расстояние L от щели до экрана составляло около 1 м. При прохождении излучения через щель интенсивность света в любой точке экрана, расположенного в дальней зоне, зависит от числа зон Френеля, наблюдаемых в щели из этой точки. В случае дифракции Фраунгофера на щели зоны Френеля имеют вид узких прямолинейных полос, параллельных краям щели. Ширина зон Френеля зависит от угла наблюдения  (см. рисунок) и определяется из условия, чтобы разность хода волн от краев зоны равнялась /2: =/(2sin). Число наблюдаемых в щели зон Френеля равно b/, где b – ширина щели. Если это число четное, то интенсивность света в точке наблюдения равна нулю, т.к. волны от любых двух соседних зон Френеля приходят в противофазе. Если же число зон Френеля нечетное (кроме нуля), то излучение одной из зон остается некомпенсированным и на экране наблюдается максимум интенсивности. Представим условие наблюдения минимумов интенсивности на экране в виде b/=2m, где m – целое число. Отсюда с учетом выражения для разности хода волн (см. выше) получаем условие bsin=m. Соответственно, максимумы интенсивности получаются при условии bsin=(m+1/2). Так как для дальней зоны sin_m, _m=m/b. Из рисунка очевидно также, что =x_m/, где L – расстояние от щели до экрана. С учетом того, что положение центра дифракционной картины определяется с меньшей точностью, чем положения минимумов, рабочей формуле, позволяющей вычислять ширину щели по дифракционной картине, разумно придать следующий вид: b=(2mL)/(2x_m), где 2x_m – расстояние между двумя симметричными минимумами порядка m. Проведя необходимые измерения, вычислив ширину щели и посчитав погрешность, т.е. фактически проведя контроль размера отверстия какой-либо гипотетической детали, мы можем сделать вывод о применимости явления дифракции Фраунгофера на щели к контролю размеров деталей и изделий. Целью 4-й лабораторной работы, называвшейся «Измерение периода дифракционной решетки», было ознакомление с явлением дифракции света и использованием его для измерения периода дифракционной решетки. По дифракционной решетке – см. также вопрос 22. Дифракционную решетку используют в качестве спектрального прибора для измерения длин волн излучения видимого диапазона. При этом она должна быть аттестована. Аттестация заключается в измерении периода дифракционной решетки d с помощью квазимонохроматического излучения, для которого средняя длина волны  известна с точностью, превышающей точность спектральный измерений. В выполненной нами работе период дифракционной решетки, изготовленной голографическим методом, измеряется с помощью излучения гелий-неонового лазера, для которого длина волны =0,6328 мкм. Принципиальная схема измерительной установки изображена на 2-м рисунке, где 1 – гелий-неоновый лазер, 2 – голографическая дифракционная решетка, установленная на держателе, 3 – экран наблюдения с измерительной шкалой. Все элементы измерительной установки располагаются на оптической скамье. На экране наблюдается дифракционная картина, получаемая после прохождения лазерного луча через дифракционную решетку и состоящая из ряда ярких точек, соответствующих максимумам порядков m=0,1,2. Угловые положения максимумов описываются формулой, полученной из условия, чтобы разность хода от любых двух соседних щелей решетки до точки наблюдения была бы кратна длине волны: sin_m=(m)/d, m=0,1,2. Отсюда по известным значениям , m и sin можно найти d, что мы, проведя все необходимые измерения, и сделали. Как показывают результаты проведенных нами лабораторных работ, явление дифракции света можно использовать в различных областях деятельности человека, таких как промышленность, научно-исследовательская деятельность, для различных оптических измерений - контроля размеров деталей и изделий и т.п.

20. Спектральный состав и спектральное разложение света. Вообще говоря, спектр – это всех значений какой-либо величины, характеризующей систему или процесс. Чаще всего говорят о понятиях частотного спектра колебаний (в т.ч. электромагнитных), спектра энергий, импульсов и масс частиц. Дадим понятие дисперсии света. Дисперсия света – зависимость фазовой скорости света в среде от его частоты. Так как v=c/n, то показатель преломления среды оказывается зависящим от частоты  (длины волны ). Нормальная дисперсия dn/d>0или dn/d<0 (n уменьшается с увеличением ). Аномальная дисперсия dn/d<0 или dn/d>0 (n увеличивается с уменьшением , наблюдается вблизи полос поглощения вещества). Дисперсия показателя преломления D=dn/d показывает, как быстро изменяется показатель преломления n с длиной волны . Дисперсия света наблюдается в виде разложение света в спектр, например, при прохождении его через стеклянную призму. Призма является одним из простейших спектральных приборов. О спектральных приборах – см. вопрос 21. Часть спектра, воспринимаемая человеческим глазом, лежит в интервале длин волн от 760 (красный) до 400 (фиолетовый) нм. Спектр включает семь основных цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый. Наибольшую чувствительность глаз обладает к желто-зеленому излучению длиной волны примерно 555 нм.

2 1. Спектральные приборы. Разрешающая способность. Критерий Рэлея. В середине 17-го века молодой английский физик Исаак Ньютон заинтересовался поведением солнечных лучей, проходящих через призму – стеклянное тело, имеющее в сечении треугольник. Призма р азлагала солнечный свет в спектр (см. рисунок). Призма – простейший спектральный прибор. Появление спектра объясняется, тем что 1) угол отклонения лучей призмой =A(n-1); 2) n – функция длины волны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся отклоненными на разные углы, т.е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр (призматический спектр). Дифракционная решетка (см. вопрос 22) тоже является спектральным прибором. Различия в дифракционном и призматическом свете представлены в ниже следующей таблице:

Дифракционная решетка	Призма
Разлагает падающий свет непосредственно по длинам волн, поэтому по измеренным углам (по направлениям максимумов) можно вычислить длину волны	Разлагает падающий свет по значениям показателей преломления, поэтому надо знать зависимость преломления конкретного вещества от длины волны.
Красные лучи отклоняются сильнее, чем фиолетовые (красные лучи имеют большую длину волны, чем фиолетовые (см. условие дифракционного максимума dsin=m, m=0,1,2,…)).	Красные лучи отклоняются слабее, чем фиолетовые, так как для красных лучей показатель преломления меньше.

Характеристиками спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая способность. Дисперсия определяет угловое (или линейное) расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на 1 нм). Разрешающая способность определяет минимальную разность длин волн , при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно. Угловой дисперсией называется величина D=/, где  - угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на . Линейной дисперсией называют величину D_лин=l/, где l – расстояние на экране или на фотопластинке между спектральными линиями, длины волн которых отличаются на . Разрешающей способностью спектрального прибора называют безразмерную величину R=/, где  - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно. Возможность разрешения (т.е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними (которое определяется дисперсией прибора), но и также от ширины спектрального максимума (см. вопрос 22). П риведем критерий Рэлея (в общем виде): изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями и одинаковыми симметричными контурами разрешимы (разделены для восприятия), если центральный максимум дифракционной картины от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого. Результирующая интенсивность (сплошные кривые на рисунке 2), наблюдающаяся при наложении двух соседних максимумов (пунктирные кривые). На части «а» 2-го рисунка максимумы разрешены. При выполнении критерия Рэлея интенсивность «провала» между максимумами составляет 80% интенсивности в максимуме, что является достаточным для разрешения линий ₁ и ₂ (рисунок 2-й, часть «б»). На рисунке 2, часть «в» оба максимума воспринимаются как один. Приведем также формулу для разрешающей способности объектива: R=1/(), где  - наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще разрешаются оптическим прибором.

22. Дифракционная решетка. Разрешающая способность. Угловой размер главных максимумов. По дифракционной решетке также см. вопрос 19. Одномерная дифракционная решетка – система параллельных щелей (штрихов) равной толщины, лежащий в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Постоянная (период) дифракционной решетки d=a+b – суммарная ширина щели а и непрозрачного промежутка b между щелями. Дифракционная картина на решетке – результат взаимной интерференции волн, идущих от всей щелей, т.е. осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей. Главные минимумы наблюдаются при условии, соответствующем одной щели asin=m (m=1, 2, …). Главные максимумы наблюдаются при условии dsin=m (m=0, 1, 2…), где m – порядок главных максимумов. Если какие-то значения  одновременно удовлетворяют условиям главных максимумов и минимумов, то главные максимумы, отвечающие этим направлениям, не наблюдаются (если а=d/3, то каждый третий главный максимум не наблюдается (см. левую часть рисунка)). Дополнительные минимумы dsin=(m)/N, m0, N, 2N, … (N – число щелей дифракционной решетки). Между каждыми двумя главными максимумами находятся N-1 дополнительных минимумов. Имеют место также N-2 дополнительных максимумов, интенсивность которых ничтожна по сравнению с главными максимумами (см. правую часть рисунка). Чем больше число щелей в дифракционной решетке, тем больше световой энергии пройдет через решетку, тем больше минимумов образуется между соседними главными максимумами, т.е. максимумы будут более интенсивными и более острыми. Определим угловую ширину центрального максимума. Положения ближайших к нему дополнительных минимумов определяются условием dsin=/N. Следовательно, этим минимумам соответствуют значения , равные arcsin(/(Nd)). Отсюда для угловой ширины центрального максимума получается выражение =2arcsin(/(Nd))2/(Nd). В этом выражении мы воспользовались тем, что /(Nd)<<1. Ширина остальных максимумов примерно такого же порядка. Произведение Nd дает длину дифракционной решетки. Следовательно, угловая ширина главных максимумов обратно пропорциональная длине решетки. Положение главных максимумов (кроме центрального) зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы ненулевого порядка разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, а красный – наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Характеристиками спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая способность. Дисперсия определяет угловое (или линейное) расстояние между двумя центральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу. Разрешающая способность определяет минимальную разность длин волн , при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно. Разрешающая способность дифракционной решетки R_д.р.=mN, где m – порядок спектра, N – число щелей. Подробнее о разрешающей способности – см. вопрос 21.

2 5. Законы внешнего фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна. Красная граница фотоэффекта. В 1887 г. Генрих Герц, проводя физические опыты, обнаружил, что искровой разряд между двумя металлическими шариками происходит значительно интенсивнее, если один из шариков освещать ультрафиолетовыми лучами. Измерение удельного заряда вылетающих из металла под действием излучения частиц позволило установить, что частицы являются электронами. Это новое явление получило название электрического эффекта (или фотоэффекта). Внешний (кроме внешнего, существуют внутренний и вентильный) фотоэффект – явление испускания электронов вещества под действием излучения. Детальное экспериментальное исследование закономерностей внешнего фотоэффекта для металлов (а именно с ними в первую очередь принято связывать фотоэффект, хотя, конечно, эмиссия электронов под действием излучения наблюдается практически для всех веществ) было выполнено в 1888-1890 гг. российским физиком Александром Григорьевичем Столетовым. Он использовал установку, схема которой изображена на рисунке. Фотоэлемент в виде вакуумной двухэлектродной лампы имеет металлический катод К, который при освещении его через кварцевое окошко видимым светом или ультрафиолетовым излучением испускает электроны. Вылетевшие из катода фотоэлектроны, достигая анода А, обеспечивают протекание в цепи электрического тока, который фиксируется гальванометром или миллиамперметром.

Специальная схема подключения источника позволяет изменять полярность напряжения, подаваемого на фотоэлемент. Подобную установку мы изучали на лабораторной работе №5 по фотоэффекту, определению постоянной Планка и работы выхода электронов. Качественный вид вольт-амперной характеристики такого фотоэлемента, то есть зависимости фототока I (на рисунке – J) от напряжения от напряжения U между катодом и анодом для случая неизменного светового потока, падающего на катод, представлена на 2-м рисунке. Положительное напряжение соответствует ускоряющему электрическому полю, в которое попадают вылетающие из катода электроны. Поэтому, в области положительных напряжений все испускаемые катодом электроны достигают анода, обуславливая фототок насыщения I_нас. Небольшой спад фототока при малых положительных напряжениях, который наблюдается в опытах, связан с контактной разностью потенциалов между катодом и анодом. Ниже, при обсуждении закономерностей фотоэффекта мы будем пренебрегать влиянием контактной разности потенциалов. При отрицательном напряжении U<0 испущенный катодом электрон попадает в тормозящее электрическое поле, преодолеть которое он может лишь имея определенный запас кинетической энергии. Электрон с малой кинетической энергией, вылетев из катода, не может преодолеть тормозящее поле и попасть на анод.

Такой электрон возвращается на катод, не давая вклада в фототок. Поэтому плавный спад фототока в области отрицательных напряжений указывает на то, что вылетающие из катода фотоэлектроны имеют разные значения кинетической энергии. При определенном отрицательном напряжении, величину которого U_з называют задерживающим напряжением (потенциалом), фототок становится равным нулю. Соответствующее тормозящее электрическое поле при этом задерживает все вылетающие из катода электроны, включая электроны с максимальной кинетической энергией E_max. Измерив задерживающее напряжение, можно определить эту максимальную энергию или максимальную скорость v_max фотоэлектронов из соотношения E_max=(mv_max²)/2=eU_з. Экспериментально были установлены следующие основные законы фотоэффекта: 1) максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности; 2) число фотоэлектронов n, вырываемых из фотокатода за единицу времени, пропорционально интенсивности света; 3) для любого вещества существует минимальная частота света _кр, при которой еще возможен фотоэффект. Эту граничную частоту называют частотой красной границы фотоэффекта. По шкале длин волн ей соответствует длина волны красной границы кр, такая, что фотоэффект из данного вещества вызывает излучение лишь с меньшей длиной волны. К чести российской науки, надо отметить, что первый закон фотоэффекта как раз и был открыт отечественным ученым А.Г. Столетовым. Законы фотоэффекта, кстати, невозможно объяснить с помощью законов электродинамики Максвелла, согласно которым свет – это электромагнитная волна, непрерывно распределенная в пространстве. Попытки дать такое объяснение оказались безрезультатными. Действительно, объясняя вырывание электронов из металла силовым воздействием на них со стороны электрического поля волны, такая теория неизбежно приходила к выводу о том, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов должна определяться световым потоком, падающим на катод. Наличие красной границы у фотоэффекта также противоречило выводам волновой теории. Объяснение фотоэффекта было дано в 1905 г. Эйнштейном, развившим идеи Планка о прерывистом испускании света. В экспериментальных законах фотоэффекта Эйнштейн увидел убедительное доказательство того, что свет имеет прерывистую структуру и поглощается отдельными порциями. Энергия E каждой порции излучения в полном соответствии с гипотезой Планка пропорциональна частоте: E=h, где h – постоянная Планка. Однако, из того факта, что свет излучается порциями, еще не вытекает прерывистая структура самого света. Эйнштейн по этому поводу сказал: «Если пиво всегда продается в бутылках, содержащих пинту, отсюда не следует, что пиво состоит из неделимых частей, равных пинте». Лишь явление фотоэффекта показало, что свет имеет прерывистую структуру: излученная порция световой энергии E=h сохраняет свою индивидуальность и в дальнейшем. Поглотиться может только вся порция целиком. Из закона сохранения энергии следует уравнение Эйнштейна: h=A+E_max или h=A+(mv_max²)/2. Следовательно, красная граница фотоэффекта равна _кр=A/h. Внешний фотоэффект используется в фотоэлементах, которые находят широкое применение в технике (фотореле, люксметры – приборы для измерения освещенности, системы звукозаписи на пленку, фотоэлектронных умножителях и т.д.).

26. Эффект Комптона. Энергия и импульс фотона. Корпускулярно-волновой дуализм частиц. В 1923 г. Артур Комптон, изучая рассеивание рентгеновских лучей различными веществами, обнаружил что среди рассеянных лучей наряду с первичным излучением длиной волны , присутствует излучение с длинами волн с >. Этот эффект получил название эффекта Комптона. Сформулируем его: упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и -излучений) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны. Открытие и объяснение этого эффекта квантовой оптики в 1927 г. было удостоено Нобелевской премии по физике. Комптоновский сдвиг =-=2_Сsin²(/2)=_C(1-cos), где  - длина волны рассеянного излучения,  - длина волны падающего излучения, _C=h/(mc)=2,43 пм – комптоновская длина волны электрона, h – постоянная планка, m – масса электрона, m – масса электрона, c – скорость света в вакууме. Разность  не зависит от длины волны  падающего излучения и от природы рассеивающего вещества, а зависит только от угла  между направлениями рассеянного и первичного излучений. Интерпретация эффекта Комптона с точки зрения волновой теории: эффект Комптона необъясним на основе волновых представлений! Согласно волновой теории, механизм рассеяния объясняется «раскачиванием» электронов электромагнитным полем падающей волны. В таком случае частота рассеянного излучения должна совпадать с частотой излучения падающего. С точки зрения квантовой теории эффект Комптона рассматривается как упругое рассеяние фотона на свободном покоящемся электроне. Фотон, столкнувшись с электроном, передает ему часть своей энергии и импульса и изменяет направление движения (рассеивается). Уменьшение энергии фотона означает увеличение длины волны рассеянного излучения. p – импульс налетающего фотона, p - импульс фотона, рассеянного под углом , p_e – импульс электрона отдачи. Запишем законы сохранения при комптоновском эффекте: закон сохранения энергии W₀+=W+, представим в виде mc²+h=(p_e²c²+m²c⁴)+h, где W₀=mc² – энергия электрона до столкновения, W=(p_e²c²+m²c⁴) – энергия электрона после столкновения, =h- энергия фотона до столкновения, =h - энергия фотона после столкновения; закон сохранения импульса p+0=p_e+ p, где p – импульс фотона до столкновения, 0 – импульс электрона, p_e - импульс электрона после столкновения, p - импульс фотона после столкновения. Из законов сохранения энергии (mc²+h=(p_e²c²+m²c⁴)+h) и импульса (p_e²=p²+p²-2ppcos), где использовали теорему косинусов из рисунка и с учетом формул p=h/c; p=h/c; =c/; =c/; =-, получаем формулу для комптоновского сдвига =(h/[mc])(1-cos)=[(2h)/(mc)]sin²(/2). Корпускулярно-волновая двойственность свойств электромагнитного излучения. Как известно, электромагнитное излучение обнаруживает единство корпускулярных и волновых свойств. Существуют явления, подтверждающие квантовые представления о природе света – излучение черного тела, фотоэффект, эффект Комптона, есть явления подтверждающие волновую природу света – интерференция, дифракция, поляризация света, а также явления, объясняемые как волновой, так и квантовой теорией – давление и преломление света. Нам известны уравнения, связывающие корпускулярные свойства электромагнитного излучения (энергия и импульс фотона) с волновыми свойствами (частота, длина волны): =h=(hc)/, p=(h/c)=h/. Проявление волновых и корпускулярных свойств света. Рассмотрение оптических явлений приводит к выводу, что свойства непрерывности, характерные для электромагнитного поля световой волны, не следует противопоставлять свойствам дискретности, характерным для фотонов. Свет, обладая одновременно корпускулярными и волновыми свойствами, обнаруживает определенные закономерности в их проявлении. Проявление волновых свойств света – в закономерностях его распространения, интерференции, дифракции, поляризации света. Чем больше длина волны, тем меньше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются квантовые свойства света (с этим связано, например, существование «красной границы» фотоэффекта). Проявление корпускулярных свойств света – в процессах взаимодействия света с веществом. Чем меньше длина волны, тем больше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются волновые свойства света (например, дифракция рентгеновского излучения обнаружена лишь после применения в качестве дифракционной решетки кристаллов).

27. Опыт Дэвиссона и Джермера. Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм частиц. Недостаточность теории Бора заставила физиков пересмотреть основы квантовых представлений. Возник вопрос, насколько правомочно рассматривать микрочастицы, например, электрон как механическую частицу с определенной скоростью и координатами. Углубленные знания о световых явлениях говорят о том, что световым явлениям присущ корпускулярно-волновой дуализм. В таких явлениях, как интерференция, дифракция проявляются волновые свойства света, а в таких как фотоэффект и эффект Комптона – корпускулярные свойства. В 1924 г. Луи де Бройль высказал смелое предположение о том, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только световым явлениям, но и вообще всем микрочастицам вещества. Это предположение получило название гипотезы де Бройля. Итак, гипотеза де Бройля: корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер и распространяется не только на фотоны, но и на все частицы материи: частицы вещества (в частности, электроны) обладают наряду с корпускулярными также и волновыми свойствами. Приведем уравнения, связывающие корпускулярные свойства (энергия и импульс) и волновые (частота, длина волны) характеристики микрочастиц; эти формулы такие же, что и для фотона. E=h= h и p=h/=hk, где k=2/ - волновое число, h=h/(2) – постоянная Планка, =2 - циклическая частота. Длина волны де Бройля =h/p – длина волны, связываемая с частицей. Гипотеза де Бройля вскоре была прекрасно подтверждена экспериментально. Дэвиссон и Джермер в 1927 г. обнаружили дифракцию электронов при рассеянии их на кристаллической пластинке из никеля. Пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки – кристалла никеля, дает отчетливую дифракционную картину. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа-Брэггов (2dsin=m), а брэгговская длина волны оказалась в точности равной длине волны, вычисленной по формуле =h/p. Джордж Томсон и независимо от него Тартаковский установили дифракцию электронов при рассеянии их на тонких металлических фольгах. Пучок падал на тонкую металлическую фольгу, испытывал дифракцию и затем попадал на фотопластинку, на которой регистрировалось распределение интенсивности электронов. В 1929 г. немецкий физик Отто Штерн с сотрудниками обнаружили дифракционные явления для атомарных и молекулярных пучков. Во всех этих экспериментах наблюдалась дифракционная картина, соответствующая волновому процессу с длиной волны де Бройля. (x,y,z,t)=₀exp[-i(t-k_xx-k_yy-k_zz)]=₀exp[-i(t-kr)]=₀exp[(-i/h)(Et-Pr)], в последней формуле учли, что E=h и P=hk. Если частица имеет отличную от 0 массу покоя и движется со скоростью v~c, то m_{частицы}=m₀/(1-²), =v/c, v=c. P=mv=m₀/(1-²). Длина волны де Бройля =(2h(1-²))/(m₀c), а при v<<c, p=mvб =2h/(mv). Как и в случае электромагнитных волн корпускулярные и волновые свойства микрочастиц нельзя наблюдать одновременно, поэтому мы не можем ответить на вопрос, какое описание является «истинным». Мы можем лишь сказать, что в одних случаях проявляются корпускулярные свойства частиц, а в других – волновые свойства. Таким образом, корпускулярное и волновое описание микрообъектов должны рассматриваться как равноправные точки зрения на один и тот же объективных процесс. Гипотеза де Бройля позволила обосновать теорию Бора для атома водорода. Согласно де Бройлю, электрону в атоме соответствует стоячая волна, которая замыкается на себя. … (подробнее см. в лекциях) Корпускулярно-волновой дуализм лежит в самой природе вещества.

28. Теория Бора для атома водорода. Энергетический спектр атома водорода. В 1911 г. Э. Резерфорд предложил ядерную модель атома, согласно которой атом представляет собой массивное положительно заряженное ядро с зарядом +Ze (размер ~10^-12), вокруг которого на относительно больших расстояниях ~10^-8 см, вращаются отрицательно заряженные электроны. Согласно классической электродинамике, всякий ускоренно движущийся заряд непрерывно излучает энергию. Поэтому электрон, «растеряв» всю свою энергию на излучение, в конце концов должен упасть на ядро, и атом должен прекратить свое существование. Таким образом, было установлено, что ядерная модель атома Резерфорда не способна объяснить ни устойчивость, ни характер спектров излучения атомов в рамках классической механики и электродинамики. Выход из положения был найден в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором, который построил теорию атома водорода, противоречащую как классической механике, так и электродинамике. Свою полуклассическую теорию Бор сформулировал в виде 2-х постулатов. Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии; эти состояния характеризуются определенными дискретными значениями энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарных орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные (квантованные) значения момента импульса, удовлетворяющие условию m_ev_nr_n=nh, n=1, 2, 3, …). Второй постулат Бора (правило частот): при переходе атома из одного стационарного состояния в другое излучается (поглощается) фотон с энергией h=E_n-E_m, равной разности энергий соответствующих стационарных состояний. В выше указанных формулах m_e – масса электрона, v_n – его скорость на n-й орбите радиуса r_n; h=h/(2) – постоянная Планка; E_n и E_m – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения). При E_m<E_n происходит излучение фотона, при E_m<E_n – его поглощение. Набор возможных дискретных частот =(E_n-E_m)/h квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома. Постулаты Бора были подтверждены в опытах Франка и Герца (подробнее см. в лекциях). Рассмотрим подробнее понятие энергетического спектра атома. Спектры излучения атомов – важнейшие характеристики их оптических свойств – состоят из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий; их называют линейчатыми спектрами. Каждому элементу присущ свой, характерный только для него, спектр излучения, служащий своего рода «отпечатком пальцев», позволяющим определить элемент, которому он принадлежит. Вид линейчатого спектра не зависит от способа возбуждения атома. Наиболее изученным спектром излучения является спектр излучения атома водорода – простейшего атома, состоящего из массивного ядра (протона) и электрона, движущегося в кулоновском поле ядра. Приведем в таблице экспериментальный спектр излучения атома водорода:

Область спектра	Название серии	Сериальная формула
Ультрафиолетовая	Серия Лаймана	=R(1/1^2-1/n^2),n=2,3,…
Видимая	Серия Бальмера	=R(1/2^2-1/n^2),n=3,4,…
Инфракрасная	Серия Пашена Серия Брэкета Серия Пфунда Серия Хэмфри	=R(1/3^2-1/n^2),n=4,5,… =R(1/3^2-1/n^2),n=5,6,… =R(1/5^2-1/n^2),n=6,7,… =R(1/6^2-1/n^2),n=7,8,…

В этой таблице величина R=3,2910¹⁵ с^-1 – постоянная Ридберга. Обобщенная формула Бальмера (для частоты) =R(1/m²-1/n²). В каждой данной серии m имеет постоянное значение, m=1, 2, 3, 4, 5, 6 (определяет серию), n принимает целочисленные значения начиная c числа m+1 (определяет отдельные линии данной серии). Обобщенная формула Бальмера (для длины волны) 1/=R(1/m²-1/n²), где R=R/c=1,110⁸ м^-1 – постоянная Ридберга. Спектральную линию с наибольшей длиной волны из всех линий данной серии называют головной линией серии. Линия, соответствующая n=, - коротковолновая граница; к ней примыкает непрерывный спектр. Приведенные выше сериальные формулы подобраны эмпирически и долгое время не имели теоретического обоснования, хотя и были подтверждены экспериментально с очень большой точностью. В последствии Бор обосновал и объяснил и существование дискретных энергетических уровней, и устойчивость атомов, и характер спектра излучения атома водорода. Впрочем, надо заметить, что теория Бора внутренне противоречива. Она не является ни до конца ни до конца классической, ни квантовой. Теорию Бора следует рассматривать как переходную теорию от классических представлений к квантовым представлениям. Также см. лекции.