Ответы.
1a. (x + 1)4 2(x + 1)3 3(x + 1)2 + 4(x + 1) + 1.
1б. f(x) = (x 1)(x3 x2 + 3x 3) + 5, f(x0) = 5.
2a. (x + 1)4(x 2)2.
2б. (x2 + 1)2(x 1)3.
3. f(x) = x + 1 + 1/24x(x 1)(x 2)(x 3).
Задание № 13 4.
1. Построить полином наименьшей степени с действительными коэффициентами, с корнями:
а) 3 (двойной корень), 2, 4 (простые корни);
б) 1 (двойной корень), 2, 3, 1+ i (простые корни).
2. Найти соотношение между коэффициентами кубичного уравнения х3 + pх2 + qх + r , при котором один корень равен сумме двух других.
3. Найти х так, чтобы f(х) < f(0), где f(х) = х5 3iх3 + 4.
4. Найти соотношение между коэффициентами уравнения х4 + ах3 + bх2 + сх + d = 0, при котором сумма двух корней равна сумме двух других корней.
Ответы.
1a. x4 19x2 6x + 72.
1б. (x 1)2(x 2)(x 3)(x2 2x + 2) = x6 9x5 + 33x4 65x3 + 74x2 46x + 12.
2. Один из корней = p/2, соотношение 8r = 4рq p3.
3.
x = i,
0 <
<
.
4. a3 4ab + 8c = 0.
Задание № 142.
1.Составить ряд Штурма и оделить корни многочленов:
а) х3 + х2 2х 1, б) х4 + х2 1, в) х4 2х3 3х2 + 2х + 1.
2.Составить ряд Штурма и найти число вещественных корней
многочлена: Еn(х) = 1 + х/1! + х2/2! +...+ хn/n!.
3.Ограничить сверху и снизу вещественные корни многочлена:
х5 + 7х3 3.
4.Определить число вещественных корней многочлена:
х5 5ах3 + 5ах2 + 2b.
5.Вычислить с точностью до 0,000001 вещественный корень
уравнения: х3 2х 5 = 0.
6.Вычислить с точностью до 0,0001 положительный корень уравнения: х3 5х 3.
Ответы.
1а. 3 вещ. корня в интервалах: (2, 1), (1, 0), (1, 2).
1б. 2 вещ. корня в интервалах: (1, 0), (1, 2).
1в. f = x4 2x3 3x2 + 2x + 1, f1 = 2x3 3x2 3x + 1, f2 = 9x2 3x 5,
f3 = 9x + 1, f4 = 1. 4 вещ. корня в интервалах: (2, 1), (1, 0), (0, 1), (2, 3).
2. Если n четно, то Еn(х) не имеет вещ. корней, нечетно, 1 вещ. корень.
3. 0 < xi < 1.
4. Ряд Штурма: f = x5 5ax3 + 5a2x + 2b, f1= x4 3ax2 + a2,
f2 = ax3 2a2x b, f3 = a(a2x2 bx a3), f4 = a(a5 b2)x, f5 = 1. Если a5 b2 > 0, то a > 0, все старшие коэф. > 0, все 5 корней f веществ., если a5 b2 < 0, то в зависимости от знака а распределение знаков выглядит:
f f1 f2 f3 f4 f5
a > 0 + + + +
+ + + + + + 5. 2,094551.
a<0 + + +
+ + + + + 6. 2,4908.
Задание № 155.
1.Ассоциативна ли операция на множестве М, если
а) М = Z, х y = x2 + y2;
б) М = R, х y = sinxsiny;
в) М = N, х y = xy.
2.Определены ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1, R, R+ следующие операции. Какие из операций обладают свойствами коммутативности, ассоциативности ?
а) а b = (a + b)/2; в) а b = ab ba;
б)
а
b = 
;
г) а
b = ab;
3.Какие из указанных множеств с операциями являются группами ?
а) множество степеней а, а R, а 0 с целыми показателями относительно умножения;
б) множество всех комплексных корней фиксированной степени n из 1 относительно умножения;
в) множество комплексных корней всех степеней из 1 относительно умножения;
г) множество матриц с фиксированным определителем d относительно умножения;
д) множество диагональных матриц относительно сложения;
е) множество диагональных матриц относительно умножения;
ж) действительные многочлены степени n (исключая нуль) относительно сложения;
з) множество R+, если операция определена так:
а b = ab;
и) матрицы порядка n c действительными элементами относительно сложения;
к) векторы n-мерного линейного пространства Rn относительно сложения.