физика Литвинова н. н. электромагнетизм конспект ответы ВОЛНОВАЯ ОПТИКА / Электричество и магнетизм. Лаб. практикум 2

vk.com/club152685050

		1	1	1		1
		dI		q
	L		+ RI +		= ε,		(4)
		dt		C
где I1 – комплексная сила тока; ε1				– комплексная запись внешней
ЭДС
	ε1 = ε0ej(ωt+ϕ) = ε10ejω.						(5)
В этой записи ε0	= | ε1 |	– «обычная» амплитуда (положительная
величина), тогда как	ε10=ε(cosϕ+ jsinϕ)					– «комплексная амплитуда».

Уравнение (4) эквивалентно (2) в следующем смысле: веществен ная часть решения уравнения (4) является решением исходного урав нения (2). Подставив (5) в (4), продифференцируем левую и правую

части полученного равенства
	d	2 1		1		1 1	1	jωt
L		I	+ R	dI	+				.	(6)
		2		dt		I = jωε0e
	dt					C

Суть этой выкладки в том, что мы перешли к уравнению с одной 1 = 1( ).

неизвестной функцией I I t Будем искать решение в комплекс ной форме

				1 1	jωt		,		(7)
1				I = I0e
	– комплексная амплитуда тока.
где I0
Подставим (7) в (6). После несложных преобразований получим
		ε1	0	=R+jL+			1	.	(8)
		1				jωC
		I0

Таким образом, отношение в левой части равенства (8) равно ком плексному сопротивлению и называется импедансом. Импеданс ко лебательного контура будем обозначать буквой Z

Z=R+jωL+	1	=R+j(L −	1	).	(9)
	jωC
			ωC

Активным сопротивлением колебательного контура называется действительная часть импеданса Re (Z) =R. Реактивным сопротив лением называется мнимая часть импеданса

Im(Z)=L −	1	.	(10)
	ωC

Реактивное сопротивление есть разность индуктивного и емкост ного сопротивлений.

В экспоненциальной записи импеданс колебательного контура имеет вид Z1 = Z0ejψ, где

11

vk.com/club152685050

	Z = R2 +(ωL −			1		)2	,	(11)
				ωC
	0
		ωL −	1
	ψ = arctg		ωC		.			(12)

R

Модуль импеданса Z0 называется полным сопротивлением коле бательного контура на частоте ω. Аргумент импеданса ψравен разно сти фаз колебаний вынуждающей ЭДС и силы тока в контуре (это следует из определения импеданса (8); напомним, что аргумент отно шения двух комплексных чисел равен разности аргументов делимого и делителя).

Из (8) также следует, что амплитуда силы тока связана с ампли тудой ЭДС соотношением

I0	=	ε0	.	(13)
		Z0

Полное сопротивление колебательного контура (11) минимально при равенстве нулю реактивного сопротивления

	ωL −	1	=0.	(14)
		ωC

Равенство (14) является условием резонанса в цепи колебатель ного контура. Циклическая частота, определяемая при решении урав нения (14), называется резонансной частотой

ω =	1	.	(15)
р	LC

Резонансная частота ωр не зависит от активного сопротивления контура и совпадает с частотой незатухающих колебаний ω0. При стремлении частоты ωвынуждающей ЭДС к резонансной частоте ωр, амплитуда тока резко возрастает и на резонансной частоте достигает максимального значения

I0 max = ε0 .	(16)
R

При этом разность фаз y становится равной нулю. Резкое возрас тание амплитуды тока при стремлении ωк ωр называется явлением резонанса, а кривая зависимости I0 от ω– резонансной кривой.

На рис. 1 приведены резонансные кривые для трех значений сопро тивлений колебательного контура R1 < R2 < R3. Резонанс выражен тем отчетливее, чем меньше активное сопротивление контура, т. е.

12

vk.com/club152685050

чем меньше энергетические потери на джоулево тепло. Характерный параметр резонансной кривой – ее ширина на уровне, соответствую щем половине максимальной мощности (рис. 2)

∆ω= ω2 −ω1,	(17)
где ω1 и ω2 – значения циклических частот, на которых

I2	= 1 I2 .		(18)
0	2	0max
Можно показать, что
	∆ω= R .		(19)
		L

Избирательные свойства колебательного контура зависят от «ос троты» резонансной кривой. О форме этой кривой можно судить по ее относительной ширине ∆ω/ωр (или по обратной величине Q).

Важная характеристика колебательной системы – добротность. Эта величина не зависит от режима вынужденных колебаний (от при ложенной к контуру ЭДС ε). Свободные колебания колебательной системы (случай ε=0) являются затухающими вследствие потерь на джоулево тепло. При этом средняя за период энергия колебаний E экспоненциально убывает. Поэтому отношение ∆E/E остается неиз менным (здесь ∆E=E(t+T) – E(t); T – период колебаний). Добротность

контура Q характеризуют обратной величиной E/∆E
Q=2π(E/∆ E).	(20)
Итак, добротность контура Q показывает, во сколько раз запасен

ная в контуре энергия превосходит среднюю энергию, теряемую за один период колебаний. Добротность – величина безразмерная.

I0		I0max
		I0max
		2
	R1
	R2
	R3
0	ω	ω1 ωр ω2	ω

Рис. 1. Семейство резонанс	Рис. 2. Параметры резонансной
ных кривых	кривой

13

vk.com/club152685050

B теории колебаний доказывается, что добротность может быть найдена по ширине резонансной кривой (17)

Q ≈	ωр	.	(21)
	∆ω

Это соотношение выполняется с большой точностью в случае, ког да потери сравнительно невелики, или, что то же, когда ∆ω<<ωр (ряд пояснений к формулам добротности указан в дополнении к данной работе).

Преобразуя (20) с помощью (15) и (19), находим

		Q =	ρ	,	(22)
			R
где ρ =	L	– величина, называемая волновым сопротивлением кон
тура.	C

Описание лабораторной установки

Схема лабораторной установки приведена на рис. 3. В качестве источника вынуждающей гармонической ЭДС используется звуко вой генератор (ЗГ). При помощи ключа П1 колебательный контур подключается к генератору звуковых колебаний. Переключатель П2 позволяет включить в цепь контура конденсатор с известной емкос тью С0 или с неизвестной емкостью Сx. При помощи переключателя П3 можно изменить активное сопротивление контура, подключая сопротивления R1 или R2. Сила тока в контуре измеряется при помо щи миллиамперметра.

Значения параметров колебательного контура указаны на лабо раторном макете.

L	R1
	П3
	R2
ЗГ	Сx	С0
		П2
П1	мА

Рис. 3. Электрическая схема лабораторной установки

14

vk.com/club152685050

Порядок выполнения работы

Ключ П1 установить в положение «Выкл.» Включить звуковой генератор и дать ему прогреться 10 мин. В цепь колебательного кон тура включить конденсатор известной емкости С0 и сопротивление R1. При помощи ключа П1 замкнуть цепь контура и убедиться, что на звуковом генераторе установлены рекомендуемые диапазон час тот и выходное напряжение.

Провести измерения силы тока в контуре, последовательно изме няя частоту звукового генератора. Убедившись в наличии резонан са, следует с особой тщательностью провести измерения силы тока вблизи резонансной частоты (эти измерения нужно проводить через меньшие интервалы частот). Заменив в контуре сопротивление R1 на R2, повторить измерения. Далее, включив в контур конденсатор C0, провести аналогичные измерения с активными сопротивлениями в контуре R1 и R2.

По окончании измерений выключить звуковой генератор и разом кнуть ключ П1.

Вычисление результатов и оформление отчета

По результатам измерений при включенном в контур конденсато ре C0 постройте на одном графике две резонансные кривые, соответ ствующие включенным в контур сопротивлениям R1 и R2. По оси абсцисс следует отложить циклическую частоту ω, связанную с час тотой колебаний f соотношением ω = 2πf. По оси ординат следует откладывать действующее значение силы тока I, измеряемое при по мощи миллиамперметра.

Далее производится анализ графиков (резонансных кривых) В ито ге этого анализа определяются резонансные частоты и ширина кри вых на уровне половинной мощности ω1 и ω2 (рис. 2). Следует также вычислить добротности контуров Q1 и Q2, сопротивления R1 и R2, волновые сопротивления ρ1 и ρ2. Теоретические значения резонанс ных частот можно получить по формуле (15), исходя из соответствую щих значений L и С. Однако отметим, что данные, приведенные на лабораторном макете, не учитывают емкость и индуктивность вклю ченного в цепь миллиамперметра. Поэтому экспериментальные и рас четные значения резонансных частот могут ощутимо расходиться.

По результатам измерений, выполненных с включенным в контур конденсатором неизвестной емкости Cx и сопротивлениями в конту ре R1 и R2, постройте две резонансные кривые на одном графике. По экспериментально найденным значениям резонансных частот и из вестной индуктивности контура L вычислите значение Cx. По графи

15

vk.com/club152685050

кам определите ширину резонансных кривых на уровне половинных мощностей и вычислите добротности Q3 и Q4, волновые сопротивле ния ρ3 и ρ4, активные сопротивления R1 и R2. Сравните результаты с ранее найденными значениями. Оцените систематические погрешно сти вычисленных величин.

Дополнение: о добротности колебательного контура

1. При выводе формулы для добротности (22) мы опирались на фор мулу ширины резонансной кривой (19). Наметим вывод этого факта. Максимум тока достигается при минимальном значении импеданса

Z0min = R. Соотношение (18) (с учетом (13) и (16)) означает, что (Z0)2/ /(Z0min)2 = 2 для ω= ω1, ω2. Отсюда по формуле (11) получаем

(ωL −

1

)2 = R2

(23)

ωC

или

R =

1

ω−

=

ω− ω20

,

(24)

ωLC

L

ω

где мы учли, что (LC) 1 =ω 2 (ниже принято традиционное обозначе

0

ние ω0 = ωр). Обозначая γ = R/L, запишем (23)

γω=

ω2 −ω20

.

(25)

Здесь ω= ω1, ω2. При этом ω1<ω0, ω >ω0, следовательно

γw1 =ω20 −ω12,

γw2=ω22 −ω20.

(26)

Отсюда

γ(ω2 +ω1) = ω22 −ω12.

Сокращая обе части этого соотношения на (ω2+ω1) и вспоминая, что γ = R/L, мы получаем

R/L=ω2–ω1,

(27)

т.е. приходим к формуле (19).

2.Добротность полезно связать с величиной, называемой време нем релаксации. Дифференциальное уравнение затухающих колеба ний имеет вид

L dI + IR + 1 q =0 [уравнение (2), ε = 0] dt C

или

q ″+2βq ′+ω02q = 0 (2β=R/L, ω02=1/LC).

16

vk.com/club152685050

Для таких колебательных процессов известно, что частота коле баний равна

ω = (ω 2–β2)1/2,
0
а амплитуда убывает по закону
A = A0e−βt = A0e−t/τ.	(28)

Параметр τ – время релаксации. По определению τ – это такой промежуток времени, за который амплитуда колебаний убывает в e

раз. Добротность колебательной системы пропорциональна числу

колебаний N, совершаемых за время релаксации

Q = πN = πτ/T. (29) Переходя к параметрам β = 1/τ, ω= 2π/T и считая β <<ω0, можно

записать (28) в виде

Q = ω	≈ ω0	=	ω0	= 1	L	.	(30)
2β	2β		R/L	R	C

Мы видим, что определение (29) приводит к той же формуле (22) (и при этом не опирается на свойства резонансных кривых).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Приведите схему включения колебательного контура.

2.Какой вид имеет уравнение затухающих колебаний в комплек сной форме? Как выражается его решение?

3.Что называют импедансом колебательного контура?

4.В чем состоит явление резонанса? то такое резонансная частота?

5.Какую величину называют добротностью колебательного кон тура, по каким формулам она вычисляется?

6.Дайте определение волнового сопротивления колебательного контура.

17

vk.com/club152685050

Лабораторная работа № 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ, ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ СИСТЕМЫ СИ

И СКОРОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ВАКУУМЕ

Цель работы: определение горизонтальной составляющей напря женности магнитного поля Земли, электрической постоянной СИ и скорости распространения электромагнитных волн в вакууме.

Методические указания

Направление линий напряженности магнитного поля можно оп ределить с помощью магнитного диполя. Магнитный диполь – это виток с током. Если виток может поворачиваться вокруг закреплен ной вертикальной оси, то в магнитном поле виток установится так,1 что нормаль к нему укажет направление вектора напряженности H. Если отклонить виток в сторону от направления поля, то возникнет момент сил, стремящийся вернуть виток в исходное положение.

Аналогом магнитного диполя является магнитная стрелка. Раз мещенная на вертикальной оси свободная стрелка устанавливается в положении устойчивого равновесия вдоль направления магнитно

го поля.	1
Информацию о направлении магнитного поля H можно исполь

зовать и для нахождения величины напряженности поля, вернее, величины одной из компонент этого поля по другой известной его компоненте. Если горизонтально расположенную магнитную стрел ку поместить в центре круговой катушки с током, то на стрелку будет

	действовать магнитное поле Земли и магнитное поле тока. Горизон
					1
	тальная составляющая магнитного поля H в этом случае равна
			1	1	1
	1	1	H = H1		+ H2.	(1)
			– горизонтальная составляющая напряженности маг
	где H	= H
	1	г	1

нитного поля Земли; H2 – напряженность магнитного поля тока. Пусть плоскость катушки вертикальна1 и совпадает1 с плоскостью

магнитного меридиана, тогда векторы H1 и H2 будут в центре ка тушки взаимно перпендикулярны, а тангенс угла, на который от клонится стрелка при включении тока, будет равен (рис. 1)

tgα =	H2	.	(2)
	H1

В центре круговой катушки с током напряженность H2 магнитно го поля определяется по формуле

18

vk.com/club152685050

H	= IN .	(3)
2	2R

Таким образом, зная силу тока в круговом проводнике, определив угол α, на который отклоняется магнитная стрелка, а также зная радиус витка R и число витков N, можно определить горизонтальную составляющую напряженности магнитного поля Земли

	Hг =	IN	.	(4)
		2Rtgα

Известно, что электроемкость конденсатора С пропорциональна диэлектрической проницаемости ε вещества, заполняющего про странство между обкладками. Поэтому можно записать

C = Kεε0,

(5)

где ε0 – электрическая постоянная системы СИ; ε– диэлектрическая проницаемость (для воздуха ε≈1); K – коэффициент пропорциональ ности, величина которого зависит от формы и размеров обкладок кон денсатора и расстояния между ними.

Емкость конденсатора можно измерить различными способами и, в частности, пользуясь тангенс гальванометром. Для этого собира ют электрическую схему, включающую тангенс гальванометр, источ ник питания И, конденсатор С, электромагнитный переключатель П (рис. 2). В положении переключателя а конденсатор заряжается до напряжения U, при этом на пластинах конденсатора скапливает ся заряд

q = CU = Kεε0U.

(6)

В положении переключателя П, обозначенном на рис. 2 буквой б, конденсатор разряжается через тангенс гальванометр. Если ν– чис ло переключений в секунду, то сила тока, протекающего через тан генс гальванометр, равна

I = νq = Kνεε0U.

(7)

Расположив витки обмотки тангенс гальванометра в плоскости магнитного меридиана и измерив угол поворота магнитной стрелки α1, из формулы (4) определим силу тока

I =	2RHгtgα1	.	(8)
	N

Значение горизонтальной составляющей напряженности магнитно го поля Земли Hг определено в предыдущем опыте. На основании (7) и

(8) определяется электрическая постоянная системы СИ (при ε= I) по формуле

19

vk.com/club152685050

ε	=	1		2RHгtgα1	,	(9)
0		K		NνU

(численное значение коэффициента K′= 1/K указано на макете уста новки: K ′ = 4,5•10–7).

Определив ε0, найдем электродинамическую постоянную с, чис ленно равную скорости распространения электромагнитных волн в вакууме

c =	1	,	(10)
	ε0µ0

где µ0= 4π10 7 Гн/м – магнитная постоянная системы СИ

Описание лабораторной установки

Электрическая схема установки для определения горизонтальной составляющей напряженности магнитного поля Земли приведена на рис. 3. В качестве источника питания в схеме используется батарея Б. Необходимая величина силы тока через тангенс гальванометр ус танавливается с помощью реостата R и контролируется миллиам перметром мA. Тангенс гальванометр состоит из кольца, на внеш ней стороне которого намотана катушка, содержащая N витков. В центре кольца горизонтально расположена магнитная стрелка M, которая может вращаться вокруг оси.

Для определения электрической постоянной системы СИ собирают схему, представленную на рис. 2. В качестве переключателя использу

Н1 Н

М

Н2

а в

Б с

С

П

Рис. 1. Суперпозиция погранич			Рис. 2. Схема 2 (лаборатор
	ных полей		ная установка)

20