Оценка устойчивости модели

При проверке адекватности модели как существующей, так и проектируемой системы реально может быть использовано лишь ограниченное подмножество всех возможных значений входных параметров (рабочей нагрузки и внешней среды). В связи с этим для обоснования достоверности полученных результатов моделирования большое значение имеет проверка устойчивости модели. В теории моделирования это понятие трактуется таким образом.

Устойчивость модели – это ее способность хранить адекватность при исследовании эффективности системы во всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы.

Универсальной процедуры проверки устойчивости модели не существует. Разработчик вынужден удовлетворяться методом «для данного случая», частичным тестам и здравому смыслу. Часто полезна апостериорная проверка. Она заключается в сравнении результатов моделирования и результатов измерений на системе после внесения к ней изменений. Если результаты моделирования приемлемы, уверенность в стойкости модели растет.

В общем случае можно утверждать, что чем ближе структура модели к структуре системы и чем выше степень детализации, тем более стойкой является модель. Устойчивость результатов моделирования может быть также оценена методами математической статистики. Здесь можно вспомнить основное предназначение математической статистики, заключающееся в том, чтобы проверить гипотезу относительно свойств генеральной совокупности, оценивая свойства какого-либо подмножества генеральной совокупности (то есть выборки). В генеральной совокупности исследователя обычно интересует некоторый признак, который обусловлен случайностью и может иметь качественный или количественный характер.

В данном случае именно устойчивость результатов моделирования можно рассматривать как признак, который подлежит оценке. Для проверки гипотезы устойчивости результатов может быть использованный критерий Уилкоксона, который служит для проверки того относятся ли две выборки к одной и той же генеральной совокупности (то есть имеют ли они одни и те же статистические признаки). При статистической оценке устойчивости модели соответствующая гипотеза может быть сформулирована таким образом: при изменении входной (рабочей) нагрузки или структуры ММ закон распределения результатов моделирования остается неизменным.

Оценка чувствительности

Очевидно, что устойчивость является важным положительным свойством модели. Однако, если изменение входных воздействий или параметров модели (в некотором заданном диапазоне) не отражается на значениях исходных параметров, то польза от такой модели небольшая. В связи с этим возникает задача оценивания чувствительности модели к изменению параметров рабочей нагрузки и внутренних параметров самой системы.

Такую оценку проводят по каждому параметру модели отдельно. Основана она на том, что обычно диапазон возможных изменений параметра известен. Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть использованы, в частности, при планировании экспериментов: большее внимание должно уделяться тем параметрам, при которых модель является чувствительнее.

Программные средства математического моделирования

На заре компьютерного моделирования все моделирующие программы были уникальными и писались непосредственно на языках программирования, которые существовали в то время. Как спецификация будущей программы выступала запись на математическом языке. Эффективность полученного кода повышалась за счет использования языка Ассемблер. Этот способ создания моделирующих программ может быть использован и сейчас, но в те годы он был единственно возможным.

Для создания даже простой моделирующей программы непосредственно на выбранном процедурном языке нужно много времени. Перевод математического описания в программный код, выполняемый программистом, является источником ошибок. В то же время моделирующая программа может оказаться очень эффективной. Если она многократно используется с незначительными модификациями для длительных расчетов при большом количестве параметров, то выигрыш в производительности часто перекрывает все трудности ее создания.

Для сложных моделей, а также для моделей исследовательского типа, когда исходные математические модели еще очень "сырые", стали использоваться системы автоматизации моделирования (их часто называют просто системами моделирования или пакетами моделирования). Не случайно первые инструменты автоматизации моделирования возникли для создания моделей систем массового обслуживания, то есть моделей с переменной структурой и параллельными процессами.

Система автоматизации моделирования позволяет автоматически строить моделирующую программу по математической модели системы и автоматически превращать результаты вычислительных экспериментов в абстрактные математические модели. Таким образом, из цикла разработки модели исключаются трудозатраты на "ручное" программирование, а также ошибки программирования. Использование систем автоматизации моделирования позволяет на порядок повысить производительность труда при создании моделей, увеличить их надежность и резко расширить область применения компьютерного моделирования.

При использовании системы автоматизации моделирования разработчик формулирует математическую модель исследуемой системы на формальном входном языке моделирования.

Современные пакеты моделирования, как правило, включают специальные визуальные редакторы, которые позволяют вводить описание моделируемой системы в форме, максимально удобной для восприятия человеком. Структуру и поведение системы отображают в виде структурных схем и графов переходов. Эти графические описания автоматически превращаются в программу модели, которая вместе с выполняющей системой пакета моделирования и составляет моделирующую программу.

"Программа модели" может быть или действительно совокупностью программных модулей на некотором промежуточном языке программирования, которые потом связываются с модулями выполняющей системы пакета моделирования и образуют независимую выполняемую программу (такой пакет называется компилирующим), или специальным внутренним представлением описания модели, которое воспринимается и интерпретируется выполняющей системой пакета (такой пакет называется интерпретирующим).

Постепенно графические описания унифицировались, систематизировали операции, и стали возникать языки моделирования. Необходимость использования специальных языков моделирования обусловлена несколькими причинами. Во-первых, традиционный математический язык ориентирован на человека как интерпретатора и опускает огромное количество "пустяков", абсолютно необходимых для полного и однозначного определения описания модели, понятного транслятору пакета моделирования. Во-вторых, для удобства пользователей язык моделирования часто включает семантику определенной области применения (например, языки моделирования систем массового обслуживания, такие как GPSS, включают такие специальные конструкции, как ресурс, очередь, транзакция и т. п.).

На рис.2.4. представлена схема классификации пакетов моделирования.

Специализированные пакеты используют специфические понятия конкретной прикладной области (радиоэлектроники, электротехники, химической технологии, теплотехники и т. д.) и имеют узкую область использования. Область применения универсальных пакетов шире, поскольку они ориентированы на определенный класс математических моделей и применяются для любой прикладной области, в которой эти модели используются.

Специализированные пакеты трудно использовать для моделирования и исследования сложных систем с компонентами разной физической природы, поскольку каждый компонент придется изучать автономно с помощью разных пакетов. Поэтому даже при моделировании отдельных подсистем преимущественно использовать универсальные пакеты. Универсальные пакеты обычно разделяют на математические пакеты и пакеты компонентного моделирования.

В математических пакетах (Maple, Mathematica, MATLAB, Mathcad) предусматривается, что математическая модель всей моделируемой системы уже построена и ее нужно лишь исследовать. Такой подход характерен в основном для научных исследований, когда необходимо, прежде всего, убедиться в наличии необходимых свойств в новой модели. Математические пакеты позволяют проводить символьное преобразование модели, находить, если это возможно, решение уравнений в замкнутой форме, а в случае неудачи – решать уравнение численно.

Компонентное моделирование предусматривает, что описание моделируемой системы строится из компонентов (в т. ч. и готовых библиотечных), а совокупная математическая модель формируется пакетом автоматически. Размерность и сложность совокупной системы уравнений таковы, что их решения приходится искать численно. Символьные вычисления если и проводятся, то лишь при решении отдельных вспомогательных задач. Компонентное моделирование – это основной способ проектирования технических объектов.

Роль, которую играет математическое моделирование, безусловно, зависит от характера данного задания, мастерства экспериментатора, времени, которое выделяется, и отпущенных средств, а также от выбранной модели. Необходимо постоянно иметь в виду первичное задание. Самая распространенная ошибка связана с тем, что теряется из виду основная цель. Другой ошибкой является переход к моделированию при отсутствии достаточного количества данных о поведении системы в прошлом.

Основной метод последовательного решения задачи, состоит из следующих этапов:

• формулировка задания;

• накопление экспериментальных данных (в том числе, анализ возможных ошибок в системе регистрации данных, а в некоторых случаях разработка новой системы регистрации, которая будет давать соответствующие данные);

• определение влияния рабочих параметров системы или процесса (анализ случайных колебаний процесса с целью выяснения статистической зависимости результатов от соответствующих параметров);

• разработка методики эксперимента (например, изменение параметров с целью определения фактического действия на результат);

• уменьшение числа «рабочих» параметров (выбор лишь тех параметров, к изменению которых результаты наиболее чувствительны);

• выяснение ограничений, свойственных методу.

Одной из основных ошибок при математическом моделировании является стремление к воссозданию реальных условий, то есть условий, которые наблюдаются в естественной или технической системе. Эти воссоздания часто делаются для того, чтобы воспользоваться определенной, уже созданной для другой цели моделью. Такой подход бесперспективен, даже если он кажется целесообразным. В отличие от таких типичных методов, как, например, методы линейного программирования, математическое моделирование требует использования достаточно сложных операций, поскольку в данном случае необходимо выводить специальные математические уравнения, которые адекватно описывают данную реальную систему.

Задание экспериментатора не ограничивается построением модели. После разработки модели в нее необходимо ввести определенную информацию, чтобы проверить, насколько приближаются воссозданные ею данные к ранее зарегистрированным экспериментальным данным, которые соответствуют введенной информации. Лишь в том случае, когда воссозданные данные достаточно близкие к исходной информации, можно гарантировать определенный успех при использовании модели для экспериментирования.

4. ТИПИЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ (Лекция 7)

Математические схемы моделирования

Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами, включая и машинные, необходимо формализовать этот процесс, то есть построить математическую модель.

Наибольшая сложность и наиболее серьезные ошибки при моделировании возникают именно при переходе от содержательного к формализованному описанию объектов исследования. В этом творческом процессе принимают участие коллективы исследователей разных специальностей – специалистов в области систем, которые нужно моделировать (заказчиков), и специалистов в области машинного моделирования (исполнителей).

Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы . Эта информация определяет основную цель моделирования системы и позволяет сформулировать требования к математической модели М. Введение понятия «математическая схема» позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, как средство формулировки понятий, наиболее важных при переходе от словесного описания системы к формализованному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой математической модели (аналитической или имитационной). При использовании математической схемы исследователя системы в первую очередь должен интересовать вопрос об адекватности модели в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа на конкретный вопрос.

Математическую схему можно определить как звено перехода от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом влияния внешней среды, то есть имеет место цепочка «описательная модель – математическая схема – математическая (аналитическая или имитационная) модель».

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, отображающих поведение моделируемого объекта (реальной системы) и условия ее функционирования.

При построении математических моделей процессов функционирования систем можно выделить следующие основные подходы:

• непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения);

• дискретно-детерминированный (конечные автоматы);

• дискретно-стохастический (вероятностные автоматы);

• непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания);

• обобщенный, или универсальный подход.

Формальная модель объекта

Модель объекта моделирования, то есть системы , можно представить с помощью множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы. В общем случае это множество можно разбить на следующие подмножества:

совокупность входных воздействий на систему

совокупность исходных характеристик системы

совокупность внутренних (собственных) параметров системы

совокупность воздействий внешней среды

При этом в перечисленных подмножествах можно выделить управляемые и неуправляемые переменные. В общем случае являются элементами подмножеств, которые не пересекаются, и содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

При моделировании системы входные воздействия, внутренние параметры системы и воздействие внешней среды являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответственно вид

а исходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором , который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношениями вида

(4.1)

Совокупность зависимостей исходных характеристик системы от времени для всех называется исходной траекторией в _. Зависимость (4.1) называется законом функционирования системы и обозначается . В общем случае закон функционирования системы может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Важным для описания и исследования системы является понятие алгоритма функционирования , под которым понимает метод получения исходных характеристик с учетом входных действий , воздействий внешней среды и собственных параметров системы . Очевидно, что один и тот же закон функционирования системы может быть реализован разными способами, то есть с помощью большого количества разных алгоритмов функционирования .

Выражение (4.1) может быть задано разными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и так далее.

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных вместе с математическими связями между ними и исходными характеристиками системы.

Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, то есть, если можно считать, что в этом случае стохастические действия внешней среды и стохастические внутренние параметры отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что исходные характеристики системы однозначно определяются детерминированными входными воздействиями:

Приведенное краткое (на уровне некоторых определений) описание формальной модели не позволяет сразу приступить к построению модели даже простейшей системы. Поэтому, в практике моделирования объектов на первичных этапах исследования системы более рационально использовать типичные математические схемы. Не используя в такой мере обобщение, как формальные модели, типичные математические схемы имеют преимущества простоты и наглядности, но при существенном сужении возможностей их использования.

Математические модели схем

Непрерывно-детерминированные модели (НД-модели, D-схемы)

НД-модели отображают динамику изучаемой системы, то есть ее поведение во времени. Они называются еще D-схемами (от англ. dynamic).

Рассмотрим особенности НД-подхода на примере использования в качестве математической модели дифференциальных уравнений. Если неизвестными являются функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. При рассмотрении функций одной независимой переменной уравнения называются обычными дифференциальными уравнениями.

Как правило, в таких математических моделях независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время . Тогда математические соотношения для детерминированных систем в общем виде имеют вид:

(4.2)

где и -мерные векторы; – вектор-функция, которая определена на некотором -мерном множестве и является непрерывной.

В простом случае обычное дифференциальное уравнение имеет вид

(4.3)

Наиболее важно для системотехники является применением D -схем как математического аппарата в теории автоматического управления.

Если система устойчивая, то представляет практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной в переходном процессе, время переходного процесса и т. д. Выводы о свойствах систем автоматического управления разных классов можно сделать по виду дифференциальных уравнений, которые приблизительно описывают процессы в системах. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами системы .

Дискретно-детерминированные модели (ДД-модели, F-схемы)

Особенности ДД-подхода на этапе формализации процесса функционирования систем заключается в том, что в качестве математического аппарата часто используется теория автоматов. На основе этой теории система представляется в виде автомата, который преобразует дискретную информацию и меняет внутренние состояния лишь в конкретные моменты времени. Автомат можно представить в виде некоторого устройства (черного ящика), на которое подаются входные сигналы и снимаются выходные и которые могут иметь некоторые внутренних состояний. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов), но это множество является конечным.

Абстрактно конечный автомат (finite automata) можно представить как математическую схему ( схему), которая характеризуется шестью элементами:

• конечным множеством входных сигналов (входным алфавитом);

• конечным множеством выходных сигналов (выходным алфавитом);

• конечным множеством внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний);

• начальным состоянием ;

• функцией переходов ;

• функцией выходов .

Автомат, который задается F-схемой функционирует в дискретном автоматном времени, то есть по тактам, через одинаковые интервалы времени, примыкающими друг к другу. Каждому из них соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренних состояний.

Понятие -автомат в ДД-подходе к исследованию на моделях свойств объектов является математической абстракцией, удобной для описания широкого класса процессов функционирования реальных объектов в автоматизированных системах обработки информации и управления. Как таковые объекты в первую очередь следует назвать элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией и так далее. Для всех перечисленных объектов характерно наличие дискретных состояний и дискретный характер работы во времени, то есть их описание с помощью F-схем является эффективным.

Дискретно-стохастические модели (ДС-модели, Р-схемы)

Кратко рассмотрим особенности построения математических моделей (схем) при ДС-подходе к формализации процесса функционирования исследуемой системы . Поскольку суть дискретизации времени при этом подходе остается аналогичной рассмотренным конечным автоматам, то влияние фактора стохастичности можно проследить на разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастических) автоматах.

В общем виде вероятностный автомат (probabilistic automat) можно определить как дискретный потактовый преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит лишь от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.

Использование схем вероятностных автоматов (Р-схем) важно при разработке методов проектирования дискретных систем, в которых присутствует статистически закономерное случайное поведение, а также для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования пределов целесообразности их использования, для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям.

Уточним математическое понятие Р-автомата, используя понятия, введенные для F-автомата. Введем множество G, элементами которого являются всевозможные пары , где и – элементы входного подмножества Х и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции и , с помощью которых осуществляются отображения и , то говорят, что определяет автомат детерминированного типа.

Теперь можно рассмотреть общую математическую схему. Пусть Ф – множество всевозможных пар вида , где – элемент выходного подмножества . Потребуем, чтобы любой элемент множества G порождал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

Элементы из Ф …

При этом

,

где – вероятность перехода системы (автомата) в состояние и появления на выходе сигнала , если он был в состоянии и на его вход в этот момент времени поступил сигнал . Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равняется числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц В. Тогда четверка элементов

называется вероятностным автоматом (Р-автоматом).

Для оценки разных характеристик исследуемых систем, представляемых в виде Р-схем, наряду с аналитическими моделями можно применять и имитационные модели, которые реализуются, например, методом статистического моделирования.

Непрерывно-стохастические модели (НС-модели, Q-схемы)

Особенности НС-подхода рассмотрим на примере использования типичных математических схем систем массового обслуживания.

В качестве процесса обслуживания могут рассматриваться различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем. Важными для систем связи это могут быть потоки заявок на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов, заявок на прием и передачу сообщений и так далее. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, то есть стохастический характер процесса их функционирования.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основных составляющие: ожидание обслуживания заявки и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i-го прибора обслуживания П_i (рис.4.1), который состоит из накопителя заявок Н_i, в котором может одновременно находиться заявок, где – емкость i-го накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) К_i. На каждый элемент прибора обслуживания П_i поступают потоки событий: в накопитель Н_i –поток заявок w_i, на канал К_i – поток обслуживания u_i.

Потоком событий называется последовательность событий, которые происходят одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Поток событий называется однородным, если он характеризуется лишь моментами поступление этих событий. Поток неоднородных событий характеризуется моментами поступление этих событий и набором признаков событий. Например, относительно процесса обслуживания для неоднородного потока заявок могут быть заданы принадлежность к тому или другому источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или другим типом канала и тому под обное.

Обычно при моделировании разных систем относительно канала обслуживания К_i, можно считать, что поток заявок , то есть интервалы времени между моментами появления заявок на входе К_i образует подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания , то есть интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки, образуют подмножество управляемых переменных. Заявки, которые обслужены каналом К_i и заявки, которые покинули прибор П_i по различным причинам необслженными (например, из-за переполнения накопителя Н_i образуют выходной поток , то есть интервалы времени между моментами выхода заявок образуют подмножество выходных переменных.

В практике моделирования систем, имеющих более сложные структурные связи и алгоритмы поведения, для формализации используются не отдельные приборы обслуживания, а Q-схемы, получаемые композицией многих элементарных приборов обслуживания (сети массового обслуживания). Для задания Q-схемы необходимо использовать оператор соединения R, который отображает взаимосвязь элементов структуры (каналов и накопителей) между собой. Кроме того необходимо описать алгоритмы функционирования Q-схемы, которые определяют набор правил поведения заявок в системе в разных неоднозначных ситуациях. В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе Н_i и обслуживания заявок каналом К_i . Неоднородность заявок, которая отражает процесс в той или другой реальной системе, учитывается с помощью введения классов приоритетов. В зависимости от динамики приоритетов в Q-схемах различают статичные и динамические приоритеты. Статичные приоритеты назначаются загодя и не зависят от состояний Q-схемы, то есть они являются фиксированными в пределах решения конкретной задачи моделирования.

Динамические приоритеты возникают при моделировании с учетом возникающих ситуаций. Исходя из правил выбора заявок из накопителя Н_i на обслуживание каналом К_i можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет значит, что заявка с высшим приоритетом, которая поступила в накопитель Н_i , ожидает окончание обслуживания предыдущей заявки каналом К_i и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет значит, что заявка с высшим приоритетом, которая поступила в накопитель Н_i , прерывает обслуживание каналом К_i заявки с низшим приоритетом и сама занимает канал.

При рассмотрении алгоритмов функционирования приборов обслуживания П_i необходимо также задать набор правил, по которым заявки покидают Н_i и К_i.

Весь набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q-схеме можно представить в виде некоторого оператора алгоритмов поведения заявок А.

Таким образом, Q-схема, описывающая процесс функционирования системы массового обслуживания любой сложности, однозначно задается в виде

Возможности оценки характеристик с помощью аналитических моделей теории массового обслуживания весьма ограничены по сравнению с требованиями практики исследования и проектирования систем, которые формализуются в виде Q-схем. Существенно большие возможности дают имитационные модели, позволяюющие исследовать Q-схему без ограничений. На работу с Q-схемами при машинной реализации моделей ориентировано много языков имитационного моделирования, например SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS и др.