физика Литвинова н. н. электромагнетизм конспект ответы ВОЛНОВАЯ ОПТИКА / Электричество и магнетизм. Лаб. практикум 2

vk.com/club152685050

Кроме описанного выше метода обработки серии косвенных изме рений, существует и другой, который применим в случае проведения серии измерений как при неизменных, так и при меняющихся вне шних условиях. Состоит он в том, что по результатам i го измерения сначала находится величина fi = f(x1i,x2i,x3i…), а затем получивший ся набор значений fi обрабатывается так же, как и в случае прямых измерений. Это значит, что по формуле (4) находится среднее значение

величины f, а по формуле (5) – среднее квадратичное отклонение Sf. В случае, когда число измерений N невелико (~10 или меньше), среднее квадратичное отклонение округляют по тем же правилам, что и систематическую погрешность, т. е. сохраняют одну значащую цифру, вторую иногда сохраняют лишь в случае, когда первая равна

единице.

Пример 2

Определяется электрическое сопротивление – R. Для этого прово дится серия измерений силы тока I в зависимости от приложенного напряжения – U. В табл. 1 приведена серия измеренных значений I от U.

Требуется найти электрическое сопротивление – R и среднее квад ратичное отклонение SR. Обе эти величины измеряются в Ом.

Решение

Очевидно, что серия опытов проводилась при меняющихся вне шних условиях, т. е. при измерениях сила тока намеренно менялась в широком диапазоне значений. Значит, применим лишь второй ме тод обработки результатов измерений. Сначала найдем серию значе ний Ri, где i – номер опыта. Для этого воспользуемся формулой: Ri = Ui /Ii (табл. 2).

Теперь найдем среднее значение электрического сопротивления

		= 52 + 54 + 57 + 55 + 54 + 50 + 54 + 55 + 55 = 486 = 54 Ом.
	R
					9				9
Таблица 1
Ii, A			1,1	1,2	1,3	1,4	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
UiB			57	65	74	77	81	85	97	104	110
Таблица 2
Ri, Ом			52	54	57	55	54	50	54	55	55

61

vk.com/club152685050

Зная его можно вычислить среднее квадратичное отклонение

N

=

∑ (R

−

)2

N(N −1),

S

i

R

R

i=1

S

=

(52−54)2 +3 (54 −54)2 +(57 −54)2 +3 (55−54)2 +(50 −54)2

1 Ом.

R

9(9−1)

Ответ: R =54 Ом, SR =1 Ом при N = 9.

Результатами математической обработки серии измерений как прямых, так и косвенных являются: среднее значение, вычисленное по формуле (4) или (6), среднее квадратичное отклонение, вычис ленное по формулам (5) или (7) и полное число измерений N.

Полная погрешность измерений. Как уже отмечалось выше, ошиб ки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несо вершенством измерительных приборов или обеими причинами вмес те. Приборные ошибки и, соответственно, приборные погрешности полностью исключить невозможно. Можно лишь априори устано вить их границы с помощью систематической погрешности. Погреш ности, обусловленные всеми возможными причинами вместе, назы вают полными. Обычно их обозначают большой греческой буквой ∆, нижним индексом указывают измеряемую величину или записыва ют рядом с измеренным значением через знак ±. Полная погрешность задает интервал, в который с вероятностью 95 % попадает истинное значение измеряемой величины.

В большинстве лабораторных работ по курсу физики проводятся измерения неслучайных по своей природе величин, разброс значений которых обусловлен лишь случайными ошибками измерительных приборов. В таком случае среднее квадратичное отклонение измеряе мой величины должно всегда получаться меньше интервала, опреде ляемого систематической погрешностью

S		< θx.	(8)
	x

Невыполнение этого условия обычно бывает связано с промаха ми, т. е. грубыми ошибками экспериментатора при измерениях. И наоборот, его выполнение в более жестком виде

S		<< θx	(8а)
	x

свидетельствует о старательности, аккуратности экспериментатора и о надежности полученных результатов. В описываемом случае пол

62

vk.com/club152685050

ная погрешность среднего значения определяется только системати ческой

∆		= θx.	(9)
	x

Вслучае проведения технических испытаний обычно имеют дело

свеличинами, случайными по своей природе. Разброс измеряемых параметров при таких испытаниях связан с немного различными характеристиками испытуемых образцов и с ошибками, вносимыми измерительными приборами. Среднее квадратичное отклонение, определенное по формулам (5) или (7), включает в себя обе назван ные причины и поэтому не ограничено интервалом систематической погрешности. В этой ситуации случайную погрешность серии изме рений и систематическую погрешность, связанную с несовершенством измерительных приборов объединяют в полную погрешность

∆		= θX +kS		.	(10)
	X		X

В этой формуле k – коэффициент, зависящий от количества прове денных измерений в серии.

N = 5, N = 10, N = 20,

k = 2,5, k = 2,3, k = 2,0.

Обработка серии измерений и представление результатов. По результатам серии измерений нужно по формулам (4) или (6) найти среднее значение. После этого по формулам (5) или (7) – среднее квад ратичное отклонение. Для одного, нескольких или всех полученных значений по формулам (1), (2) и (3) рассчитать систематическую по грешность. Дальнейший порядок обработки результатов измерений зависит от того, какие величины измеряются: случайные или неслу чайные.

Измеряемую величину следует считать случайной по своей приро де, если при ее измерении возникают неконтролируемые эксперимен татором факторы или физический процесс протекает так быстро, что экспериментатор не успевает провести достоверные измерения.

Если измеряемая величина по своей природе не является случай ной, и ее случайные ошибки связаны лишь с влиянием измеритель ных приборов на процесс измерений, систематические и случайные погрешности нужно сравнить по критерию (8). В качестве полной погрешности, в соответствие с формулой (9), взять систематическую.

Если измеряемая величина является случайной по своей природе, то случайную и систематическую погрешности следует объединить в полную по формуле (10).

63

vk.com/club152685050

Результатом серии измерений при любом способе обработки дол жны быть: среднее значение и полная погрешность измеряемой вели чины. Кроме того, приводится среднее квадратичное отклонение и полное число измерений. Для единичного измерения указываются полученное значение и систематическая погрешность.

Округление результатов. При записи окончательного результа та обязательно производится округление. Сначала округляют по грешность, а затем измеренную величину. Погрешность округляют до одной значащей цифры. Если эта цифра равна единице, то можно сохранить следующую. В полученном результате сохраняют после дним тот десятичный разряд, до которого округлена погрешность. При этом правила округления результата и его погрешности разные.

1.В измеряемой величине последняя сохраняемая цифра не меня ется, если старшая из отбрасываемых меньше 5, и увеличивается на 1, если – больше. Если же отбрасываемая цифра равна 5 и все после дующие цифры нули или неизвестны, то последнюю сохраненную цифру при округлении нужно сделать четной.

2.В погрешности округление проводится в большую сторону, если старшая отбрасываемая цифра 3 и более.

Сохранение лишних цифр при записи результата измерения или его погрешности является грубой ошибкой. Измеряемую величину и погрешность нужно приводить в одних и тех же единицах. Если ре зультат приводится в виде произведения числа на десять в некоторой степени, то эта степень в результате и в погрешности должна быть одной и той же.

Пример 3
Неправильно	Правильно
R = 61,54 Ом; θR = 1,27 Oм	→ R = 61,5 Ом; θR = 1,3 Oм или
	R = (61,5±1,3) Oм
t = 16,3333 c; θt = 0,3333 c	→ t = 16,3 c; θt = 0,4 c или
	t = (16,3±0,4) c
C = 6 мкФ; θС = 330 нФ	→С =6,1 мкФ; θС =0,4 мкФ или
	С = (6,1±0,4) мкФ
ρ =1,043 10 6±1,5 10 7 Ом м	→ ρ = (1,04±0,15) 10–6 Ом м

Допустимые расхождения между результатами измерений.В тех случаях, когда это возможно, нужно сравнивать полученное экспе риментально значение Х с теоретическим или табличным ХТ. В тех случаях, когда выполняется условие

Х	− XT		≤∆		,	(11)
				X

64

vk.com/club152685050

расхождение величин Х и ХТ следует считать допустимым и не тре бующим объяснения. Этот факт нужно обязательно отметить в отче те. Если же условие (11) нарушается, то это говорит об ошибках в проведении, постановке эксперимента или в расчетах величин Х и ∆X . В этом случае нужно еще раз проверить свои измерения, расчеты и в отчете попытаться объяснить причину имеющихся расхождений

2. Графическая обработка результатов измерений

Графики следует строить на миллиметровой бумаге, которая выс тупает в роли одного из измерительных инструментов.

1.Сначала нужно решить, какая из наблюдаемых величин будет функцией и какая аргументом. В соответствии со сделанным выбо ром график нужно озаглавить. После этого следует разумно выбрать масштабы по обеим осям. Их нужно выбирать с учетом значений тех величин, которые по этим осям будут откладываться. Единица мас штабной сетки должна соответствовать 1, 2, 5, 10 и т.д. единицам измеряемой величины. Представляемые на осях интервалы значе ний должны быть такими, чтобы по возможности использовать все поле графика. В некоторых случаях координатные оси разумно изоб разить с разрывом.

2.После выбора масштаба нужно начертить координатные оси и подписать, какие величины и в каких единицах вдоль них отклады ваются. На осях нужно нанести узлы координатной сетки. Под осью абсцисс и слева от оси ординат эти узлы нужно подписать. Подписы ваются только числа; единицы их измерения указываются на осях. Значения, полученные на опыте, на осях не отмечаются.

3.На график обязательно наносятся все экспериментальные точ ки. Около них двумя вертикальным и двумя горизонтальным отрез ками откладываются систематические погрешности измеряемых ве личин. Если погрешности одинаковы или почти одинаковы, то не обязательно откладывать отрезки около всех точек.

4.Для большей наглядности, для возможности получения пара метров функциональной зависимости и для получения градуировоч ных графиков через экспериментальные точки проводят линию. Ее следует проводить не через конкретные точки, а плавно вблизи них, избегая изломов и пересекая «крестики» погрешностей. Если извес тен теоретический закон связывающий измеряемые величины, то линия на графике должна ему соответствовать (рис. 1).

Графическое определение параметров линейной зависимости. Если теоретический закон, связывающий две измеряемые величины x и записывается в виде

65

vk.com/club152685050

f = kx + b,

(12)

то на графике должна получиться прямая линия. Ее нужно провести по линейке через имеющийся набор точек по возможности ближе к максимальному числу точек. Проводя прямую линию (рис. 2), нуж но руководствоваться следующими правилами:

–прямая должна пересечь все или почти все крестики, обозначаю щие систематические погрешности отложенных величин;

–число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой, должно быть примерно одинаковым;

–экспериментальные точки должны быть и выше, и ниже прямой во всем диапазоне значений х.

Иногда получается, что через набор точек невозможно провести прямую, руководствуясь сформулированными правилами (рис. 2, г, д). Если из общего набора выпадает только одна точка (рис. 2, г), то

ееследует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же сильно выбиваются несколько точек или явно видна нелинейность (рис. 2, д), то отсюда следует, что экспериментальные данные проти воречат теоретической зависимости (12).

Если наблюдаются случаи, показанные на рис. 2, в или г, то мож но говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают те оретическую зависимость.

Когда через экспериментальные точки удалось провести прямую,

по графику находят параметры k и b уравнения (12). Параметр b ра вен отрезку, отсекаемому на оси f при х = 0, а угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой. Этот тангенс можно найти по катетам треугольника, изображенного на рис. 3. Обратим внимание

Т, мс
40		θТ
30
20			θс
10
0	0,5	1	1,5	С, мкФ

Рис. 1. Оформление графика (зависимость периода колебаний от емкос ти конденсатора)

66

vk.com/club152685050

а) f

б) f

в) f

	х		х	х
г)	f	д)	f

х

х

Рис. 2. Прямая f = kx+b, проведенная через экспериментальные точки: а – неправильно; б – неправильно; в – правильно; г – промах; д – прямую провести невозможно

	f
	∆f
	α
b	∆x
	x

Рис. 3. Графическое определение параметров линейной зависимости:

k = tgα = ∆f ; b = f(x =0) ∆x

на то, что катеты ∆хи ∆ измеряются не между экспериментальными точками, а по проведенной линии.

Коснемся вопроса о погрешностях этого графического метода. 1. Систематическую погрешность величины b можно принять рав

ной значению систематической погрешности θf.

67

vk.com/club152685050

2. Систематическую погрешность величины k считаем равной

		θ		θ	x
θ = k		f	+			,	(13)
		(∆f)
k				(∆x)

где ∆f и ∆х – катеты треугольника на рис. 3, а θf и θx – систематичес кие погрешности величин f и х.

3. Для оценки случайных погрешностей Sk и Sb проводят следую щие действия:

–по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую;

–для нее находят новые значения величин k ′и b ′;

–считают, что Sk = |k–k′|, а Sb =|b–b′|.

68