Модели прочностной надежности и принципы инженерных расчетов

Часть 2 Теории прочности

Свойства конструкционных материалов

ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ

Определим деформации и при плоском напряженном состоянии кубика. Для этого используем закон Гука, зависимость между продольной и поперечной деформациями и принцип независимости действия сил.

Напряжение вызывает продольную деформацию

и поперечную деформацию в направлении напряжения

Напряжение

вызывает деформации

Суммируя деформации одного направления, получим

Аналогично для объемного напряженного состояния

здес	—третье главное
ь	напряжение
и	- главная деформация.
Уравнения представляют собой закон Гука для плоского и объемного
напряженных состояний		Если известны
		значения главных
		деформаций, то
		несложно вычислить
		изменение объема
		элемента при
		деформации.
		Например, для кубика
		относительное
		изменение объема
		с учетом
		приведенных выше
		уравнений найдем
Из этой формулы	следует, что коэффициент Пуассона μ не может быть
больше 0,5.

Определим потенциальную энергию, накопленную единицей объема материала при упругих деформациях . При простом растяжении

Обобщая эту формулу получим потенциальную энергию деформации для плоского напряженного

При объемном напряженном состоянии

Потенциальная энергия деформации стержня.

При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой. Рассмотрим стер жень, верхний конец которого закреплен, а к нижнему концу последовательно подвешиваются малые грузы весом dF . При добавлении каждого последующего груза они опускаются и их потенциальная энергия уменьшается, а потенциальная

энергия деформации стержня соответственно возрастает.

Обозначим накопленную потенциальную энергию деформации через Ер, а уменьшение потенциальной энергии внешних сил EF. Если пренебречь другими явлениями, сопровождающими деформации тела, то закон сохранения

энергии при упругой деформации выразится равенством

EP = EF.

Потенциальная энергия деформации Ер численно равна работе внешних сил LF

E P = L F.

. Зависимость силы от удлинения стержня

При разгрузке тела потенциальная энергия переходит в работу. Это свойство упругих тел широко используется в инженерной практике (например, в пружинных двигателях, рессорах и др.).

В общем случае работа внешних сил идет на накопление потенциальной энергии

Ер и на сообщение скорости массе тела, т. е. преобразуется в кинетическую энергию ЕR,. Баланс энергий при этом

Допустим, что текущее значение силы 1			увеличилось	и стержень удлинился
на
	на	Тогда растягивающая сила, среднее значение
соответственно		которой
равно F *, совершит работу

Суммарная работа внешней силы F на упругом перемещении равна площади треугольника ОВС:

Потенциальную энергию деформации можно выразить через работу внутренних сил. Учитывая связь внешних и внутренних сил, а также закон Гука для растянутого стержня, найдем работу внутренних

По теореме Клапейрона, вытекающей из закона сохранения энергии, получим

L F = L N = E p

Это равенство не зависит ни от порядка приложения внешних сил, ни от измене- ний этих сил между начальным и конечным состояниями деформируемого тела.

Если внутренняя сила N изменяется вдоль стержня , то работа внутренних сил и потенциальная энергия определяются суммированием по участкам dх

и для всего стержня

При действии на тело нескольких сил потенциальную энергию деформации вычисляют по формуле

где i— номер силы F (i =1,2, ..., n);

— перемещение точки приложения силы в направлении этой силы.

. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Многие элементы конструкций при нагружении работают в условиях сложного (плоского, объемного) напряженного состояния.

Оценка прочностной надежности их является распространенной

инженерной задачей В связи с этим учеными предложен ряд гипотез (теорий) прочности,

которые позволяют оценить опасность перехода в предельное состояние материала

элементов конструкций, находящихся в сложном напряженном состоянии.

Рассмотрим четыре из них чаще применяемых.

Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности) Согласно этой теории, связанной с именем Галилея, сложное напряженное состояние равноопасно с простым растяжением, если максимальное нормальное напряжение

равно нормальному напряжению при растяжении, т. е.

	Напряжен	и
	ия

по этой теории не влияют на прочностную надежность элемента конструкции, которая определяется условием

- предельное напряжение, полученное при растяжении стандартного где

образца.

Теория наибольших нормальных напряжений дает достаточно удовлетворительные результаты при расчете деталей из хрупких

Теория наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности) --материал независимо от вида напряженного состояния разрушается, когда наибольшее относительное удлинение или укорочение в каком-либо направлении достигает такой величины, при которой происходит разрушение при простом растяжении (сжатии).

Условие прочностной надежности по этой теории

где

— предельное значение относительного удлинения стандартного образца.

Теория была разработана Сен-Венаном в XIX в., но недостаточно хорошо подтверждается экспериментальными исследованиями. Лучшие результаты получаются для хрупких материалов (легированный чугун, высокопрочные стали после низкого отпуска и т. д.).