2.3 Понятие предиката

Слова или тексты, являющиеся собирательными именами (групповыми именами) предметов, обозначим х, у, …, z. Групповое имя обозначает произвольный предмет, принадлежащий некоторой группе предметов, имеющих собственные имена. Например, текст «житель Москвы» является групповым именем людей, каждый из которых является конкретным предметом и имеет свое собственное имя (для простоты примера мы отвлекаемся от факта наличия жителей Москвы, имеющих одинаковые фамилию, имя и отчество).

Пусть Р(х, у, …, z) означает некоторый текст, содержащий в своем составе групповые имена х, у, …, z и обладающий следующим свойством: если в этом тексте каждое групповое имя всюду, где оно входит, заменить допустимым индивидуальным (собственным) именем (одним и тем же), то данный текст превратится в символьную часть некоторого высказывания.

Текст Р(х, у, …, z) называется предикатом; входящие в него групповые имена называются предметными переменными; о предметах, соответствующих групповому имени, являющемуся предметной переменной, говорят, что они принадлежат предметной области данной переменной; собственные имена указанных предметов называют значениями предметной переменной; логические значения получаемых высказываний называются значениями предиката. Количество различных предметных переменных, входящих в состав текста Р(х, у, …, z), называется рангом предиката (иногда – его «местностью» или «арностью»). Например, бывают предикаты первого ранга (одноместные, унарные), второго ранга (двухместные, бинарные), третьего ранга (трехместные, тернарные) и т.д.

Если высказывание является логической константой, то предикат – логической функцией.

Пример. Предметные переменные не обязательно обозначаются отдельными буквами, они могут обозначаться и целыми текстами. Одноместными предикатами являются x>10 или «целое число больше 10». Если предметной областью является область целых чисел, то эти предикаты отличаются только своей формой, но являются одинаковыми (или тождественно равными, равнозначными) логическими функциями. Если положить х = 8, то оба предиката соответственно примут вид: 8>10 и «8 больше 10». И то и другое высказывание после проверки оказывается ложным, так что значением предикатов оказывается ложь (Л, 0). В данном случае при подстановке в предикаты вместо предметной переменной некоторого ее значения получилось элементарное высказывание. Но это – не обязательно. Например, предикат x>10Vx<5 при подстановке х = 6 превращается в символьную часть высказывания 6>10v6<5, которое оказывается ложным, в чем мы убеждаемся после вычисления его значения.

Предикат x² + y² = z², если предметные области между собой совпадают и совпадают с областью действительных чисел, при x = 1,5; у = -2; z = 8 превращается в символьную часть высказывания 1,5²+(-2)² = 8². Логическое значение этого высказывания нетрудно установить. Оно есть ложь.

Последний предикат является тернарным (имеет третий ранг).

С формальной точки зрения высказывание является символом, обозначающим логическое значение (в математике говорят: совокупностью символа и определенного логического значения). Содержательное высказывание является повествовательным предложением, содержащим утверждение о некотором предмете (некоторых предметах). Предикат в содержательном смысле оказывается повествовательным предложением, содержащим утверждение о произвольных (переменных, любых) предметах, принадлежащих соответствующим предметным областям.