Прямая задача кинематики манипуляторов.

Задача состоит в определении положения, скоростей и ускорений его звеньев и отдельных точек по известным законам изменения его обобщенных координат.

С каждым звеном связываем систему координат. - неподвижная, остальные – подвижные.

Обобщенные координаты:

- угол поворота звена “1” относительно звена “0” вокруг оси

- перемещение звена “2” относительно звена “1” вдоль оси

- угол поворота звена “3” относительно звена “2” вокруг оси

В задаче о положениях определим координаты центра схвата в неподвижной системе координат , если известны координаты точки в системе

Для этого осуществляем последовательный переход от системы к системе

Матрица полностью определяет ориентацию руки “3” в неподвижной системе координат , так как столбцы этой матрицы представляют собой направление косинуса осей

Угловая скорость любого звена манипулятора определяется на основании соотношения:

- абсолютная частота.

- переносная частота.

- относительная частота.

относительно звена “1” , так как звенья “2” и “1” связаны поступательной парой.

Запишем в неподвижной системе координат:

Угловое ускорение получим путем дифференцирования выражения угловой скорости:

Линейные скорости и ускорения точек можно получить путем дифференцирования выражений координат:

Обратная задача кинематики манипулятора.

Эта задача состоит в определении таких законов изменения обобщенных координат, которые обеспечивают заданное перемещение схвата.

Положение схвата может быть задано с помощью шести величин, причем три из них – координаты цента схвата, а остальные три – определяют ориентацию схвата в пространстве. В качестве таких параметров можно принять направляющие косинусы одной оси и один – другой оси:

, где “n” – последнее звено со схватом.

Тогда в качестве направляющих косинусов можно принять . В результате получим шесть уравнений с неизвестными обобщенными координатами.

Если , то число неизвестных равно числу уравнений и система имеет решение.

Если , то система имеет множество решений.

Если , то система не имеет решений.

Если требуется попадание центра схвата в определенную точку, а ориентация значения не имеет, то эта задача решается манипулятором с .

Рассмотрим обратную задачу на примере манипулятора

Известны координаты центра схвата:

.

Определить:

Используем формулы (1), (2) и (3), полученные при решении прямой задачи:

Разделим (2) на (1):

Из выражения (3) находим :

Из выражения (1) находим :

Если задана траектория центра схвата , то расчет по формулам (4) – (6) повторяется многократно для каждого положения .

Силовой расчет манипулятора.

Эта задача состоит в определении реактивных сил и моментов в кинематических парах, а также движущих сил и моментов приводных двигателей. Эта задача решается методом кинетостатики, основанном на принципе Даламбера.

Главный вектор сил инерции звена:

Главный момент сил инерции определяется в подвижной системе координат, связанной со звеном:

- тензор инерции в центре масс.

Осевые моменты инерции:

Центральные моменты инерции:

Если координатные оси совпадают с главными центральными осями инерции, то центробежные моменты инерции равны нулю. Такими осями являются оси инерции. В этом случае:

Рассмотрим силовой расчет манипулятора . Находим силы инерции звеньев и транспортируемой детали:

Определяем моменты сил инерции звеньев:

Расчет начинаем с последнего звена “3”. Рисуем его расчетную схему.

Уравнение сил:

- сила тяжести детали.

- сила тяжести звена “3”.

- неизвестная реакция звена “3” со стороны звена “2”.

!!!!!!

Уравнение равновесия моментов относительно точки “C”:

- неизвестный реактивный момент, действующий на звено “3” со стороны звена “2”. Находим :

В результате векторное уравнение моментов приводится к трем скалярным уравнениям, из которых определяется :

- движущий момент во вращательной паре “C”.

Известными являются .

Из уравнения равновесия определяется

- движущая сила в поступательной паре “B”.

Последним рассматривается звено “1”:

Из уравнения равновесия определяется

- движущий момент во вращательной паре “A”.