физика Литвинова н. н. электромагнетизм конспект ответы ВОЛНОВАЯ ОПТИКА / Электричество и магнетизм. Лаб. практикум 2

vk.com/club152685050

вающий зависимость магнитной индукции от напряженности маг нитного поля.

Для начальной кривой намагничения 0A (рис.2) определяется за висимость магнитной проницаемости от напряженности магнитно го поля H. Расчет провести по экспериментально полученным дан ным, результаты занести в таблицу и построить график.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Какие виды магнетиков существуют в природе?

2.Какова физическая природа ферромагнетиков?

3.Объясните устройство и принцип работы баллистического галь ванометра.

4.Получите формулу для вычисления магнитной индукции.

41

vk.com/club152685050

Лабораторная работа № 6

ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ УСТАНОВЛЕНИЯ ТОКА ПРИ РАЗ9 РЯДКЕ И ЗАРЯДКЕ КОНДЕНСАТОРА

Цель работы: изучение зависимости зарядного и разрядного тока от времени; определение электроемкости конденсатора и активного сопротивления.

Методические указания

1. Установление тока при разрядке конденсатора.

Если обкладки заряженного конденсатора соединить проводни ком, то по проводнику потечет ток. Найдем зависимость разрядного тока конденсатора от времени. Обозначим через I, q и u мгновенные значения тока, заряда положительной обкладки и разности потен циалов между обкладками конденсатора. Для этих величин справед ливы соотношения

RI =u, I = −	dq	, q = Cu,	(1)
	dt

где C – емкость конденсатора; R – сопротивление проводника. Ис ключая u и I из формул (1) как из системы трех уравнений, получим

dq	= −	dt	.	(2)
q
		RC

Интегрирование дифференциального уравнения (2) приводит к выражению

lnq = −	t	+ln A,	(3)
	RC

где A – постоянная интегрирования. Потенцируя (3) и используя определение логарифма, находим

− t	(4)
q = Ae RC.

Постоянную A найдем из начального условия: q(0) = q0, где q0 – первоначальный заряд конденсатора. Подставляя t = 0 в (4), имеем q(0) = A. Таким образом,

−	t
q =q e RC.			(5)
0

Продифференцировав равенство (5) и учитывая (1), получим за висимость разрядного тока конденсатора от времени

42

vk.com/club152685050

				t		t
	I =	q0	e−		= I e−
				RC		τ,		(6)
		RC	0

где I0 – начальное значение силы тока (ток в момент времени t =0). На рис. 1 приведен график зависимости разрядного тока конденсатора от времени. Постоянная τ= RC имеет размерность времени и называ ется временем релаксации. Из формулы (6) следует, что за время τ разрядный ток уменьшается в e раз. Поэтому значение τможет быть найдено из графика разрядного тока конденсатора (рис. 1).

2. Установление тока при зарядке конденсатора.

Аналогично решается задача о нахождении зарядного тока кон денсатора. Предположим, что в цепь конденсатора включены сопро тивление R и источник питания с электродвижущей силой ε. При замыкании цепи возникает ток, заряжающий конденсатор. Накап ливающиеся на обкладках конденсатора электрические заряды пре пятствуют прохождению тока, уменьшая его величину. Заряд на об кладках конденсатора и зарядный ток в произвольный момент вре мени по определению

q = Cu, I =	dq	.	(7)
	dt

Из второго закона Кирхгофа имеем

RI+u=ε, (8) где R – полное сопротивление цепи, включая внутреннее сопротивле ние источника тока. Воспользовавшись равенствами (7), исключим u и I из (8). После преобразования полученного выражения будем иметь

dq	+	1	q =	ε	.	(9)
		RC
dt				R

Неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка (9) можно свести к однородному, если ввести новую зависимую перемен ную по формуле y =q–εC. В этом случае уравнение (9) преобразуется к виду

dy	= −	y	.	(10)
dt		RC

Решение уравнения (10) после преобразований приводится к виду

− t	(11)
q = εC + Ae RC,

где A – постоянная интегрирования, определяемая из начальных ус ловий. Поскольку в начальный момент времени t = 0 заряд на об

43

vk.com/club152685050

кладках конденсатора отсутствует q(0)=0, то из (11) находим A =–εC. Подставим найденное значение постоянной интегрирования в (11) и преобразуем полученное выражение

− t	(12)
q = εC(1 −e RC ).

Из (12) следует, что при t →∞ заряд на обкладках конденсатора стремится к своему предельному значению q∞=εC. Продифференци ровав равенство (12) по времени, найдем ток зарядки конденсатора

		ε	−	t	−	t
				RC		RC
	I =		e		= I0e		,	(13)
		R

где I0 – максимальное значение силы тока разрядки конденсатора в начальный момент времени t0 = 0. Из сравнения (6) и (12) следует, что функциональная зависимость от времени токов зарядки и раз рядки конденсатора одинакова. Графики этих зависимостей приве дены на рис. 1.

3. Определение емкости и сопротивления в цепи зарядки и раз рядки конденсатора.

Вычислим натуральный логарифм разрядного тока (6)

ln I=ln I −	1	t.	(14)
0	RC

Таким образом, логарифм силы тока линейно зависит от времени,

что можно записать в виде
y = a + b t,	(15)
где y = lnI, a =lnI , b = (RC)–1.
c

Графикэтойзависимостипредставляетсобойпрямуюлинию(рис.2), причем b=tgϕ.

I

lnI

I0

lnI0

I0

e

ϕ

0

τ

t

0

t0 t

Рис. 1.

Ток разрядки конденсатора

Рис. 2.

Логарифм тока разрядки

44

vk.com/club152685050

Сняв экспериментально зависимость разрядного тока конденса тора от времени I(t) и вычислив натуральные логарифмы полученных значений, можно найти параметры a и b аналитически или из графи ка [прямой (15)], а затем вычислить сопротивление R и электроем кость C. Изложим эти два способа.

Для определения R и C графическим способом строят график зави симости lnI =f(t) в виде отрезка прямой (рис. 2). Продолжая прямую до пересечения с осями координат, находят значения t0, a = lnI0,

b =tgϕ = − 1 ln I0. t0

Затем по найденному значению lnI0 определяют начальное значе ние разрядного тока I0 и вычисляют R и C по формулам

R =	U0	, C =	1		,	(16)
	I0		R	b

где U0 – напряжение на выходе источника питания. Аналитический способ определения параметров a и b основан на

применении метода наименьших квадратов. Предположим, что опыт ным путем для каждого из дискретного ряда значений независимой переменной xi получены значения зависимой переменной yi (в данной работе xi =ti, yi =lnIi). По этим данным можно провести оптимальную прямую вида

y =a+bx, параметры которой определяются из условия

n
∑σi [yi −(a +bxi)]2 = min.	(17)
i=1
Анализ требования (17) приводит к формулам
b = xy − x y , a = y −b x ,	(18)
D(x)

где

n	n
x = 1 ∑x ,	y = 1 ∑y ,
i	n i=1	i
n i=1
n		n
x2 = 1 ∑x2, D(x)		= ∑
n i=1	i
		i=1

n

xy = 1 ∑xiyi, (19) n i=1

x2 − x 2 .

(20)

В (17) σI – весовые коэффициенты, величина которых зависит от точности измерений. В данной работе относительная погрешность силы тока увеличивается с увеличением времени разряда t. Поэтому

45

vk.com/club152685050

весовые коэффициенты должны быть различны для различных зна чений силы тока Ii. Однако для упрощения вычислений можно поло жить все σI =1. Тогда следует избегать использования в формуле (17) экспериментальных значений Ii при относительно больших t, так как формулы (18) и (19) получены при условии, что все σI =1. Метод наименьших квадратов позволяет также определить среднеквадра тические погрешности параметров а и b

S =	1		D(y)	−b2,	S = S	D	,	(21)
b	n		D(x)		a b	(x)

где D(y) =<y2> – <y>2

Найденные значения параметров a и b используются для вычисле ния R и C по формулам (16). Погрешности вычислений определяются на основании вычисленных среднеквадратических погрешностей Sb и Sa.

Описание лабораторной установки

Электрическая схема лабораторной установки изображена на рис. 3. В качестве источника питания используется универсальный источ ник питания УИП 2, напряжение на выходе которого измеряется вольтметром V. Сила тока зарядки и разрядки конденсаторов изме ряется при помощи микроамперметра; R0 и Rp – сопротивления цепей зарядки и разрядки конденсаторов. Переключатель П1,2 служит для подключения к схеме конденсаторов С1 или С2, П3 – для зарядки и разрядки конденсаторов, П5 – для включения схемы. Переключате ли П4 и П6 используются для приведения схемы в рабочее состоя ние, а также для ускорения процессов зарядки и разрядки конденса торов. В рабочем состоянии П4 и П6 – разомкнуты.

	R0	П3	Rр
	П6		П4
УИП 2	V
		мкА
		П1,2
П5	С1		С2

Рис. 3. Электрическая схема установки

46

vk.com/club152685050

Порядок выполнения работы

Изучить электрическую схему, изображенную на рис. 3, и сопос тавить ее с лабораторным макетом. Перед началом работы проверить при помощи ключа П4 разряжены ли конденсаторы С1 и С2. Вклю чить в цепь источник питания УИП 2 и дать прогреться пять минут. Установить напряжение источника питания U0 таким, чтобы наи большее отклонение стрелки микроамперметра при зарядке и раз рядке конденсаторов C1 и C2 было близко к максимальному. Запи сать напряжение источника питания U0. Измерить зависимости за рядного и разрядного тока конденсаторов C1 и C2 от времени. Порядок измерений продумать самостоятельно и обсудить с препода вателем. Данные измерений занести в табл. 1.

Вычисление результатов и оформление отчета

Отчет должен содержать расчетные формулы и схему установки. Графики зависимостей разрядного и зарядного токов конденсаторов C1 и C2 от времени, а также логарифмов этих значений построить на миллиметровке. Из графиков определить время релаксации τи пара метры прямых a и b для вычисления сопротивлений и емкостей. Оп ределить величины сопротивлений и емкостей методом наименьших квадратов. При этом рекомендуется использовать порядка десяти значений логарифма силы тока lnI, выбранных в средней части пря мой. Результаты промежуточных вычислений методом наименьших квадратов оформить в виде таблицы значений величин <X>, <Y>, <XY> и т. д. Результаты вычислений параметров прямых и электри ческих параметров установки занести в табл. 2.

По формулам (21) произвести вычисления среднеквадратических погрешностей параметров Sa и Sb. По найденным значениям этих погрешностей вычислить среднеквадратические погрешности сопро

Таблица 1

Зарядка конденсатора

Разрядка конденсатора

t, c

C1

C2

t, c

C1

C2

I1

I2

Iср

lnIср

I1

I2

Iср

lnIср

I1

I2

Iср

lnIср

I1

I2

Iср

lnIср

Таблица 2

Методы	a = lnI0	I0	t0	b = tg	R0	Rp	C1	C2
Графический
Наименьших
квадратов

47

vk.com/club152685050

Таблица 3

	Значения	Зарядка конденсатора		Разрядка конденсатора
		C1	C2	C1	C2
	граф
	расч

тивлений и емкостей, воспользовавшись формулами (16). Значения C1 и C2 занести в табл. 3.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Как выводится зависимость зарядного тока от времени? Изоб разите график I =I(t).

2.Как выводится зависимость разрядного тока от времени? Изоб разите график I =I(t).

3.Покажите, что при разрядке конденсатора через сопротивление выполняется закон сохранения энергии.

4.Как определяется время релаксации τ?

5.Как выглядят графики зависимости логарифмов зарядного и разрядного токов конденсатора от времени? Как представить графи чески основные параметры этих процессов?

6.Напишите формулы для вычисления R и C.

7.Изобразите схему лабораторной установки.

48

vk.com/club152685050

Лабораторная работа № 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА РЕЛАКСАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА

Цельработы:расчетпериодоврелаксационныхколебанийв RC кон туре при различных электроемкостях контура; измерение периодов ре лаксационных колебаний при помощи электронного осциллографа и сравнение теоретических и экспериментальных данных.

Методические указания

Релаксационные электрические колебания возникают в контуре, содержащем неоновую лампу тлеющего разряда Л, высокоомное со противление R и конденсатор C (рис. 1). Если на вход контура подать постоянное напряжение U0, то возникает электрический ток, заря жающий конденсатор. Закон нарастания напряжения на обкладках конденсатора можно получить из следующих соображений. В произ вольный момент времени напряжение на обкладках при заряжении конденсатора равно

Uc =U0 − IR,

(1)

где I – сила заряжающего тока. Если q – заряд положительной об кладки конденсатора, то сила заряжающего тока по определению

I =	dq	.	(2)
	dt

Заряд на обкладках конденсатора q и напряжение Uc связаны со отношением q =CUc, поэтому

I = C	dUc	.	(3)
	dt

R

С	Л

U0

Рис. 1. Электрическая схема релаксационного генератора

49

vk.com/club152685050

Подставив (3) в (1), находим

Uc	=U0	−RC	dUc	.	(4)
			dt

Разделяя переменные в дифференциальном уравнении (4), прихо дим к выражению, удобному для непосредственного интегрирования

−	dt	= −	dUc		.	(5)
	RC		U −U
			0	c

При интегрировании дифференциального уравнения (5) следует учесть, что в начальный момент времени t0 = 0 напряжение на об кладках конденсатора Uс0 =0. Проинтегрируем левую и правую части уравнения (5)

	t	t	U0	dUc
−		∫dt = ∫				.	(6)
	RC
				U −U
		0	0	0	c

Выполнив интегрирование в (6), находим

−	t	=ln	Uc		.	(7)
	RC		U −U
			0	c

После простых алгебраических преобразований получим закон на растания напряжения на обкладках конденсатора

− t
Uc =U0(1−e RC ).	(8)

Чем больше величина RC, тем длительнее процесс зарядки. Про изведение RC имеет размерность времени и называется временем ре лаксации τ. График зависимости Uc от t приведен на рис. 2.

Uc

U0

В

Uл

0

t

Рис. 2. Процесс зарядки конденсатора

50