Задание № 1-3.

1. Вычислить выражения:

1. Вычислить i⁹⁸.

2. Решить систему:

4. Доказать, что комплексное число z является чисто мнимым тогда и только тогда, когда =  z.

5. Найти комплексные числа, сопряженные к своему кубу.

6. Найти тригонометрическую форму чисел:

7. Вычислить выражения:

8. Вычислить:

Ответы

1а. , 1b. 52i. 2. 1. 3. z₁=1i, z₂= 4. Док-во. 5.

6.

Задание № 2-1.

1. Вычислить:

2. Определить сумму первообразных корней из 1: а) 6-ой степени;

б) 15-ой степени.

3. Вычислить все корни 2-ой и 24-ой степеней из 1 и указать первообразные.

4. Решить уравнение:

Ответы.

1а. i,  .  2a. 1.

1б. 2б. 1.

1в.  64.  3. №№ 1, 5, 7, 13, 17, 19, 23.

1г. 4. z = 3 + 4i.

Задание № 3-4.

1. Решить методом Гаусса системы уравнений:

а) б)

в) г)

д) е)

 

2. Исследовать системы и найти общее решение в зависимости от значений параметров:

а) б)

в) г)

  Ответы.

1а. x₁ = 1/2, x₂ = 2/3, x₃ = 2, x₄ = 3. 1г. x₁ =1, x₂ = 2, x₃ = 1.

1б. x₁ = 1/10(6  15x₂  x₄ ),   1д. х₁ = 7/6x₅  x₃ , x₂ = 5/6x₅ + x₃,

x₃ = 1/5(1 + 4x₄). х₄ = 1/3x₅.

1в. x₁ = x₂ =0, x₃ = x₄. 1e. x₁ =  16+x₃ + x₄ + 5x₅,

x₂ = 23  2x₃  2x₄  6x₅.

2a.  = 8: x₃ = 1, x₄ = 2  x₁  3/2x₂,   8: x₂ = 4  2/3x₁, x₃ =  1, x₄ = 0.

2б.    1, 2: x₁ = x₂ = x₃ = 1/ +2,   = 1: x₁ = 1  x₂  x₃ ,

 = 2: решений нет.

2в. При  = 0,   реш. зависит от одного параметра. В других слу-

чаях только нулевое решение.

2г.

,     = 1: реш. зависит от 3-х парам.,   = 3: решений нет.

Задание № 4-2.

1. Вычислить определители:

;

2. Пользуясь теоремой Крамера, решить системы:

3. Перемножить перестановки в указанном и обратном порядке.

4. Найти обратную перестановку: .

5. Определить число инверсий в последовательностях:

а) 2, 3, 5, 4, 1; б) 6, 3, 1, 2, 5, 4; в) 1, 3, 5, 7, ... , 2n-1, 2, 4, 6, 8, ... , 2n.

6. Определить четность перестановок:

7. С какими знаками входят данные произведения в определители соответствующих порядков ?

8. Выписать все слагаемые, входящие в состав определителя 4-го порядка со знаком ”” и содержащие множитель .

9. С каким знаком входит в определитель порядка n произведение элементов побочной диагонали ?

Ответы

1а. a² + b² + c² + d². 1б. 1. 1в. 1. 1г. 100. 1д. 0.  1е. 3i . 2a. х₁ = 3, x  = 1. 2б. x = a, y = b, z = c. 2в. x₁ = 3, x₂ = x = x₃ = 1.  

3а. 3б. 3в.

4а.   4б. 5а. 5. 5б. 8. 5в. 6а. 3(). 6б. 11(). 6в. неч. 7а. (). 7б. (+). 7в. (+).

8. a₁₁ a₂₃ a₃₂ a₄₄,  a₁₂ a₂₃ a₃₄ a₄₁, а₁₄ a₂₃ a₃₁ a₄₂. 9.

Задание 5-5.

1. Как изменится определитель порядка n, если:

а) его столбцы записать в обратном порядке ?

б) каждый его элемент заменить на симметричный относительно “центра”

определителя ?

в) Чему может быть равен определитель порядка n, в котором только n элементов

отличны от нуля ?

2. Пользуясь свойствами определителей, доказать тождество: