§19. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Рассмотрим совместное использование законов сохране­ния импульса и энергии при изучении соударения двух тел. Для начала приведём необходимые определения для данного типа взаимодействия тел.

Определение: Ударом называется столкновение тел, при котором за весьма короткий промежуток времени происходят значительные изменения скоростей сталкивающихся тел.

Определение: Линией удара называется общая нормаль, проведённая к поверхностям двух соударяющихся тел в месте их соприкосновения при ударе.

Определение: Удар называется централь­ным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры инерции.

Определение: Удар называется прямым, если скорости центров инерции сталкивающихся тел перед ударом направлены параллельно линии удара.

В противном случае, удар называется косым.

При столкно­вении тела претерпевают деформацию и вместе их соприкосновения возникают кратковременные, но значительные по величине силы – ударные силы. Эти силы являются внутренними и следовательно не изменяют суммарный импульс системы. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энер­гию тел. Увеличение внутренней энергии тел приводит к повышению их температуры. Существует два предельных типа удара: абсолютно упру­гий и абсолютно неупругий.

Предположим, что шары образуют замкнутую систему. Рассмотрим сначала абсолютно неупругий удар.

Определение: Удар двух тел называется абсолютно неупругим, если после удара оба тела движутся как одно единое целое.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает: кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. После такого удара столкнувшиеся тела соединяются воедино и либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполня­ется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механиче­ской энергии не соблюдается: имеет место закон сохранения суммарной энергии  механической и внутренней.

Начальные скорости шаров: и , а их массы: m₁ и m₂ ; конечная скорость шаров  . При соударении выполняется закон сохранения импульса: .

Откуда .

Как и следовало ожидать, соединившиеся шары после соударения про­должают двигаться со скоростью центра масс системы до соударения. Энергия, перешедшая при этом во внутреннюю энергию шаров, равна разности кинетических энергий до и после соударения: .

Начальная кинетическая энергия системы: .

Определим долю начальной кинетической энергии ушедшей во внутреннюю энергию:

.

Если 2-ой шар до соударения покоился, то

.

Абсолютно неупругий удар используют в технике либо для изменения формы тела: ковка, штамповка, клёпка и т.д., либо для перемещения тела в среде с большим сопротивлением: забивание гвоздей, свай и т.п. В 1-ом случае, необходимо, чтобы большая часть начальной кинетической энергии перешла во внутреннюю энергию (деформацию),т.е. , что означает, что масса отковываемого изделия и наковальни должны быть много больше массы молота. Во 2-ом случае, наоборот, необходимо, чтобы большая часть начальной кинетической энергии перешла в кинетическую энергию забиваемого тела, т.е.

, что означает, что масса молота должна быть много больше массы забиваемого тела.

Перейдём к рассмотрению абсолютно упругого удара.

Определение: Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие виды энер­гии.

При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга, и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определя­ются двумя условиями — сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы двух тел. Ограничимся случаем центрального удара двух однородных шаров. Шары рассматриваем как материальные точки, т.е. пренебре­гаем их возможным вращением. Как и в предыдущем случае, прене­брежем также трением о поверхность, по которой движутся шары. На­пишем уравнения сохранения энергии и импульса. В рассматриваемом случае центрального удара скорости шаров после удара будут напра­влены вдоль той же прямой, по которой двигались центры шаров перед ударом. Поэтому векторы скоростей можно заменить их проекциями на линию соударения:

где т₁ и т₂ — массы шаров, V₁₀ и V₂₀  скорости шаров до удара и, V₁ и V₂ — скорости шаров после удара (скорости понимаются в алгебраическом смысле: знак указывает направление движения вдоль линии соударения). Преобразуем уравнения сохранения энергии и импульса к виду:

,

(1).

Выражения, стоящие в левой и правой частях обоих уравнений, будем считать от­личными от нуля (иначе — скорости шаров не изменялись бы, т.е. столкновения не произошло). Сопоставление данных уравнений приводит к соотношению для скоростей . Откуда. Подставим данное выражение в (1) и, после очевидных преобразований, получим: (2).

Аналогично: , и также подставляем в (1), после чего, имеем:

(3).

В отличие от неупругого столкновения, скорости шаров после соуда­рения не могут быть равны. В самом деле, если ., то из (2) и (3) следует, что до соударения скорости тоже были равны .. Но в этом случае соударение не может произойти. При центральном ударе шары столкнутся, если они движутся навстречу друг другу или один шар догоняет другой.

Проведем анализ полученных соотношений.

1.Если второй шар первоначально покоился: , то после соуда­рения скорости шаров задаются соотношениями

(4).

Знак у скорости V₂ совпадает со знаком V₁₀ : покоившийся шар обя­зательно начнет двигаться в направлении движения налетающего шара. Знак скорости V₁ зависит от соотношения масс шаров: если покоившийся шар более массивен, то налетавший отскочит в обрат­ном направлении, если более массивен налетающий шар, он продол­жит движение в том же направлении. При равенстве масс налетаю­щий шар остановится.

1. Пусть второй шар до соударения покоится. Рассмотрим два предельных случая:

а) Масса покоящегося шара гораздо больше массы налетающего: .

На основании (4), получим: , т.е

Тяжелый шар остается неподвиж­ным, а лёгкий шар отскакивает с той же скоростью, с которой налетел.

б) Масса налетающего шара намного превосходит массу покояще­гося: .

Тогда, тяжелый шар не меняет своей скорости и, следовательно, в соответствии с (4), имеем

, .

2. Если массы шаров равны: , то из (4) следует, что

, ,

т.е. шары при соударении обмениваются скоро­стями. С частным случаем этого явления мы познакомились выше:

до соударения покоился шар 2, после - шар 1.

3. Если оба шара двигаются, но масса одного шара много больше массы другого, т.е. . Тогда

, .

Последние соотношения означают, что массивный шар не замечает соударения с легким шаром и продолжает двигаться с прежней скоростью. Скорость же легкого шара меня­ется: мы получили комбинацию результатов пунктов: l a) и l б).