26. Задачи и упражнения для самостоятельной работы

Задача 1.

Можно ли в линейном пространстве М₃(R)  матриц с вещественными элементами ввести скалярное умножение матриц по формуле (А, В) = a₁₁b₁₁ + a₂₂b₂₂ + a₃₃b₃₃ ?

Задача 2.

В базисе е₁, е₂ линейного пространства R₂ произвольные векторы х и у имеют разложение х = х₁е₁ + х₂е₂, у = у₁е₁ + у₂е₂.

А) Можно ли в этом пространстве ввести скалярное умножение векторов по формуле:

1. (х, у) = х₁у₁  2х₂у₂;

2. (х, у) = 2х₁у₁ + 3х₂у₂;

3. (х, у) = х₁у₁  х₁у₂  х₂у₂ + 3х₂у₂ ?

Б) Вычислите скалярное произведение элементов х = е₁ + е₂ и у = е₁, их нормы (норма вводится по формуле ) и угол между ними, если скалярное умножение введено по формуле 2), по формуле 3) пункта А).

Задача 3.

Скалярное умножение векторов в пространстве Р₁ многочленов степени, не превосходящей 1, введено по формуле 2) (по формуле 3)) из задачи 2 в базисе е₁ = 1, е₂ = 1 + х. Вычислить скалярное произведение многочленов f(x) = 1 + x и g(x) = 3x, их нормы и угол между ними.

Задача 4.

В линейном пространстве Р₅ многочленов степени, не превосходящей 5, вычислить скалярное произведение многочленов f(x) = 2  3x + 4x³  x⁴ и g(x) = 1  x + x² + x³  2x⁵, в базисе е₁ = 1, е₂ = х,…, е₆ = х⁵, если скалярное произведение определено по формуле где  координаты векторов х, у в заданном базисе.

Задача 5.

Пусть у  фиксированный ненулевой элемент евклидова пространства,   фиксированное число. Является ли множество всех элементов х, для которых (х, у) = , подпространством данного евклидова пространства?

Задача 6.

Выясните, является ли линейное пространства М₂(R) всех квадратных матриц второго порядка евклидовым, если скалярное произведение векторов введено следующим образом: a) (A, B) = a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ + d₁d₂; b) (A, B) = a₁a₂ + b₁c₂ + + c₁b₂ + d₁d₂, где

Задача 7.

Проверьте, что в R³ векторы а₁ = (1, 2, 2), а₂ = (2, 2, 1), а₃ = (2, 1, 2) образуют ортогональный базис, и для вектора х = (1, 2, 3) найдите разложение по этому базису.

Задача 8.

Пусть Х = (х₁, х₂) и У = (у₁, у₂) Произвольные векторы линейного пространства Х₂, заданные координатами в фиксированном базисе е₁, е₂. Убедитесь в том, что скалярное произведение векторов в этом пространстве можно задать одним из следующих способов:

Вычислить скалярное произведение векторов Х = (1, 1) и У = (2, 1).

Задача 9.

Пусть в линейном пространстве Х₂ с базисом е₁, е₂ скалярное произведение задано формулой:

Убедитесь в том, что и выпишите матрицу Грама базиса

Задача 10.

Дано линейное пространство Х₃ с базисом и матрица Грама этого базиса:

Выписать формулу скалярного умножения векторов в пространстве Х₃ и, пользуясь ей, вычислить скалярное произведение (Х, У), если

Задача 11.

Найти собственные значения и корневые подпространства линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Ответы.

1. Нет.

2. 2. А) 1) Нет. 2) Да. 3) Да.

Б) В случае 2): (Х,У) = 2,

В случае 3) (Х, У) = 0,

3. В случае 2)

В случае 3)

4. 9.

5. Да, если  = 0, нет, если   0.

11. для

для