- •Определенный интеграл
- •10 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •10.1) Задача о площади криволинейной трапеции.
- •10.2) Задача о работе переменной силы.
- •11. Определённый интеграл.
- •§13 Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§14 Методы вычисления определённого интеграла
- •14.1 Интегрирование по частям.
- •14.2 Интегрирование методом подстановки
Определенный интеграл
10 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
10.1) Задача о площади криволинейной трапеции.
Опред. Криволинейной трапециец называют фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции y=f(x) (f(x)=0), осью 0х и прямыми х=а, х=b
Вычислим площадь такой фигуры
Заметим, что:
1) площадь есть неотрицательное число;
2) равные фигуры имеют равные площади;
3) площадь всей фигуры равна сумме площадей частей, на которые разбита эта фигура.
Для решения этой задачи разобьем отрезок [a, b] произвольным способом на n малых отрезков точками
х0 = а, х1, х2, …, хn = b
Обозначим длины этих отрезков через
…,
Обозначим через mк и Мк через наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на к-ом элементарном отрезке [хк-1, хк].
Построим на каждом элементарном отрезке, как на основании, два элементарных прямоугольника: «входящий» с высотой mк и «выходящий» с высотой Мк. Их площади будут соответственно равными и .
- сумма площадей всех «входящих» прямоугольников, т. е. площадь вписанной ступенчатой фигуры (рис. 1)
- сумма площадей всех «выходящих» прямоугольников, т. е. площадь описанной ступенчатой фигуры (рис. 2)
S – площадь криволинейной трапеции
При любом разбиении отрезка [a, b] имеем следующее двойное неравенство:
(1)
Для любого числа n Sn и Sn – будут определены, т. е. известны. А S – мы должны будем определить.
Построим теперь на элементарных отрезках [хк-1, хк] прямоугольники третьего вида: высота каждого прямоугольника равна ,
где хк-1 хк,
а значит mк Мк
Площадь такого прямоугольника равна .
Площадь фигуры, составленной из таких прямоугольников
Сама эта фигура (рис. 3), есть ступенчатая фигура, занимающая некоторое промежуточное положение между фигурами, состоящими из всех «входящих» прямоугольников (рис. 1) и всех «выходящих» прямоугольников (рис. 2)
(2)
или кратко
Это неравенство справедливо при всяком n и любом способе разбиения отрезка [a, b] и при любом выборе точки в элементарных отрезках. Из рисунка 3 видим, что
> и <
C увеличением числа n, -- уменьшается, величина - монотонно возрастает, оставаясь < ,
величина - монотонно убывает, оставаясь >
Это значит, что существуют пределы и при (свойство пределов)
Из равенства (2) следует, что (свойство пределов)
Но А = S – площадь криволинейной трапеции.
Следовательно
Площадь криволинейной трапеции называется предел, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры (рис. 3), составленной из элементарных прямоугольников, когда .
10.2) Задача о работе переменной силы.
Пусть под действием некоторой силы F материальная точка М движется по прямой OS, причём, направление силы совпадает с направлением движения. Требуется найти работу, произведённую силой F при перемещении точки М из положения s = a в положение s = b.
1) если сила F=const, то A=F(b-a). Работа равна произведению силы на длину пути.
2) Предположим, что сила F непрерывно меняется в зависимости от положения материальной точки, т.е. представляет собой функцию F(s), непрерывную на отрезке [a,b]. Разобьём отрезок [a,b] на n произвольных частей с длинами . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку
Предполагая, что сила на каждом элементарном отрезке сохраняет постоянное значение равное, , найдём работу на пути ,
а будет приближённое значение выражение работы силы F на всём отрезке [a,b]. Предел этой суммы при и выражает работу силы F(s) на пути от точки S = a до точки S = b.
.